Форум Физика Магии :: Многомерная матрица [6]

Администратор

Я продолжу про супероператорный формализм. Приведу отдельные куски из статьи B. Schumacher, Phys. Rev. A, 54, 2614 (1996). На нее часто ссылаются, когда речь идет о супероператорах.

Рассмотрим самую общую ситуацию. Предположим R и Q – две системы, и Q описана в гильбертовом пространстве H_Q конечной размерности d. Первоначально составная система RQ была приготовлена в чистом запутанном состоянии |Ψ^RQ>. Система R динамически изолирована и имеет нулевой внутренний гамильтониан, в то время как система Q подвергается некоторой эволюции, в частности, это может быть взаимодействие со средой E.
Конечное состояние RQ может быть смешанным, и тогда оно будет описываться оператором плотности ρ^RQ'.

Верхний индекс обозначает систему, для которой записан данный вектор, оператор, или супероператор. Так |ψ^Q> – вектор состояния для системы Q, в то время как A^RQ – оператор, действующий в гильбертовом пространстве H_RQ=H_RДH_Q

Предположим, что система Q находилась в начальном состоянии ρ^Q и затем была подвергнута некоторому динамическому процессу, после которого перешла в состояние ρ^Q'. Этот динамический процесс математически может быть описан отображением E^Q, таким, чтобы эволюция была

ρ^Q → ρ^Q' = E^Q (ρ^Q)……(1)

В наиболее общем случае, отображение E^Q должно сохранять след, быть полностью положительным линейным отображением. Другими словами, мы имеем следующие свойства этого отображения.
(i) E^Q должно быть линейным для операторов плотности. Т.е., если
ρ^Q =p₁ρ^Q₁ + p₂ ρ^Q₂ , то
E^Q( ρ^Q') = p₁ρ^Q'₁ + p₂ ρ^Q' ₂ = p₁ [E^Q(ρ^Q₁)] + p₂ [E^Q(ρ^Q₂)].
Вероятностная смесь на входе в E^Q ведет к вероятностной смеси на выходе. Это означает, что E^Q должен быть супероператором, то есть линейным оператором, действующим на пространстве линейных операторов (т.е. на операторы плотности) в H_Q

(ii) E^Q должен сохранять след, так, чтобы Tr(ρ^Q') = Tr(ρ^Q) =1.
(iii) E^Q должен быть положительным. Это означает, что, если ρ^Q положительна тогда ρ^Q' =E^Q (ρ^Q) должна быть положительна.

Эти три условия означают, что супероператор E^Q разумным способом переводит одни нормированные операторы плотности в другие. Требование полной положительности несколько более тонко.

(iv) E^Q должен быть полностью положителен. Это означает, что мы расширяем эволюцию супероператора E^Q тривиальным способом до супероператора эволюции составной системы RQ, задаваемой I^RДE^Q, где I^R – единичный супероператор на состояниях R. Физически, это означает присоединение к системе R, которая имеет тривиальную динамику (состояние R не меняется), и которая не взаимодействует с Q. E^Q полностью положителен, если для всех таких тривиальных расширений, результирующий супероператор I^R ДE^Q положителен.

Так как мы не можем априорно исключить, что наша система Q первоначально запутана с некоторой отдаленной изолированной системой R, любой приемлемый супероператор E^Q лучше соответствует этому условию.

------------------

Замечу, что отображение (1) – это обобщение стохастического отображения, с которого мы начинали тему. Классическое описание будет являться частным случаем, когда матрицы плотности ρ^Q и ρ^Q' диагональны. Т.е. квантовое описание гораздо более полное, и супероператор E^Q это действительно суперматрица

Администратор

Цитата:

E^Q должен быть...

Супероператор эволюции ничего никому не должен

(шутка). Здесь тонкость определенно философского плана, а именно того, что мы вкладываем в понятие эволюции. Формально между любого рода изменением и эволюцией нет резкой грани, ибо эволюция есть частный случай изменения. И, тем не менее, существует определенный окрас, заставляющий нас чаще использовать термин «эволюция» по отношению к определенным случаям. Что же это за случаи?
Обычно изменения, относимые нами к эволюционным, не затрагивают некую существенную черту системы. Можно даже назвать эту черту инвариантом. Причем, именно инвариантом, а не просто косной частью системы.
В случае квантовомеханических матриц плотности этим инвариантом является след этой матрицы. А вот для случая стохастических матриц инвариантом явится сумма по столбцам. В общем же случае обычно существуют некоторые законы сохранения, которые накладывают свое вето на недопустимые трансформации. Т.е., по сути, играют роль все того же инварианта.

Поэтому не стоит сильно ахать, удивляясь свойствам супероператора. Эти свойства, увы, по праву принадлежат не ему, а самой системе, эволюцию которой он описывает. Другими словами, это не родовое свойство таких операторов, а свойство системы, которая органически не приемлет изменений определенного типа. Например, положительность супероператора может проистекает от «нежелания» системы изменять знаки своих собственных значений (т.н. энерция собственных значений). Как тут не вспомнить «теорему Сильвестра об инерции»

.
Призываю обратить внимание и на слова Гадюки, посвященные балансу (вариант все того же инварианта):
Цитата:

... в матрице "предусмотрены" так называемые "точки пустоты", т.е. ячейки, на которые не замкнуто ни одного вектора вероятности. ясно, что предусмотрены они должны быть с компенсаторной целью - по каждому "срезу" матрицы производится перебалансировка и если нарушение баланса угрожает стабильности системы - в такие точки "отводятся" избыточные вектора.

И еще:
Цитата:

...образуется "щель", неучтенный приемник потенциала (ага, соответствует "свободному измерению" на моей схеме). если в эту "щель" направить концентрированный импульс, то происходит нарушение общего баланса - он перестает на этом шаге быть равным нулю (отсюда - упомянутые два разных способа выхода в "точку пустоты" - т.е. построение отрицательного или положительного дисбаланса). в системе при этом - на следующем шаге – срабатывает компенсаторный механизм...

(в обеих цитатах выделение мое).
Такой механизм очень похож на случай из Теории Игр, носящий название «НЕантагонистических игр» или «игр с ненулевой суммой». Такие случаи там принято сводить к антагонистическим стратегиям (когда суммарний выигрыш победителей в точности равен суммарному проигрышу побежденных) посредством приписывания дополнительно фиктивного игрока, называемого средой. Именно за счет него уравнивается общий баланс. Даже термин такой применяется - «ему приплачивает среда»

.

И вот это как раз и есть магический случай! Математически он выглядит так, что рассматриваемая система ведет себя как замкнутая (автономная), не проявляя никакой склонности взаимодействовать с чем-либо за своими пределами. Но все это лишь до поры до времени, пока ее собственный баланс сохраняется! При нарушении оного, сразу же возникает «компенсационный поток со стороны».
Образно говоря, это похоже на залив, соединенный с морем очень узким проливом (как сообщающиеся сосуды). До тех пор, пока процессы круговорота воды в заливе сохраняют общий баланс воды (испарение равно притоку из рек), течение через пролив отсутствует, что позволяет неограниченно долго находиться в полном неведении относительно существования моря. Но как только баланс окажется нарушен, так сразу же возникнет течение через пролив, которое должно быть рассмотрено, как вмешательство моря в систему залива.

В ранее рассмотренных цепях Маркова, отраженных в стохастических матрицах переходов, такое поведение возможно выглядит следующим образом. В системе имеется, по крайней мере, один изолированный класс без «истока» из него и без «стока» в него. Такой класс «снаружи» является вещью в себе, не зависимо от того, возвратный он или нет. Тем не менее, в общем балансе (единичная сумма по столбцам) он участвует.
Казалось бы, наличие таких классов может быть сброшено со счетов всеми процессами, состояния которых в данные классы не входят (являются внешними по отношению к такому классу). Но на деле это лишь до поры до времени. Т.е. до тех пор, пока не потребуется скомпенсировать «несходящийся» баланс. В последнем случае такой класс проявит себя как донор или акцептор недостающих возможностей! И выглядеть это может, как возникновение из ниоткуда или пропажа в никуда.

В этих утверждениях я сознательно допустила ряд серьезных ошибок, совершенно недопустимых в данной модели, но необходимых мне для того, чтобы ярче продемонстрировать идею. Одна из этих ошибок состоит в том, что изолированный класс никогда ни с кем не делит своих столбцов (на то он и изолированный), а стало быть, формально не может служить компенсатором. Но с другой стороны, само утверждение о возможности дисбаланса уже является ошибочным для данной модели. И, тем не менее, обе эти ошибки стоят друг друга

, в паре проясняя то, что происходит в данном случае. А происходит здесь, по-видимому, флуктуация элементов матрицы (дело того самого супероператора), в результате чего на короткое время нарушается изоляция, по крайней мере, одной пары ранее автономных классов, допуская взаимный "переток" ("перелив"). С точки зрения "внутреннего наблюдателя" такое событие воспринимается как нарушение баланса, хотя с глобальной точки зрения с общим балансом всегда все в порядке.

С физических позиций такое нарушение баланса является проявлением нарушения замкнутости системы, допускающим внетерриториальный экспорт или импорт. Однако сам факт того, что "нарушение границы" могло произойти в результате внутренних событий, заставляет сильно усомниться в том, что система с самого начала была замкнутой.
Здесь можно выдвинуть гипотезу о том, что в каждом отдельном случае автономность (замкнутость) системы есть только кажущееся явление, обусловленное совпадением внутреннего "потенциала" с внешним. А эффект изоляции проявляется не в том, что "труба наружу" перекрыта, а в том, что "давление" изнутри и снаружи уравновешивают друг друга, образовывая своеобразную пробку (см. аналогию с заливом и морем). Однако динамические процессы внутри системы в принципе могут вызывать кратковременные "приливы" и "отливы", точно так же, как это бывает при раскачивании жидкости в одном из сообщающихся сосудов.

И все это возникает, как верно подметила Гадюка, именно при попытке нарушения баланса. Баланс природа сохранит, но ценой этого будет появление чего-то нового!
Вспомним, что как раз такой способ обычно и применяется для того, чтобы обнаружить новенькое. Например, все эти ускорители частиц, посредством которых удалось пусть на очень короткое время, но вызвать к жизни сонм элементарных частиц, которые в «натуральном» виде в природе не встречаются. Вот и магия, по-видимому, тоже есть действие того же сорта. Ее проявление это и есть «новизна» (чудесность) появления того, что является перед нами лишь в редкие моменты «дисбаланса».

(Отредактировано автором: 03 Декабря, 2005 - 13:22:55)

Advanced Member

С.И. Доронин
Я читаю, по-немногу, теоретический материал. Но пока не чувствую себя в силе обсуждать его. Думаю, подходить постепенно и издалека, если вы не против.
На пальцах и метафорах.

Провожу параллели за ради немного изменить контекст темы.
Возьмем географическую карту местности. Она плоская. Но на ней есть замкнутые линии - изогипсы - объединяющие точки, лежащие на одной высоте над уровнем моря. Вот если бы у нас была не одна карта, а несколько, на каждой из которых расположены исключительно объекты, лежащие на одной высоте - карты срезов пространства. Взяв в руки несколько таких карт, не зная заранее, думаю, это было бы нелегко - понять, изображена на них одна и та же местность или нет.
Мы привыкли считать реальностью все-все события, которые происходят с нами и вокруг нас, события, которые мы привыкли "нанизывать" на нити времени, целей, причин и следствий, в частном случае - объединять в ассоциативные сети. В этой теме вы говорили о срезах реальности. Принятый нами способ объединять события в цепочки или сети событий, в каком-то смысле, это способ сделать срез реальности. Читабельный, понятный нам срез реальности.
Если в качестве изогипс взять меры кв.запутанности, «объединив» таким образом соответствующие события, мы тоже получим карты срезов реальности. Но прочитать эти карты, понять их смысл будет не просто. Если отвлечься от вероятностей и градиентов энергии, то многомерные матрицы могли бы содержать информацию, зафиксированную в пакете карт срезов реальности, выполненных подобным образом.
Это - совершенно особый «взгляд на мир». Он позволяет объяснить много вещей. В частности феномен предвиденья как способность видеть события, лежащие в одном срезе реальности, в состоянии, характеризующемся одной мерой кв.запутанности.
Манипулировать многомерными матрицами - сложно. Манипулировать реальностью как многомерной матрицей - не проще. Если не сложней. Искусство создавать подобные срезы реальности и читать их - суть-искусство «магии плетения». Думаю, что кв.механика как научная дисциплина очень подходит для того, чтобы сделать это искусство чуть понятнее и доступнее. Может, я не все так уж правильно говорю, но это - попытка «проявить принцип», это на самом деле сложно - провести подобные параллели. Помните, мы как-то говорили, что было бы не лишним подвести теоретическую базу под те магические искусства, которые вообще таковой не имеют?
Буду считать, что этим постом я сформулировала задачу.
Я не жду, что нам удастся сделать это в нескольких постах. Да и соответствующей методики пока нет. С чего начать? Хочется с простого. Не с многомерных матриц, а хотя бы с двумерных как частный случай многомерности - в один столбец или строку - с цепочек событий.
Не знаю...
Это все так - ни к чему не обязывающие и сумбурные размышления вслух.

Super Member

April
похоже, нечто подобное я предложила Сергею Ивановичу в теме "Молодежь" http://physmag.hut1.ru/forum/topic.php?forum=9&topic=8&v=#1158685296
а именно описать человечью этику и причинно-следственные связи в физических терминах подобных физических моделей... - это те же маломерные матрицы

для меня психология та же КМ...

Advanced Member

Любовь
Цитата:

это те же маломерные матрицы

Согласна. Их не так уж много: причинно-следственная цепочка событий, целевая (устремленная к цели). Как они выглядят с точки зрения кв.запутанности? Существует ли какая-то закономерность? Не знаю. Хотя вопрос кажется простым. Цепочки событий, хочешь-не хочешь, растянуты по линии времени, тогда как в кв.запутанной сети нет перехода от события к событию, все события случаются как бы мгновенно. Время отсчитывается не по переходу от события к событию, а по переходу из одного целостного состояния системы к другому целостному состоянию.
Для чего нам нужны многомерные матрицы?
Если я правильно понимаю, для того, чтобы знать поведение отдельных частей сложной системы в том или ином ее состоянии и наоборот - знать поведене сложной системы в зависимости от состояния ее частей. Хотя я могу ошибаться. Если же нас интересует система в ее целостности, она ведет себя как простая система, и ее поведение можно описать маломерной матрицей. От чего уши, к тому и пришли.

Super Member

April
для решения конкретной задачи можно строить упрощенные модели, т.е. использовать маломерные матрицы, которые включают в себя цепочки определенной степени точности, приближения...
не думаю, что все случается мгновенно, просто скорости процессов разные на разных уровнях взаимодействия, да и передача сигнала между уровнями тоже требует каких-то затрат на изменение состояния...

Advanced Member

Любовь
Цитата:

для решения конкретной задачи можно строить упрощенные модели, т.е. ..

Это понятно.
Но речь о другом: о мостах, о способах перехода от одной модели к другой - от классической к квантовой, от одного взгляда на мир к другому. Чтобы создать такие мосты, нужно взять частный случай, который допускает посмотреть на себя равно как на классический, так и на квантовый. Значит, это не должен быть особо сложный случай.
Т.е. я хотела бы развить тему "упаковки информации".
В моем примере, нарисовать маршрут путешествия и закодировать его в координатах и изогипсах - одна кодировка не сводима к другой на уровне систем описания, но реальный маршрут является одним и тем же.
Какую информацию содержат в себе обсуждаемые здесь многомерные матрицы? реальный маршрут в какой-то особой единой системе описания? частное описание маршрута (типа в изогипсах или координатах)? описание переходов между системами описания (способ упаковки одного описания в другое)?
PS: мой пример - не самый удачный, здесь обе системы описания равнозначимы, равноправны, чего нельзя сказать о классическом описании и квантовом. Отсюда и существование "точек пустоты".
Факт остается фактом: на уровне систем описания одно нельзя свести к другому. Мосты возможно построить либо на "местности" (на уровне "архитектуры" систем описания), либа на уровне мета-описания, предназначенного для описания архитектур систем описания.
Может ли кв.механика взять на себя роль мета-описания?
Отражают ли многомерные матрицы архитектуру квантового описания мира?

(Отредактировано автором: 21 Сентября, 2006 - 09:22:18)

Super Member

April
а если посмотреть на все это в таком аспекте...
изогипсы - это ведь тоже некая состема коодинат...
и как возможен переход из сферической системы координат в ортогональную, так должен быть возможен переход представления местности в иную систему координат, просто он может оказаться многоступенчатым, поскольку у этих представлений нет общих граничных условий, как в случае со сферической и ортогональной системами, при условии, что представления лежат в одной мерности... либо возможен переход через представление более высокой мерности, в которую входит и то и другое представление, как в графах...
переход в представление другой мерности, т.е. учитывающее большее количество условий-мерностей - это уже качественный переход (о нем оч хорошо писал здесь в свое время О.О.) и возможен он только потому как любое целое есть совокупность Инь-Ян представлений, в случае с классической механикой и квантовой - это переход от структуры - Ян-представлению к волне - Инь-представлению, но после перехода обнаруживается, что в КМ тоже присутствует структура, т.е. Ян-представление, но уже иной мерности...
Вы же в своем опыте абстрагировались от структурного Ян-представления и посредством Инь-представления (нуль-транспортировки, туннелирования) переходили в структурное же представление, но в данном случае с другими координатами, которое в некотором смысле является уже иным отличным от начального...
сильно накрутила? если не оч понятно - разберитесь с графами, они более наглядны чем матрицы, которые являются в большей степени волновым представлением, чем графы, которые суть структурное