Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Для сравнения показываю два рисунка, выполненных для одних и тех же входных данных. Первый рисунок выполнен Matccad-ом, второй рисунок построен твоей программой. Можно видеть, качаственно они дают одинаковый результат. Количество щелей = 3.

[valeriy]

Показываю картинки бомовских траекторий для случая 5 щелей. Входные параметры те же самые. Можно видеть, что качественное совпадение есть.

[Pipa]

Пипа, у меня такое ощущение, что при вычислении бомовских траекторий ты берешь все начальные точки х₀, не заботясь о том, что они могут попадать в область физической тени, т.е. брать их там, где располагается барьер, разделяющий щели.

   Так я вам уже задавала вопрос о том, как выбирать x0:

Так вот начальные значения x₀ задаются в областях местоположения щелей, помечено стрелками. А начальные значения z₀ выбираются в ближайшей окрестности щелей, т.е. сколь угодно малые но не равные нулю.

    Так вот я и спрашиваю вас ширину того отрезка (± от положения щели), который на рисунке обозначен, как x0. Оценку для z0 вы дали, а для x0 нет. Под выражением "в ближайшей окрестности" можно понимать все, что угодно. Назовите хотя бы крайние пределы этой области в долях от lambda.

На этот мой вопрос вы ответили так:

А это на твое усмотрение.
Если расстояние между щелями d=lambda, то размеры щелей можно взять lambda/2.

Вот я и взяла ±lambda/2 от центра щели. Т.е. щель получилась у меня шириной lambda.

Внесла изменения в очередной вариант программы: http://quantmag.ppole.ru/tmp/interference.zip (версия 0.4)
1) Ширину щелей (slit size) теперь тоже можно редактировать вручную.
2) Увеличения (Zoom) преобразованы в масштаб (Scale), который теперь может не только растягивать изображение по осям, но и сжимать его. Без этой возможности часть картинки уходит за пределы чертежа в тех случаях, когда имеется много щелей или между ними велико расстояние.
   

[valeriy]

Посмотрел твою обновленную программу. Мне она понравилась. Высылаю картинку интерференционного паттерна, полученного с 7 щелевой конструкции. Параметры те же самые, которые ты задала. А z-scale = 1:2 и x-scale = 1:2. Паттерн очень натурален. Видно, что бомовские траектории предпочитают группироваться в затемненных областях - областях, где плотность вероятности повышается.

Но здесь фиолетовый цвет, показывающий бомовские траектории, заполняет все пространство между темными пятнами в начале экрана, (Пипа):

Вот я и взяла ±lambda/2 от центра щели. Т.е. щель получилась у меня шириной lambda.

Надо взять ±lambda/4 от центра щели. Тогда ширина каждой щели будет lambda/2, и расстояние между ближайшими краями щелей так же будет lambda/2, а расстояние между центрами щелей будет lambda

[valeriy]

Показываю паттерн бомовских траекторий для случая 7 щелевой интерференции. Входные параметры m = 9.1095E-31 kg, lambda = 0.5E-8 m, d = 1E-8 m, slit size = 1E-8 m, sigma0 = 0.5E-9 m, z-scale = 1:1, x-scale = 1:2.

Может смутить необычность этого рисунка. Но не следует беспокоиться. Видно, что в ближней зоне траектории проявляют признаки турбулентности. Следует предупредить, что турбулентность это еще не означает беспорядок. На самом деле, турбулентные структуры так же показывают хороший порядок. И если бы можно было бы построить бомовские траектории с более мелким шагом, можно увидеть даже очень упорядоченное их распределение. Смотри Talbot effect в Википедии http://en.wikipedia.org/wiki/Talbot_effect .

[Pipa]

Может смутить необычность этого рисунка. Но не следует беспокоиться. Видно, что в ближней зоне траектории проявляют признаки турбулентности. Следует предупредить, что турбулентность это еще не означает беспорядок. На самом деле, турбулентные структуры так же показывают хороший порядок.

   А при расчете на МатКаде тоже такой эффект получается или только у меня?

И если бы можно было бы построить бомовские траектории с более мелким шагом, можно увидеть даже очень упорядоченное их распределение. Смотри Talbot effect в Википедии http://en.wikipedia.org/wiki/Talbot_effect.

   Пошаговое построение, к сожалению, может давать набегающую ошибку из-за того, что мы на самом деле не интегрируем, а двигаемся по кусочно-линейной траектории.
   Нельзя ли (не в этой программе, а вообще) произвести аналитическое интегрирование выражений и вывести формулу для бомовской траектории?

   Еще к вам просьба: помогите пронормировать функцию |PSI|² так, чтобы она, как ей положено, была нормирована на единицу по всему объему. А то ныне расчет по формулам выдает жутко большие числа, у которых даже проблематично посчитать число знаков. Из-за этого вывод этого значения в строку выглядит неприличным. А если бы такую нормировку можно было сделать, то это выражение можно было выводить инженерной нотацией в показательной форме.
   Какую плотность вероятности дают ваши вычисления на МатКаде в точке при t=0 прямо напротив единственной щели? Отчего это число получается столь большим? Это только у меня или у вас тоже? Посчитайте, пожалуйста, это число у себя при каком-то наборе парметров, а потом я их повторю и сверю. 

[valeriy]

Pipa Сегодня в 12:14:45

А при расчете на МатКаде тоже такой эффект получается или только у меня?

Да, такой же эффект, смотри прицепленный рисунок. В частности, если бы сделать интерференцию в зеркальной трубе, т.е., по бокам поставить зеркала и отражать все лучи во внутрь ограниченой области, то можно было бы наблюдать Талбот-картинку, как она показана в http://en.wikipedia.org/wiki/Talbot_effect

помогите пронормировать функцию |PSI|² так, чтобы она, как ей положено, была нормирована на единицу по всему объему

Хорошо, я подумаю и отвечу тебе.

[Pipa]

valeriy
   Похоже на то, что я не понимаю самого важного момента: чем определяется интерференционная картина, получаемая на экране, плотностью вероятности |PSI|² в точках экрана или же бомовскими траекториями?
   Эти сомнения породили у меня картинки с узкими щелями (порядка 1/10 lambda), подобные этой:



Здесь узкая щель оставляет весьма большое теневое пространство, куда не могут достичь бомовские траектории. Тем не менее, на распределение плотности вероятности это никак не сказывается. Возникает парадоксальная ситуация, когда плотность вероятности велика в тех местах, куда частицы, движущиеся по бомовским тракториям, проникнуть не могут. Следует ли понимать этот результат так, что в некоторой области плотность вероятности может быть велика, а частицы могут там отсутствовать? И попадают ли частицы на экран в тех местах, куда бомовские траектории не могут достигнуть (область тени)? Увижу ли я на экране, положение которого указано на картинке, центальную часть с плотной вероятностью или нет, раз бомовские траектории туда не доходят?  

[valeriy]

Да, не очень красиво. Но видно, что и эти узкие пучки предпочитают рассосредотачиваться так, чтобы в областяю пониженных значений плотности вероятности организовывать разряженные потоки и сгущаться там, где плотность вероятности повыается. В областях, где плотность вероятности понижается, траектории имеют более выраженную поперечную составляющую, а в областях, повышенных значений, траектории становятся более пологими. Поперечность и пологость рассматриваются в представлении твоих рисунков.

Казалось бы траектории должны сильнее разбегаться. Ранее ты задавала вопрос по поводу не сохранения импульса. Можешь ли ты ввести в программу некоторую модификацию, поправляющую компоненту скорости Vz. Такая поправка очевидна с рисунка, прицепленного к сообщению, а именно:

  V_z = sqrt( V₀² - V_x² )

Здесь полагается V₀ является константой, которая определяется из lambda, заданной изначально. При вычисленной поперечной компоненте скорости V_x, далее вычисляется продольная компонента V_z. Давай посмотрим, как будет выглядеть пучок бомовских траекторий при такой поправке.

[Pipa]

Казалось бы траектории должны сильнее разбегаться. Ранее ты задавала вопрос по поводу не сохранения импульса. Можешь ли ты ввести в программу некоторую модификацию, поправляющую компоненту скорости Vz. Такая поправка очевидна с рисунка, прицепленного к сообщению, а именно:
  V_z = sqrt( V₀² - V_x² )
Здесь полагается V₀ является константой, которая определяется из lambda, заданной изначально.

   Такая поправка воздействует только на бомовские траектории, но порождает массу проблем. Например, следующую. Поскольку ход времени равномерен, то у нас окажется переменной скорость по z. Т.к. каждый шаг по оси z теперь уже не будет соответствовать одному и тому же временному промежутку, за счет того, что часть скорости Vz утекает в Vx. При этом развалится сам расчет PSI, поскольку время t дважды входит в выражение для PSI: первый раз в составе sigmaT, а второй раз в мнимом слагаемом i*(EZ/hP)*t.
   Получается замкнутый логический круг: t в точке зависит от Vz, Vz зависит от Vx, Vx зависит от nablaPSIsumm и PSIsumm, обе из которых, в свою очередь, зависят от t. Круг замкнулся!
   Короче говоря, исправленная величина для Vz=sqrt(Vo²-Vx²) вызовет за собой, как следствие, не только изменение бомовских траекторий, но и всей картины плотности вероятностей, поскольку изменит время t=z/Vz в узлах расчетной диаграммы. Из-за этого вся картина распределения |PSI|² в пространстве сожмется по оси z, в общем случае неравномерно. 

[valeriy]

Да ты права, формулы самодостаточны. И внедрение в их струтуру вызовет только кучу не предвиденных, а возможно, и фатальных проблем.

Что казается нормировки PSI-функции, попробуй |PSI|²(x,z) домножать на dx*2/slits, здесь dx - приращение по оси х.

[Pipa]

Что казается нормировки PSI-функции, попробуй |PSI|²(x,z) домножать на dx*2/slits, здесь dx - приращение по оси х.

   Этого делать нельзя, т.к. это уже будет не нормировкой (введением константного множителя), а коренной трансформацией поля вероятности, выражающейся в ее завале в точке начала x-координаты. Кстати, вы не написали, откуда вы это приращение собрались измерять. От середины щели? 

[valeriy]

Вид гауссовой волновой функции я взял в работе http://arxiv.org/abs/quant-ph/0702224 , A.S. Sanz and S. Miret-Artеs, "A causal look into the quantum Talbot effect". Она, как оказывается, имеет размерность 1/sqrt( m ). Следовательно, их плотность вероятности имеет размерность 1/m.  Для построения интерференционного паттерна и бомовских траекторий это оказывается не критичным.
Но чтобы плотность вероятности была бы безразмерной, их плотность вероятности следует домножить на параметр, имеющий размерность [метр]. Именно поэтому я умножаю на приращение dx. Это следует из формулы для нормировки:

 (1/slits)*summ_{по всему интервалу x от -Х до +Х} |PSI|²(x,z)dx

Тогда эта сумма будет давать результат близкий к единице. Сторого говоря, чтобы этот результат был бы равен единице, мы длжны устремить границы интегрирования, -Х и +Х, к бесконечности.

Поэтому функцию |PSI|²(x,z) следует дополнить множителем dx/slits. Делитель slits возникает из-за того, что PSI(x,z) собрана из суперпозиции slits-штук гауссовых функций. Множитель dx - приращение вдоль оси х от -Х до +Х. Как видишь в пределе dx --> 0 эта сумма переходит в интеграл.

Да Mathcad показывает, что размерность |PSI|² есть 1/m.
Я проверил нормировку, о которой говорил выше. Она на самом деле меньшие 1. Это потому, что наблюдаемый интервал (-Х,+Х) является конечной величиной.

[Pipa]

Вид гауссовой волновой функции я взял в работе http://arxiv.org/abs/quant-ph/0702224 , A.S. Sanz and S. Miret-Artеs, "A causal look into the quantum Talbot effect".
<...>
Поэтому функцию |PSI|²(x,z) следует дополнить множителем dx/slits. Делитель slits возникает из-за того, что PSI(x,z) собрана из суперпозиции slits-штук гауссовых функций. Множитель dx - приращение вдоль оси х от -Х до +Х. Как видишь в пределе dx --> 0 эта сумма переходит в интеграл.

   Сделать так рука не поднимается. Тогда получится, что при большом удалении от щели (dx -> к бесконечности) |PSI|²(x,z) становится сколько угодно большой, благодаря множителю dx/slits. Этот результат противоречит здравому смыслу.
  Когда я ратовала за нормировку, то подразумевала всюду ПОСТОЯННЫЙ множитель (не зависящий от x и z), приводящий величины |PSI|² в удобоваримое состояние. Т.е., по крайней мере, НИГДЕ не превышающей  единицу. А то вероятности порядка 10⁸ выглядят так же нелепо, как гарантия 1000000% . 
  В статье, на которую вы сослались, написано:
Фo(x, z) = A(0)*exp(−...)
A(0) = 1/sqrt(2*pi*σx*σz)
отсюда следует, что если я хочу, чтобы A(0)=1, то годится нормировочный множитель sigma0*sqrt(2*pi)/slits. Его я и ввела в последнюю версию программы - http://quantmag.ppole.ru/tmp/interference.zip (версия 0.5).
  Может быть это и не идеальный выход, но практический результат, на мой взгляд, получился хорошим. За нормировкой при t>0, как оказалось, следить не нужно, т.к. она соблюдается автоматически из-за того, что уравнения сами собой обеспечивают сохранение суммарной интенсивности во всех сечениях, параллельных щелевому экрану. По этой причине, оказалось достаточным ввести нормировочный множитель из соображений для t=0. Посмотрите сами на вывод, который дает программа при перемещении курсора по 3D-контуру.
   Кроме того, в последнюю версию программы было внесено множество мелких поправок в графический интерфейс. А из заметных глазу изменений - добавлена возможность экспорта 2D-картинки прямо в клипборд (раньше можно было только в файл).

[valeriy]

Ты очень талантлива!
Я согласен с тобой, можно взять тот множитель, который ты предлагаешь. Я посмотрел твою последнюю версию, она мне понравилась. Возможно, могут быть и последующие улучшения, но то, что она делает сейчас, я пока не вижу изьянов. Здесь я воспроизвел интерференцию на четырех щелях. Можно видеть, что в условно дальней зоне (на рисунке Graph2D.jpg проведена линия А) главные максимумы 0,1, 2, 3 отделены друг от друга slits-2 = 2 побочными максимумами. Бомовские траектории демонстрируют "турбулентное поведение" в ближдней зоне и обнаруживают некоторое подобие с Талбот-структурой, показанной в http://en.wikipedia.org/wiki/Talbot_effect . Также наблюдается чередование засвеченных участков и темных по мере удаления от щелевого экрана (особенно это хорошо видно но центральном луче). К сожалению, не достаточная плотность бомовских траекторий не позволяет высветить детали этого паттерна более подробно. Но попытка увеличить плотность траекторий приведет к их наложению друг на друга и в результате ни чего не будет видно. Есть только один вариант, с увеличением плотности траекторий так же увеличивать и размеры рабочего поля при рисовании.

Но в целом эффекно, мне результаты нравятся.