Форум Физика Магии :: Многомерная матрица [3]

Администратор

Pipa
Мой вопрос о статье был вызван лишь тем обстоятельством, что Вы посчитали форум не очень подходящим местом, “для того, чтобы во всем этом подробно копаться”. Форум, действительно, не очень удобное место для отображения формул. Статья в ворде, переведенная в html-формат, решила бы эту проблему, – разместить ее в сети, и дать ссылку в форуме не сложно. Необязательно даже статья для журнала, можно что-то типа заметок, или конспекта материалов по стохастическим матрицам, ссылки на сайты и т.д. Вы пишите, например, что “все эти данные давно известны, хотя и рассеяны по самым разным местам”. Если у Вас этот материал уже есть и собран в одном месте – и то большое дело.

Цитата:

Что ж касается цепей Маркова, то по этому вопросу я сказала еще далеко не все, что собиралась. И аналогию с квантовой механикой я тоже хочу затронуть. Только не рассчитывайте, что мои аналогии позволят квантовой мехнике подмять под себя эти явления. Напротив, я сама попытаюсь подмять квантовую механику под цепи Маркова

За квантовую механику я не переживаю

, а про цепи Маркова с удовольствием бы послушал…

Цитата:

…постараюсь лить воду на то, что здесь имеют место отношения дуализма (разные формы описания), а не частный случай квантовой механики (когда КМ претендует на всеобщность).
Мои действия – не борьба с КМ, а желание УРАВНОВЕСИТЬ тот корабль, на котором вы капитан. Сейчас, из-за вашего уклона в КМ, корабль форума почти черпает воду одним бортом . А эзотерики всех мастей этот корабль изо всех сил раскачивают.

Ничего не имею против

К другим подходам и формам описания я отношусь с почтением. В качестве встречного уравновешивающего шага, могу предложить Вам под это дело создать большой раздел форума, где Вы будете капитаном, и проводили бы свою политику

Администратор

С.И. Доронин

Цитата:

За квантовую механику я не переживаю , а про цепи Маркова с удовольствием бы послушал…

Тогда читайте предыдущий пост. Он чуть-чуть опередил ваш ответ.

Advanced Member

Pipa:
>Таким образом, эволюция вектора состояния очень большой по размерности матрицы (скажем, нашего мира) имеет ярко выраженную тенденцию к «загустеванию» - распад на классы возвратных состояний. В этой ситуации «пузырики» (запутанные состояния) могли сохраниться лишь как мелкие вкрапления. При этом такие вкрапления «снаружи» выглядят как «мертвые образования» (т.е. являются возвратными классами), но внутри каждого такого класса может бурлить «жизнь». Причина такой асимметрии в том, что при больших размерностях стохастической матрицы образование в ней возвратного класса может произойти даже при малейшей флуктуации элемента. А значит, запутанные состояния уже по своей природе неустойчивы.

--------------------------
Ну нельзя такие смелые экстраполяции "в реальность" производить, имхо.
Придумайте хоть одно событие для реальности вероятность которого была-бы строго нулевой. Все это вопросы о границах применимости наверное.
Например, в "квазигеометрических" преобразованиях, применяемых в программировании матрица Q всегда берется на ранг больше: для трехмеров это матрица 4х4. Причем последняя строка и последний столбец - всегда нули. Это говорит просто о том, что не допускаются никакие "чудеса" через четвертое измерение. Ограничивающие нулевые вектора в такой матрице еще можно интерпретировать как указание на то, что рассматриваемая система абсолютно замкнута в четвертом измерении(абсолютно плоское пространство).
При этом возвратный класс - это просто класс "замкнутых траекторий", зацикливания процесса эволюции, то бишь класс "ошибок" программирования, приводящик к уменьшению размерности пространства состояний. Гадюка на этом и обожглась - она пыталась подходить к реальности как марковским цепочкам и получила "в морду" от реальности.

Квантовый подход на мой взгляд лучшее приближение к реальным процессам ибо учитывает и суперпозиции "предельных" состояний. Но на мой взгляд этого явно недостаточно. И вот почему, имхо:
Матрицей плотности можно описать только пространства состояний ограниченной размерности. Поэтому и ЧЗСУ Доронин определяет как максимально запутанное состояние в ГП максимальной размерности. Это означает, что в ГП с размерностью "максимум+1" все вектора - Абсолютные Нули, то бишь - абсолютно недопустимые состояния, абсолютные чудеса, то биш их просто нет, даже ячеек в матрице не предусмотрено . А с етим я никак не могу согласиться.
В принципе, наверное, надо выдумывать аппарат матриц актуально бесконечного ранга - а это вроде-бы как полная хрень.

Но есть и другой выход из положения - пересмотреть понятие нуля.
Грубо говоря, нулевые значения это не абсолютные нули, а нечто более сложное, отражающее всю бесконечность метаматриц, влючающих данную и в некоторых особых условиях они влияют на эволюцию вектора состояния.
На эту роль могут, например, сгодиться k-числа Лебедева:
http://www.n-t.org/tp/ns/mb.htm
http://www.sciteclibrary.ru/books/text/pril02.htm

При этом каждая суперпозиция состояний уже будет включать в себя некий k-член, отражающий возможность ваще абсолютно недопустимых(даже с позиций КМ) переходов черт(бог) знает куда. При этом становятся возможными и вектора состоящие только из k-членов - это именно ограничивающие вектора для ГП размерностью N в "включающей" матрице размерностью N+1. Так как k-члены весьма малы, то при расмотрении "абстрактного" ГП с малой размерностью ими можно смело пренебрегать, но вот если ты рассматриваешь реальную систему, то есть как некую конфигурацию состояний Мира(Сознания) ими уже пренебрегать никак нельзя.

Мне кажется, Гадюка именно такие штуки назвала пустыми ячейками, так как они находятся "за рангом" рассматриваемой, чувствуемой, рефлексируемой матрицы, но в неких особых(сингулярных) состояниях "всеединства" именно они дают возможность произвольных, чудесных переходов.

Проблема в том, что с точки зрения науки таким ячейкам невозможно поставить в соответствие никакой повторяемой физической реальности вообще (всегда за рангом типа оне, а события-переходы с ними связанные - натуральные и неповторимые чудеса, артефакты). Забавно, что тогда с точки зрения "програмерского" подхода - вся типа наблюдаемая "классическая" физическая реальность - это типа "ошибки программирования", траш, мусорные корзинки "возвратных классов" из которых сознание уже выпрыгнуло, те есть просто иллюзия.

(Отредактировано автором: 18 Ноября, 2005 - 20:20:09)

Администратор

Pipa, спасибо за интересные рассуждения, и аналогия с запутанностью довольно удачная. Но это лишь косвенная аналогия. Прямые параллели тут сложно провести, хотя какие-то намеки на запутанность получить можно.
Вектор вероятности это ведь не вектор состояния, и эволюция вектора вероятности – это не эволюция матрицы плотности. Стохастическое отображение – это лишь предельно упрощенный вариант эволюции матрицы плотности, когда мы следим только за динамикой ее диагональных элементов, и можем лишь догадываться, что происходит с элементами недиагональными.

И матрицу переходов не корректно сопоставлять с матрицей плотности. Матрица плотности – это эквивалент вектора p, эволюцию которого мы описываем.

Попробую это различие пояснить на простом примере. Пусть у нас есть только четыре классических состояния из (1)
s₁, s₂, s₃, s₄. ……(1')

Обозначим их в двоичной системе 00, 01, 10, 11. Вероятности каждого из этих состояний пусть равны р₁, р₂, р₃, р₄.
Таким образом, мы будем иметь вектор вероятности

p=( р₁, р₂, р₃, р₄),……(4)

эволюцию которого мы хотим описать. Т.е. мы будем следить только за тем, как меняются всего лишь четыре этих числа.

В квантовой теории этой ситуации соответствует диагональная матрица плотности:

ρ= р₁|00><00| + р₂ |01><01| + р₃ |10><10| + р₄|11><11|. ……(5)

Сразу можно отметить, что это смешанное состояние, его нельзя записать в виде одного вектора состояния. Т.е. квантовая теория сразу говорит о том, что нашу систему с набором состояний (1') нельзя рассматривать как замкнутую (кроме случая, на котором я остановлюсь чуть ниже). Система, которую мы хотим описывать, является частью другой системы. У нее имеется внешнее окружение, которое и определяет ее поведение. В Вашем примере с футболом – это футболисты, которым лишь кажется, что они сами пинают мяч, – это будут игрушечные футболисты, типа настольного футбола, где внешнее окружение управляет игроками при помощи “рычажков”. Поэтому для динамики системы основное значение будет иметь внешнее окружение, которое здесь явным образом учесть невозможно.

Теперь насчет разницы в понятиях вектора вероятности и вектора состояния. Это различие очень существенно. К нашему примеру ближе всего подходит вектор состояния:

|ψ>=a|00> + b|01> + c|10> + d|11>, ……… (6)

где |a|²=р₁, |b|²=р₂, |c|²=р₃, |d|²=р₄, и по-прежнему справедливо условие нормировки р₁ + р₂ + р₃ + р₄=1.

Матрица плотности состояния (6) равна проектору
ρ=|ψ><ψ|. ……(7)

В ней уже не четыре элемента, как в векторе вероятности, а 16, и все они ненулевые в общем случае (я не стал их выписывать). И лишь по диагонали стоят те элементы (вероятности), которые были в векторе вероятности.

Таким образом, описывая динамику матрицы плотности, мы следим уже не за четырьмя количественными величинами, как в классическом случае, а за 16-ю. Т.е. мы имеем более полную картину того, что происходит. Классический случай стохастического отображения можно рассматривать как частный случай квантовой эволюции матрицы плотности, когда мы следим только за поведением диагональных элементов.

Какие бы матрицы перестановок мы не брали, какие бы стохастические отображения не рассматривали – в любом случае мы следим лишь за поведением вектора (4), а не за матрицей (7), и не видим, что происходит с недиагональными элементами, не знаем, как меняется кв.запутанность. Поэтому Ваши предположения о том, как ведет себя кв.запутанность, не совсем корректны.

И еще одно существенное отличие в том, что в случае вектора состояния мы рассматриваем чистое состояние (замкнутую систему). Мы имеем дело с внутренней эволюцией самой системы и ее составных частей, а не с реакцией и поведением подсистем под действием внешнего окружения как в случае вектора вероятности в классическом случае.

Правда, есть один вариант, когда классическое описание приближается к квантовому, и некоторые косвенные соображения о кв.запутанности мы можем получить.
Это ситуация, когда исходное состояние у нас является чистым, когда в векторе вероятности мы имеем одну вероятность, равную 1, а все остальные нули, например, это вектор вероятности
p=(1, 0, 0, 0). ……(8)

Это один из четырех случаев в нашем примере, когда вектор вероятности можно рассматривать как вектор состояния, в данном случае
|ψ>=|00>. ………(9)

В матрице плотности также будет одна единица на диагонали. Т.е. состояние (8) можно рассматривать как чистое состояние (замкнутую систему) и можно говорить об эволюции замкнутой системы.

Тогда и стохастическое отображение (матрица вероятностей переходов) вида

½ 0 0 ½
0 0 0 0 ………(10)
0 0 0 0
½ 0 0 ½

действительно, может иметь отношение к переходу начального состояния в состояние максимально-запутанное (cat-состояние). Вот только догадаться об этом, не зная квантового подхода, практически невозможно

. В результате отображения мы получим всего лишь вектор
p=(½, 0, 0, ½ ), ………(11)

и не будем видеть недиагональные элементы, которые бы показали наличие кв.запутанности в явном виде. Мы не будем видеть максимальные корреляции между этими двумя собственными состояниями системы, хотя косвенно можем об этом догадываться по структуре матрицы переходов, в которой переходы между состояниями 1-4 и 4-1 осуществляются одинаково интенсивно.

Замечу, что в этом случае матрица переходов идемпотентная, т.е. Q²=Q, и после первого шага эволюции, когда произошел переход в максимально-запутанное состояние, это состояние уже не меняется (вечное

) в случае однородного марковского процесса. При перемножении матриц перехода (10) эта матрица не меняется.

Таким образом, Ваше утверждение о том, что в результате однородной стохастической эволюции запутанные состояния неустойчивы, – не всегда справедливо. Оно не выполняется, по крайней мере, для идемпотентных матриц перехода. А у меня есть подозрение, что именно такие матрицы отвечают за появление кв.запутанности. Да и матрица типа (10) может быть произвольной размерности, в том числе очень большой.

Кстати, а зачем Вы стремитесь нивелировать кв.запутанность и свести ее на нет?

Казалось бы, наоборот, надо к ней стремиться, иначе как объяснить магию…

Классическая физика тут не помощница, и теория вероятности не спасет (имхо)

О том, что квантовая запутанность является следствием любого взаимодействия, я уже говорил. Как ни крути, а в любых макроскопических системах, где есть взаимодействие, будет и кв.запутанность. Единственный способ от нее избавится

– это перевести вектор состояния всего Универсума в сепарабельное состояние типа (9). Получим ночь Брамы, когда ничто ни с чем не взаимодействует, никто друг друга не “освещает”

.

Еще у Вы упомянули матрицу типа

0 0 0 0
0 ½ ½ 0
0 ½ ½ 0
0 0 0 0

В случае матрицы плотности это тоже максимально-запутанное состояние для вектора состояния типа |ψ>=1/√2(|01>+|10> ).

Мне пока не понятен еще один вопрос. В случае физических систем различные состояния имеют различную энергию, значит, для стохастических отображений физических систем нужен баланс по энергии. В кв.теории используют, например, гамильтониан системы. А здесь есть что-то подобное? Я слышал, что цепи Маркова часто используют для описания нефизических систем, в экономике, статистических задачах и др. гуманитарных дисциплинах, там у рассматриваемых состояний нет энергии.

P.S. Там, где Вы представляете матрицу (10) в виде суммы, в левой части, видимо, должны стоять ½, а не ¼ .
Насчет Вашей “крутой” матрицы

(матрицы с нулевым следом) – такие матрицы хорошо известны, в простейшем случае 2*2 это матрицы Паули. И разложения матриц плотности на сумму, состоящую из матрицы, пропорциональной единичной, и матриц с нулевым следом в кв. теории широко используется. Но об этом лучше отдельно поговорить, у меня здесь тоже есть некоторые соображения.