Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[Pipa]

(б) здесь я тебе не стал давать общий вид предэкспоненциального множителя, так как на результат он не влияет. Но, кстати, размерность его есть именно 1/метр.

   Нет. Взгляните на свою старую формулу:

PSI(t,x) = sqrt(sqrt(1/(2*pi*sigmaT*sigmaT)))
        *exp(-((x*x)/(4*sigma0*sigmaT))) + i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t))

В ней размерность PSI есть метр в степени минус одна вторая, или 1, деленная на корень из метра. После вычисления нормы PSI, т.е. уже плотности вероятности, размерность возводится в квадрат, и дает метр в минус первой степени (обратный метр). Т.е. размерность 1/метр относится не к размерности PSI, задаваемую предэкспоненциальным множителем, а уже к произведению ее на самосопряженное значение. Вот затем мне и приходилось в старой программе домножать матрицу плотностей вероятностей на sigma0, чтобы она стала безразмерной. Ведь вероятность не может иметь размерность физической величины, ни метра, ни 1/метр.
    

Не во всех формулах можно это сделать, как ты спрашиваешь. Но твое пожелание может быть уместно, если расстояния между обоими решетками значительно превышают ближнюю зону для первой решетки. Тогда также при T---> бесконечность, sigma1T = sigma1*{1 + i*z*lambda*(T-tau0)/(4*PI*sigma12*(T/tau0)} = sigma1*{1 + i*z*lambda*tau0/(4*PI*sigma12)}

   А почему не может? Если время всегда вычисляется как расстояние, деленное на скорость (z/V_x), то такая дробь могла бы быть подставлена во все места, где используется временная переменная. И тогда бы это не было полностью тождественно временному выражению, а не было приближением, когда  T---> бесконечность. Если же это мое мнение о способе вычисления времени (z/V_x) ошибочно, то срочно дайте мне указание, как следует вычислять время, соответствующее произвольной координате ковра [x,z], в противном случае я не знаю, где брать те времена, которые требуют все эти формулы.
   Да, вот еще. Новые формулы в первом письме, как раз и не содержали никакого времени! Вообще в них временных множителей не было! А времена ввели вы во втором и третьем письме, чтобы де "мне понятнее было". Только мне гораздо больше нравятся формулы из первого письма! А те, что в последующих письмах, не нравятся совсем. Нельзя ли вернуться к формулам из первого письма и взять именно их за основу?

А твоя преждняя программа так и делает - вышивает ковер Талбота в  метрических единицах.

   Вышивает, но только в процессе вышивки огромное число раз переводит координату во время, чтобы то подставить в формулу. А была бы формула сразу в метрических единицах, то вычислялось бы это не только скорее, но и точнее, поскольку каждая лишняя лишняя дележка увеличивает погрешность результата (а умножения погрешности не увеличивают).

[valeriy]

В ней размерность PSI есть метр в степени минус одна вторая, или 1, деленная на корень из метра.

Здесь я написал лишнюю операцию извлечения корня.

А почему не может? Если время всегда вычисляется как расстояние, деленное на скорость (z/Vx), то такая дробь могла бы быть подставлена во все места

Конечно, следует везде предварительно заменить время на отношение длины z к скорости v_z. Но тогда, вместо T---> бесконечность,  надо брать предел z--->бесконечность. Я тебе в файле Pipa01.doc старался выразить во всех формулах в метрических единицах. Но единственное, что неправильно сделал, это неудачно представил формулы (3) и (4), т.е., не связал с предыдущими нашими формулами. Ты их поправила в одном из недавних постингах.

А была бы формула сразу в метрических единицах, то вычислялось бы это не только скорее, но и точнее

Полностью разделяю твое мнение. Тогда снова возвращаемя к файлу Pipa01.doc, но с учетом твоих замечаний в самом первом твоем сообщении.

[valeriy]

Только мне гораздо больше нравятся формулы из первого письма! А те, что в последующих письмах, не нравятся совсем. Нельзя ли вернуться к формулам из первого письма и взять именно их за основу?

Да, возвращайся. Но сделай исправления, как ты сообщала в первом постинге, а именно:

sigma0T = sigma0*{1 + i*z*lambda/(4*PI*sigma02)}

[Pipa]

В ней размерность PSI есть метр в степени минус одна вторая, или 1, деленная на корень из метра.

Здесь я написал лишнюю операцию извлечения корня.

   Так я и сама вижу, что корень в ней вычисляется дважды. Только из вашего ответа я не поняла, действительно так и было вами задумано, или это вы второпях ошиблись, когда тот пост на форум писали. А если то была ошибка, то может исправим это выражение и в старой программе для очистки совести? Заодно и картинки сравним, насколько велико получится отличие. Прикидочная проверка пока показала, что убирание одного из корней к видимым изменениям не приводит, разве что создает малозаметную "нелинейность" развертки по координате z на больших удалениях от решетки (дальней зоне).  

[valeriy]

А если то была ошибка, то может исправим это выражение и в старой программе для очистки совести? Заодно и картинки сравним, насколько велико получится отличие.

Давай проверим. Мне интересно посмотреть.

[Pipa]

Давай проверим. Мне интересно посмотреть.

   И все-таки мне кажется, что двойной корень здесь был бы уместнее:

PSI(t,x) = sqrt(sqrt(1/(2*pi*sigmaT*sigmaT)))
        *exp(-((x*x)/(4*sigma0*sigmaT))) + i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t))

   Потому что первый корень извлекает sigmaT из квадрата (в принципе ее можно было сразу вынести из-под внутреннего корня, что в программе и сделано), а второй корень подбирает под себя sigmaT в знаменателе, в результате чего она оказывается на том же месте, где и в новых формулах: там она тоже стоит в знаменателе под корнем. Остальные величины предэкспоненциального множителя роли не играют, т.к. от времени не зависят. Поэтому предэкспоненциальный множитель с двумя корнями подобен таковому из новых формул, т.е. они одинаково пропорционально изменяются со временем.
   После убирания одного из квадратных корней получаю sqrt(1/2PI)/sigmaT, которая вылазит из-под корня, т.к. была в квадрате. На картинку это сказывается так, что интенсивность начинает быстрее убывать с ростом z. И это визуально выглядит так, как будто рисунок сжали по оси z масштабным множителем. Смотрите сами - оба эти два рисунка получены из одних и тех же данных (данные по умолчания без ini-файла) и построены в одном и том же масштабе:


Рисунок по версии 1.23 (двойной sqrt)


Рисунок по версии 1.24 (одинарный sqrt)

Версию 1.24 можно скачать отсюда.

[valeriy]

Версию 1.24 можно скачать отсюда.

Я посмотрел эту версию: она дает неверный результат. Для проверки достаточно задать много щелей (скажем 16), чтобы увидеть, что ковер Талбота в ближней зоне не воспроизводиться. Ковер Талбота может быть принят за "контрольный тест", если он дает верный результат, значит все ОК. Поэтому твое предположение

И все-таки мне кажется, что двойной корень здесь был бы уместнее

верное. В первой модели ошибок нет.

Что касается второй модели (она основывается на последовательном вычислении Фейнмановского интеграла по траекториям), то в ней реально предэкспоненциальный множитель имеет следующий вид
sqrt{m/2PI*hbar*T}*sqrt{sigma0/sigma0T}
Здесь первый корень включает m - масса частицы, hbar - редуцированная постоянная Планка, T - время пролета частицы от источника до первой решетки. Отсюда видно, что если увеличивать расстояние от источника до решетки, интенсивность на решетке будет падать как 1/T. Размерность этого корня = 1/метр. Я не стал его тебе приводить в формулах, так как он не влияет на вид зависимостей, но с ним только лишняя морока.

[Pipa]

sqrt{m/2PI*hbar*T}*sqrt{sigma0/sigma0T}
Здесь первый корень включает m - масса частицы, hbar - редуцированная постоянная Планка, T - время пролета частицы от источника до первой решетки. Отсюда видно, что если увеличивать расстояние от источника до решетки, интенсивность на решетке будет падать как 1/T. Размерность этого корня = 1/метр.

    Нет, размерность 1/метр будет у этого выражения только тогда, когда вы поставите дополнительные круглые скобки - вот так:
sqrt{m/(2PI*hbar*T)}*sqrt{sigma0/sigma0T}

Размерность этого корня = 1/метр. Я не стал его тебе приводить в формулах, так как он не влияет на вид зависимостей, но с ним только лишняя морока.

    Морока, это когда размерность у вероятности получается 1/кв.метр . А когда вероятность и пси-функция безразмерные, то никакой мороки в том нет, а сплошная благодать. Поэтому выражение sqrt{sigma0/sigma0T} мне нравится очень сильно, поскольку оно безразмерное. А первый сомножитель sqrt{m/(2PI*hbar*T)} погоды не делает, т.к. является константой, ибо "T - время пролета частицы от источника до первой решетки" величина для данного экспермента постоянная. Поэтому, если б была моя воля, я бы с радостью рассталась с первым сомножителем, из-за которого все эти метры появляются в вероятности, но второй сомножитель сохранила бы в том виде, каков он есть, поскольку: 1) дает правильный результат, 2) безразмерен, 3) совпадает с выражением из новых формул.

[valeriy]

Морока, это когда размерность у вероятности получается 1/кв.метр

- ты хотела сказать у плотности вероятности p=<psi|psi>. У нее размерность = 1/м². Вероятность обнаружить частицу в площадке dXdZ есть p*dXdZ - она безразмерна.

[Pipa]

- ты хотела сказать у плотности вероятности p=<psi|psi>. У нее размерность = 1/м2. Вероятность обнаружить частицу в площадке dXdZ есть p*dXdZ - она безразмерна.

   С этим согласна, но куда все-таки подевалась из экспоненциального множителя sigma0? В "реальном предэкспоненциальный множителе" sqrt{m/(2PI*hbar*T)}*sqrt{sigma0/sigma0T} она была в виде отношения с sigmaT. В новых формулах она тоже фигурирует в том же качестве. А у нас в программе вдруг исчезла? Почему? И на каком этапе упрощения это произошло?

[valeriy]

С этим согласна, но куда все-таки подевалась из экспоненциального множителя sigma0?

Я думаю все нормально
В выражении
sqrt{m/(2PI*hbar*T)}*sqrt{sigma0/sigma0T}
член sigma0T имеет вид

sigma0T=sigma0*(1+i*z*lambda/(4PI*sigma0²)

[Pipa]

Я думаю все нормально
В выражении
sqrt{m/(2PI*hbar*T)}*sqrt{sigma0/sigma0T}
член sigma0T имеет вид
sigma0T=sigma0*(1+i*z*lambda/(4PI*sigma0²)

   Да я не про это выражение, а про то, которое фигурирует у нас в программе:

PSI(t,x) = sqrt(sqrt(1/(2*pi*sigmaT*sigmaT)))
        *exp(-((x*x)/(4*sigma0*sigmaT))) + i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t))

Именно из его предэкспоненциального множителя пропала sigma0. Хотя вот тут:
sqrt{m/2PI*hbar*T}*sqrt{sigma0/sigma0T}
она присутствует, а у нас отсутствует.

[valeriy]

она присутствует, а у нас отсутствует.

Я кажется начинаю понимать вопрос, который тебя волнует. Первая формула, заимствованная из работ Ангела Санза, основывалась на феноменологии. Изначально, т.е., при t=0, волновой пакет пропорционален корню квадратному из Гауссовой функции
1/sqrt{2PI*sigma²}exp{-(x-x0)²/2sigma²}
Вот отсюда, как я понял, и всплывает sigma0. А при последовательной разборке Фейнмановского интеграла всплывает член sqrt{m/hbar*T}.

[Pipa]

Вот отсюда, как я понял, и всплывает sigma0. А при последовательной разборке Фейнмановского интеграла всплывает член sqrt{m/hbar*T}.

  Меня интересует вопрос, не когда она всплыла, а когда она у нас утонула!

[Pipa]

   Стёрла версию 1.24 с сайта, как неудачный вариант, а предыдущую версию 1.23 заменила на новую версию 1.25 (<= это ссылка).
   Ее отличия таковы:
1) Использована формула вычисления sigma0T, изходя из z, а не из t:
sigma0T=sigma0*(1+i*z*lambda/(4PI*sigma0²)
Эта формула полностью тождественна своей предшественнице, зато не требует вычисления времени t=z/V_z. Это сокращает число операций в цикле, повышает точность расчета, и чуть-чуть его ускоряет.
2) Убрано вычисление E_z, т.к. единственное место, где она использовалась, это мнимая часть показателя экспоненты:
i*((P_z/hbar)*V_z*t + (E_z/hbar)*t))
У меня оно привелось к короткому виду:
1.5i*P_z*z/hbar
в котором E_z явно не используется. Было бы хорошо, если бы вы подтвердили правильность моего упрощения этого выражения, чтобы в дальнейшем по этому поводу у нас не возникало вопросов.
3) Поверила версию 1.25 не только на картинках (они полностью одинаковые с версией 1.23), но и путем поэлементного сравнивания матриц плотности, записанных в файл (программа позволяет это делать из меню). Этот метод абсолютно надежен для такого рода проверок, т.к. не грешит субъективностью.
4) Исправлены мелкие погрешности версии 1.23, не связанные с расчетной частью, в частности у предыдущей версии не работала опция меню "View legend", которая включает и выключает проецирование на 3D-график текстового списка параметров ini-файла. А такая опция нужна, т.к. при публикации рисунков параметры либо не приводят, либо выносят в подпись к рисунку.

   Есть предложение в программе (и только в ней!) нормировать матрицу плотности так, чтобы напротив щели (при x=центр_щели и  z=0) ее значение было равно единице. Это сделало бы табличный вывод матрицы гораздо более наглядным и увеличило бы число значащих цифр. Наглядность тут в том, что кажется интуитивно естественным, что самая высокая плотность вероятности находится именно здесь.
   Хотя идеологически кажется странным, что по вашим формулам при z=0 гауссовый закон затухания действует в пределах щели (± slit width), причем так, как-будто щель имеет нулевую ширину. Интуитивно кажется, что плотность вероятности должна быть на всей ширине щели одинаковой, а затухать только за ее пределами.