Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Можно ли считать по формуле (1) в интервале z<z₁ (не доходя до второй решетки G2)?

Можно, смотри файл Pipa01.doc, там я подкрасил синим цветом все члены в формуле (1), которыми следует пренебречь при расчетах в интервале z<z₁.

[Pipa]

Пипа, прежде всего просьба - дай какое-либо другое название программе, считающей именно эту задачу. Пусть имя interference останится за первой задачей, которая на самом деле дает приличные результаты.

   Название "interference2" годится или надо, чтобы слово "interference" вообще не присутствовало?

Здесь я выбирал параметры, которые только приблизительно соответствуют тем, представленным в статье
де Бройлевская длина волны λ = 5*10^-12 м.
Количество щелей N₀=N₁=7
Расстояние между щелями d₀=d₁=λ*5*10⁴
Полу-ширина щелей b₀=λ*0.75*10⁴, b₁=λ*1.5*10⁴
Пролетная длина между решетками L=d²/λ=0.0125 м
Пролетная длина после второй решетки L=d²/λ=0.0125 м

   Данные не полны - отсутствует задание массы и масштабов. В таком случае я вынуждена попросить у вас картинку в формате графического вывода программы interference (она же на графике пишет использованные параметры) или распечатку ini-файла, который продуцирует такую картинку.

Как я замечал ранее, интенсивности пучков межу решетками и после второй решетки сильно разняться (ясно, что присутствие решетки ослабляет проходящий пучок). И чтобы на одной картинке можно было бы наблюдать распределения плотностей, как между решетками, так и после второй решетки, предлагаю выводить на экран не плотность распределения ρ(x,z), но логарифм этой функции - log(ρ(x,z)+10^-6). Под логарифмом ты видишь добавочный член - пьедестал = 10^-6. Это делается для того, чтобы избежать взятия логарифма от нуля, так как нет гарантии, что ρ(x,z) может в каких-то точках обращаться в нуль. Такой график, выведенный в логарифмическом масштабе по оси ρ, с правильно настроенным пьедесталом, будет отражать цельную картину распределения плотностей вероятностей в обоих зонах.

    В принципе я могла бы просто пронормировать ОТДЕЛЬНО части до z₁ и после z₁. Ведь так или иначе, но такую номировку все равно приходится делать, чтобы перевести вероятность в контрастность. Делая такую номировку независимо для каждой из областей, на которые делит пространство решетка G2, получаем две соединенные вместе картинки, на каждой из которых с контрастностью должно быть все в порядке. А резкий переход при прохождении G2 в любом случае неминуем.
    Вообще-то я хотела рассчитывать области до и после G2 отдельно, чтобы сократить общее время вычислений.

[Pipa]

Можно ли считать по формуле (1) в интервале z<z₁ (не доходя до второй решетки G2)?

Можно, смотри файл Pipa01.doc, там я подкрасил синим цветом все члены в формуле (1), которыми следует пренебречь при расчетах в интервале z<z₁.

   Несогласна. Предэкспоненциальный множитель синим цветом не подкрашен, однако он содержит в себе явное упоминание z₁ и неявное его упоминание через σ₁, которая вычисляется через z₁.

[valeriy]

Название "interference2" годится или надо, чтобы слово "interference" вообще не присутствовало?

ОК

Данные не полны - отсутствует задание массы и масштабов.

Массу в первом приближении возьмем m = m_p*12*60 = 1.2*10^-24 kg, здесь m_p - масса протона
Ниже показываю рисунок вычисления интерференции таких массивных частиц с длиной волны = 5*10^-12 м на решетке, содержащей 7 щелей

На рисунке также даны загружаемые параметры. Показано при переходе в дальнюю зону Z = 8.064*zT

[valeriy]

Несогласна. Предэкспоненциальный множитель синим цветом не подкрашен

В формуле (2) выполнена подкраска синим цветом этого члена. При выбрасывании синих членов в области z<z₁, здесь формула начинает выглядеть как (5)

[Pipa]

   Пока не могу разрешить даже вопросы, возникающие по формуле (5), что мешает мне создать хотя бы подобие старой программы по новым формулам.



   1) Что такое D(σ₀(z))? В формуле (2) D(σ₀,σ₁) была определена от ДВУХ аргументов, а не от одного. Впендюрить в эту формулу только одну σ₀, позабыв подставить другой аргумент, никак не возможно. По физическому смыслу D() здесь вообще лишняя – напрашивается оставить одну σ₀.

   2) Непонятки с выражением в показателе экспоненты: по новым формулам тот обрел размерность, когда по старым формулам он был безразмерной величиной.
   Раньше σ была параметром девиации пакета и обладала размерностью m (метр). Это нормально, т.к. среднеквадратичное отклонение всегда имеет размерность той же величины, которая отклоняется.
   Здесь же возникает дилемма. Либо новые сигмы не являются у вас среднеквадратичными отклонениями, а являются безразмерными величинами (тогда показатель экспоненты в формуле 5 имеет правильную размерность) или сигмы являются среднеквадратичными отклонениями, то тогда формула для показателя экспоненты неверна.  



   3) Здесь тоже 1 величина безразмерная, что наводит на мысль о том, что все сигмы по новым формулам представляют собой безразмерные величины.
    Между тем, вы ни словом не обмолвились о том, что по новым формулам сигмам приписывается какой-то иной смысл, отличный от прежнего. У меня же возникают огромные трудности из-за того, что раньше sigma0 имела величину:
2E-9;  // параметр девиации пакета электрона [m]
0.8E-9;  // параметр девиации пакета нейтрона [m]
a sigmaT отличалась от нее только мнимой частью, а теперь действительная часть сигм стала равна 1, что на 9 порядков (!) превосходит старые значения.

[valeriy]

Пока не могу разрешить даже вопросы, возникающие по формуле (5)

Я думаю, надо вернуться к преждним (старым) обозначениям, где фигурируют привычные массы, постоянная Планка, параметры девиации. Я перепишу формулы в этих привычных обозначениях и снова вышлю тебе doc-файл.

Пипа, выслал тебе файл Pipa03.doc, где формулы приведены в виде, легко узнаваемом по предыдущей деятельности

[Pipa]

   Не понравилась мне ваши формулы (3) и (4) из последнего (третьего) письма. Они вроде бы и правильные, но вычисляют сигмы из времени, когда для нашей картинки удобнее использовать расстояние (z). В этом смысле гораздно приятнее аналогичные формулы из первого письма - там, где к единичке прибавляют, и где масса отсутствует (вместо нее лямбда).
   Я сравнила эти формулы между собой и поняла, что ихние сигмы0 надо просто домножить на нашу старую sigma0, чтобы получилась наша sigmaT, которая ихней сигме0 соотвествует. Получила вот такую формулу:
sigma0T = sigma0*{1 + i*z*lambda/(4*PI*sigma0²)}
   Это вместо формулы (3), а формула (4) преобразуется аналогично.
   Хочу попросить вас ее проверить. Если моя формула тождественна вашей, то она бы упростила расчет и ускорила вычисления, т.к. тогда не надо будет вычислять время, исходя из скорости, чтобы потомм это время подставлятьь в формулу (3).
   А главное, что такая формула "идеологически" правильнее, т.к. формально при искривлении траектории должна бы изменяться V_z (проекция скорости на ось z), хотя мы в своих расчетах принимали ее за константу, несмотря на порой значительные отклонения траектории от прямолинейной. А в случае расчета через лямбду, такой вопрос не возникает.
    Кроме того, я уже в этой теме удивляла вас тем, что программная симуляция картины интерференции практичеси не зависит от массы - вводила массу в целый килограмм, картинка не меняалась (влияние становилось заметным лишь при массах на несколько порядков меньших, чем у электрона). И вы меня тогда успокоили, что это влияние мало. А по новым формулам выходит, что я была тогда права, и что от массы (параметра программы) картина вообще не должна зависеть, т.к. параметр массы в вычислениях совсем не фигурирует.
    Да и вот еще что. В формуле (5) предэкспоненциальный множитель sqrt(sigma0/sigmaT) может быть сокращен, т.к. sigma0T уже содержит в себе множитель sigma0. 

[Pipa]

   Еще надо определиться с тем, что будем задавать в программе. Предлагаю оставить задание sigma0 и вести расчеты через него, а не через ширину щели на первой решетке, т.к. slit width используется для других целей - построения бомовских траекторий. И если взять slit width в сответствии с sigma0, то пучок получается настолько узким, что ни одной трактории не видно. Для красивых картинок ширину площадки, с которой стартуют траектории, приходится иметь шире, чем sigma0 (не в корень из двух, а много больше).
   Но тогда другая напасть - на второй решетке тоже вместо ширины щелей придется задавать sigma1. Из-за этого всё поплывёт...
P.S. Программа расчета по новым формулам ДО ВТОРОЙ РЕШЕТКИ уже готова. Осталось дело за второй решеткой.

[valeriy]

Получила вот такую формулу:
sigma0T = sigma0*{1 + i*z*lambda/(4*PI*sigma02)}

Формула корректна. Обрати внимание, здесь z*lambda представлена вместо ħ*tau/2m. Здесь ħ=h/2*PI - редуцированная постоянная Планка, tau - время пролета и m - масса частицы. Оба этих представления связаны через де Бройлевскую формулу дуальности волна-частица. А именно, время пролета tau=z/v_z, а импульс частицы есть p=m*v_z, где v_z - ее скорость вдоль оси z. Зная импульс частицы, по формуле де Бройля находим длину волны lambda=h/p=h/m*v_z. В результате вычисляем

ħ*tau/2m = h*(z/v_z)/2*PI*2*m = z*h/2*PI*(2*m*v_z) = z*lambda/4*PI.

Так что, выписанная тобой формула, верна.

Кроме того, я уже в этой теме удивляла вас тем, что программная симуляция картины интерференции практичеси не зависит от массы

Именно по этой причине ты и не видела зависимости от массы, я думаю, что в формулу входила зависимость от длины волны и масса там не присутствует. Отношение  ħ/m присутствует в вычислении поперечной компоненты скорости v_х при вычислении Бомовских траекторий.

Да и вот еще что. В формуле (5) предэкспоненциальный множитель sqrt(sigma0/sigmaT) может быть сокращен, т.к. sigma0T уже содержит в себе множитель sigma0.

Здесь может быть сокращено только  sigma0, но останется член {1 + i*z*lambda/(4*PI*sigma02)}. Обрати внимание на существование в этом оставшемся члене мнимой единицы. Именно присутствие мнимых единиц вносит весь шарм в интерференционные паттерны, которые выдает наша программа. Должен особо подчеркнуть, что программа выдает исключительно верную интерференционную картину, которую не смогли достигнуть даже спецы в интерферометрии Ben McMorran and Alexander D. Cronin (PHYSICAL REVIEW A 78, 013601 (2008)).

Предлагаю оставить задание sigma0 и вести расчеты через него, а не через ширину щели на первой решетке

Хорошо, пусть будет так. В принципе, можно задавая ширину щели a и сразу, не отходя от кассы, пересчитывать ее на sigma0=a*0.354. Здесь множитель 0.354=1/2*sqrt(2).

Но тогда другая напасть - на второй решетке тоже вместо ширины щелей придется задавать sigma1

Все то же самое, при заданной ширине щели на второй решетке a₁, не отходя от кассы, вычисляется sigma1=a₁*0.354.

Кстати, обрати внимание, что в sigma1T = sigma1*{1 + i*z*lambda*(T-tau0)/(4*PI*sigma12*(T/tau0)} в знаменателе второго члена присутствует (T/tau0), а в sigma0T подобный делитель отсутствует. В строгом смысле, такой же делитель должен быть и в sigma0T. Его отсутствие обусловлено тем, что источник частиц мы, формально, удаляем на бесконечность. В этом случае при Т --> бесконечность, формула для sigma0T принимает тот вид, который мы используем. То-есть, в этом случае полагается, что на первую решетку падает плоская волна. Но ести мы желаем учесть кривизну падающей на решетку волны, мы не имеем права этого делать. Ну этот вопрос легко решаем. Сложнее обстоят дела с допущением, что падающая волна не всюду когерентна (по умолчанию у нас когерентность волны допускается идеальной). Чтобы учесть развал когерентности, надо вводить фактор, учитывающий ее ослабление вдоль по решетки. Пока остановимся на том, что имеем. В любом случае, эта формула войдет как ядро в более общие выкладки, когда дело дойдет до учета кривизны пучка, его когерентности, и прочее.

[Любовь]

Именно присутствие мнимых единиц вносит весь шарм в интерференционные паттерны

еще было объяснение мнимой единицы в локальности... как ее пощупать башипизюкам?

[valeriy]

еще было объяснение мнимой единицы в локальности... как ее пощупать башипизюкам?

Не суйся в эту тему со своими глупыми вопросами.

[Любовь]

Не суйся в эту тему со своими глупыми вопросами.

так и скажите, что вы только считать умеете, а понимание вопроса вас не интересует...

[Pipa]

Именно по этой причине ты и не видела зависимости от массы, я думаю, что в формулу входила зависимость от длины волны и масса там не присутствует. Отношение  ħ/m присутствует в вычислении поперечной компоненты скорости vх при вычислении Бомовских траекторий.

   Да, вы правы, про это я и позабыла. Но тогда возникает вопрос, почему мы задаем лямбду, как входной параметр. Ведь казалось бы гораздо удобнее задавать скорость? Вот и в том эксперименте крутится барабан-сепаратор, а стало быть, его вращением и задается скорость. В этом смысле именно скорость, а не лямбда, является экспериментально задаваемым параметром. А что касается электронов и нейтронов, то для них скорость, скорее всего, рассчитывается из энергии. Лямбда же во всех случаях - расчетная величина. Так почему же не программа ее расчитывает, а она уже задается в программу готовой?
   Еще один момент. По старым формулам у вас был член, куда входила E_z. И рассчитывалась эта величина исключительно ради этого члена. А по новым формулам этого члена нет, а потому, как я поняла, E_z нам совсем считать не нужно. Так ли это?
   И вот еще какой вопрос меня сильно тревожит: существует определенное расхождение между формулами, которые вы приводили раньше (и те, которые были приведены в вашей статье в журнале "Квантовая магия") и новыми формулами. Эти формулы между собой не тождественны. У вас было дополнительное слагаемое в мнимой части, которого по новым формулам отсутствует. А, кроме того, у вас был совершенно иной предэкспоненциальный множитель, на который у меня в свое время было столько нареканий из-за того, что он обладал размерностью, не совместимую с понятием вероятности. На картинки это никак не сказывалось, но нервы мне портило. В конце концов, отчасти по вашему совету, мною был состряпан нормирующий множитель, на который умножалась уже расчитанная матрица вероятности, чтобы действительно стать таковой хотя бы по порядку величин. Т.е. она домножалась на sigma0 (в противном случае она бы имела размерность m^-1), а также всякие корни из двойки и пи, и кроме того делилась на число щелей. А по новым формулам полный ажур и красота - вероятность сама получается безразмерной, т.к. безразменен и сам предэкспоненцмальный коэффициент (отношение sigma0/sigmsT безразмерно). И величина сразу получается точно такой же, которая получалась раньше лишь после дополнительной нормировки. Еще раз повторю, что на 2D- и 3D-картинки это никак не вляет, т.к. там все равно происходит перенормировка либо на цветовой контраст, либо на высоту окна.

Кстати, обрати внимание, что в sigma1T = sigma1*{1 + i*z*lambda*(T-tau0)/(4*PI*sigma12*(T/tau0)} в знаменателе второго члена присутствует (T/tau0), а в sigma0T подобный делитель отсутствует.

   Обратила. Только и тут хотела бы спросить, а нельзя вообще во всех этих формулах избавиться от времени? От T, t, tau и им подобных? Было бы логично, если бы мы безвылазно жили либо в пространстве [x,z], либо в пространстве [x,t]. Я в полной мере понимаю, что z и t связаны между собой простым отношением. Но, простите, измерение расстояния в локтях и в метрах имеет не менее простое соотношение, но, тем не менее, мы не пишем аляповатые формулы, в которых одновременно присутствуют величины, выраженные и в метрах и в локтях. И если мы "вышиваем" ковер Талбота, то было бы понятнее вышивать его в метрических, а не во временных единицах. И уж никак не в одновременно обоих.
   Конечно, программе не трудно вычислять для каждой точки и то (z), и другое (t), чтобы потом пихать в формулу то, что она требует. Но хотелось по эстетическим соображениям поглядеть, как эти формулы выглядят в чисто метрическом виде.
P.S. А ту свою статью вы не хотите переписать, в смыле формул?

[valeriy]

Но тогда возникает вопрос, почему мы задаем лямбду, как входной параметр. Ведь казалось бы гораздо удобнее задавать скорость? Вот и в том эксперименте крутится барабан-сепаратор, а стало быть, его вращением и задается скорость. В этом смысле именно скорость, а не лямбда, является экспериментально задаваемым параметром.

В этом проявляется дуальная природа материи, выраженная в словосочетании "волна-частица", и представленная де Бройлем  в его формулах, в которых обязательно присутствует постоянная Планка. По этой причине не возобраняется иметь дело как с длинами волн так и со скоростями. В физике элементарных частиц предпочтительно имеют дело с длинами волн (волновыми векторами). В случае тяжелых молекул часто представляют их скорости движения. Молекула фуллерена С₆₀ содержит 60 атомов углерода, каждый атом углерода имеет 12 нуклонов (6 протонов + 6 нейтронов). Итого масса фуллерена = 1.2×10^-24 кг. При скорости порядка v=110 м/c можно оценить де Бройлевскую длину волны = 5 пм = 0.005 нм (пм = петаметр=10^-12 м, нм = нанометр = 10^-9 м. Сравни, де Бройлевская длина волны = 5 пм, а радиус молекулы фуллерена = 370 пм, т.е., длина волны много меньше ее материального радиуса! Поэтому эксперименты с интерферометрией на фуллеренах требуют особых ухищрений, как с поддержанием вакуума, так и с поддержанием низких температур.

Еще один момент. По старым формулам у вас был член exp{i*omega*t}

. Я здесь его опустил, так как в конечных формулах, когда дело доходит до вычислений плотности вероятности, Бомовских траекторий, он исчезает сам собой. А на весь расчет он не влияет.

И вот еще какой вопрос меня сильно тревожит: существует определенное расхождение между формулами, которые вы приводили раньше

Это не существенное расхождение. И преждние формулы и те, которые я даю сейчас, дают один и тот же результат.

У вас было дополнительное слагаемое в мнимой части, которого по новым формулам отсутствует. А, кроме того, у вас был совершенно иной предэкспоненциальный множитель, на который у меня в свое время было столько нареканий из-за того, что он обладал размерностью, не совместимую с понятием вероятности.

(а) наличие дополнительного слагаемого уходит корнями к оригинальной работе Ангела Санза. В принципе, он не нужен. В так-называемом параксиальном приближении он исчезает (Параксиальное приближение - это когда луч света строго ориентирован вдоль световой оси прибора); (б) здесь я тебе не стал давать общий вид предэкспоненциального множителя, так как на результат он не влияет. Но, кстати, размерность его есть именно 1/метр.  

Только и тут хотела бы спросить, а нельзя вообще во всех этих формулах избавиться от времени?

Не во всех формулах можно это сделать, как ты спрашиваешь. Но твое пожелание может быть уместно, если расстояния между обоими решетками значительно превышают ближнюю зону для первой решетки. Тогда также при T---> бесконечность, sigma1T = sigma1*{1 + i*z*lambda*(T-tau0)/(4*PI*sigma12*(T/tau0)} = sigma1*{1 + i*z*lambda*tau0/(4*PI*sigma12)}

И если мы "вышиваем" ковер Талбота, то было бы понятнее вышивать его в метрических, а не во временных единицах.

А твоя преждняя программа так и делает - вышивает ковер Талбота в  метрических единицах.