Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Тогда какого черта вы в своем алгоритме заставляете меня считать экспоненты от (a+bi) и (a-bi) отдельно?

Пипа, первый вариант расчета как плотности вероятности, так и пучков бомовских траекторий себя очень хорошо зарекомендовал. Именно, с помощью этой программы мы получили прекрасные ковры Талбота и каким образом траектории по ним проходят в дальнюю зону. Задача аналитических оценок заключается в том, чтобы дать точные формулы поведения плотности вероятности и траекторий в дальней зоне. Если, по твоему заключению, эти формулы только утяжеляют вычисления, то не будем этим заниматься. Твоя программа дает хорошие результаты как для ближней зоны, так и для дальней. Этого вполне достаточно, чтобы можно было сравнить аппрохимирующие формулы с результатами программы.

PS: Толчком к этой деятельности послужило твое сетование по поводу того, что мнимые числа фигурируют в знаменателях. А вот если бы они были в числителях, то программа считала бы значительно быстрее. Вот я и постарался привести формулы к виду, чтобы мнимые числа были бы в числителе.

[Pipa]

Если, по твоему заключению, эти формулы только утяжеляют вычисления, то не будем этим заниматься.

   Заниматься этим надо! Только надо подумать о том, чтобы как можно больше упростить именно вычисления, т.е. число раз вычисления комплекной экспоненты, а не аналитический вид результата. У нас сейчас имеет место тот случай, когда одно из них провитворечит другому. Т.е. хороший вычислительный метод вообще не имеет аналитического выражения.

Толчком к этой деятельности послужило твое сетование по поводу того, что мнимые числа фигурируют в знаменателях. А вот если бы они были в числителях, то программа считала бы значительно быстрее. Вот я и постарался привести формулы к виду, чтобы мнимые числа были бы в числителе.

   Те мои сетования относились к потере ТОЧНОСТИ, а сейчас пред нами трудная борьба за СКОРОСТЬ!

   Теперь после 4-го варианта вашего письма,  я вообще теперь не могу понять, что вы хотите вычислить – двойную сумму или произведение одинарных сумм. Если произведение одинарных, как вы это определили в (2):



то зачем тогда вам раздельные индексы k и l, которые вы ввели? Ведь они здесь относятся к разным суммам, а потому было бы достаточно одного индекса k, т.к. у каждого суммы этот индекс и так свой.
   Я вам без расчета скажу, что обе эти суммы окажутся самосопряженными друг к другу, а их произведение  - действительной величиной. А потому вторую сумму вообще считать не надо, тем более вводить второй индекс l. Однако строчкой ниже вы умудрились превратить произведение сумм в двойную сумму, для которой все это уже не так. Такой арифметики я, хоть убейте, не понимаю. Если ваши выкладки верны, то зачем преобразовывать в трудно вычисляемую сумму сумм, то, что считается слёта, а именно произведение одинарных сумм, да еще с простыми аргументами (независящими от разности l-k)?

[valeriy]

Я вам без расчета скажу, что обе эти суммы окажутся самосопряженными друг к другу, а их произведение  - действительной величиной. А потому вторую сумму вообще считать не надо, тем более вводить второй индекс l.

Тогда делай так, как ты находишь нужным. В любом случае на выходе будет результат, который нам уже известен как из преждней версии 1.хх, так и из оценочных вычислений Mathcad-а.

[Pipa]

Тогда делай так, как ты находишь нужным.

   Для того, чтобы я делала так, как считаю нужным, я должна знать, чего требуется вычислить. Здесь



вами приведен не новый, а как раз старый способ расчета, поскольку умножение на комплексно-сопряженную (вторую) сумму это и есть получение квадрата модуля пси-функции. Именно там сперва находилась одинарная сумма составляющих от каждой из N щелей, а из той суммы получали квадрат модуля. Только что процитированное мной выражение есть лишь исключительно вычурный способ вычисления квадрата модуля, когда сопряженный сомножитель считается автономно.

   Я полагаю, что в описании вами допущена ошибка - выражение для от старого метода расчета ошибочно попало в помежуток перед двойными суммами, создав впечатление, что произошел акт преобразования. По-видимому вы хотите все-таки сумму сумм, а не то что я процитировала. Прошу проверить, соответствует ли мое предположение истине. В противном случае я требую доказать, как из произведения двух сумм может получиться вложенная двойная сумма.

[valeriy]

вами приведен не новый, а как раз старый способ расчета, поскольку умножение на комплексно-сопряженную (вторую) сумму это и есть получение квадрата модуля пси-функции.

Да я вижу, раньше у нас времени-зависимая дисперсия SigmaT находиласт в знаменателе. А здесь в знаменателе стоит SigmaT*conjugate(SigmaT) и числитель домножен на conjugate(SigmaT). Все ОК. Тогда надо проверить как вычисляются бомовские траектории. Вычисление скорости Vx дано формулой (4) в doc-файле, который я тебе прислал. Там выполнены такие же преобразования - в знаменателе фигурирует SigmaT*conjugate(SigmaT), но и числитель домножен на conjugate(SigmaT). Именно из этой формулы я попытаюсь получить асимптотику на бесконечности.

[Pipa]

Да я вижу, раньше у нас времени-зависимая дисперсия SigmaT находиласт в знаменателе. А здесь в знаменателе стоит SigmaT*conjugate(SigmaT) и числитель домножен на conjugate(SigmaT). Все ОК. Тогда надо проверить как вычисляются бомовские траектории. Вычисление скорости Vx дано формулой (4) в doc-файле, который я тебе прислал. Там выполнены такие же преобразования - в знаменателе фигурирует SigmaT*conjugate(SigmaT), но и числитель домножен на conjugate(SigmaT). Именно из этой формулы я попытаюсь получить асимптотику на бесконечности.

    Так зачем же тогла дело стало? Зачем понадобилось изменять порядок расчета и переходить на вычисление вложенных друг в друга сумм, когда вся разница только в множителе??? Давайте тогда этот множитель изменим, а алгоритм расчета трогать не будем.
    Опять же я не поняла какой знаменатель вы имеете ввиду -  тот, что в подэкспоненциальном выражении, или тот, который является общим множителем всего выражения. Кроме того, в старом варианте подэкпонециальным множителем был 1/(Sigma0*SigmaT), т.е. число комплексное. На него я уже жаловалась, что эта дележка портит точность. А если вы хотите перейти на SigmaT*conj(SigmaT), то было бы еще проще, т.к. это выражение действительно.
    Пока же я ничего не понимаю, шокированая тем обстоятельством, что вроде бы такая небольшая замена в множителе вылилась в то, что алгорим потерял малейшее сходство со старым, требуя расчетов огромного числа экспонент с разностями в подэкспоненциальном выражении. Не стоит ли тогда вернуться к старому вашему объяснению (которое было по меньшей мере ясным и понятным) и промодифицировать в том объяснении то, что вы хотели бы изменить.

[valeriy]

Не стоит ли тогда вернуться к старому вашему объяснению (которое было по меньшей мере ясным и понятным) и промодифицировать в том объяснении то, что вы хотели бы изменить.

Старая запись есть

PSI(t,x) = sqrt(sqrt(1/(2*pi*sigmaT*sigmaT)))
        *exp(-((x*x)/(4*sigma0*sigmaT)))
        + i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t))

где sigmaT - комплексная переменная.
Предлагается следующая запись

PSI(t,x) = sqrt(sqrt(1/(2*pi*sigmaT*sigmaT)))
        *exp(-((x*x*conj(sigmaT))/(4*sigma0*sigmaT*conj(sigmaT))))
        + i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t))

Здесь под экпонентой член sigmaT домножается на сопряженное его значение conj(sigmaT) и числитель х*х также домножается на conj(sigmaT). Тогда в знаменателе экспоненты член sigmaT*conj(sigmaT) есть действительный. А комплексность в виде члена conj(sigmaT) появляется в числителе.

[Pipa]

Здесь под экпонентой член sigmaT домножается на сопряженное его значение conj(sigmaT) и числитель х*х также домножается на conj(sigmaT).

   А разве есть разница между этими двумя выражениями? Что мешает сократить conj(sigmaT) в числителе и знаменателе, чтобы из предлагаемого варианта получилась старая запись? Да и вообще, разве изменится величина дроби, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, пусть и такое замысловатое, как conj(sigmaT)?     

[valeriy]

разве изменится величина дроби, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, пусть и такое замысловатое, как conj(sigmaT)?

Конечно не изменится. Но теперь знаменателе будет реальной функцией, а в числитель перекочует комплексность. Как я понял из твоего раннего постинга, ты сетовала на то, что в знаменателе фигурирует комплексное число, и именно по этой причине с ним сложно работать. Но правильно ли я понял, ты сняла эту проблему?

[Pipa]

Как я понял из твоего раннего постинга, ты сетовала на то, что в знаменателе фигурирует комплексное число, и именно по этой причине с ним сложно работать. Но правильно ли я понял, ты сняла эту проблему?

   Сложность работы была решена тем, что вне цикла вычисляется обратная величина, т.е. temp=1/(sigma0*sigmaT), а в цикле деление заменяется умножением на эту величину. Дополнительной точности это не придавало, т.к. погрешность теперь гнездилась уже не в операциях деления, а в погрешности вычисления temp=1/(sigma0*sigmaT). Зато придавало скорости, т.к. умножение на комлексную величину по числу операций в полтора раз быстрее деления.
   То, что вы предлагаете, проблему точности не решает. Дело тут в том, что погрешность при делении набегает из-за того, что действительная часть sigmaT зачастую много больше ее мнимой части. Это и приводит при операции деления к потере мнимой части из-за ограниченной величины мансиссы. Ваше предложение, тем не менее, не повышает точность, т.к. при таком порядке вычисления погрешность сосредотачивается в выражении sigmaT*conj(sigmaT). Это выражение равно сумме квадратов действительной и мнимой частей, и проблема переходит в ту плоскость, что если исходно действительная часть была много больше мнимой, то после возведения в квадрат действиельная часть многократно увеличится, а мнимая многократно уменьшится. В результате при сложении этих квадратов, квадрат мнимой части будет потерян, т.к. он находится за пределами точности квадрата действительной части. Результат же получается таков, что вклад sigmaT в знаменатель ничем не отличается от sigma0.
   Вот пример. Положим, что sigmaT равна выражению a+bi, где отношение b/a порядка 1e-9. А так скорее всего и бывает, т.к. выражение для мнимой части содержит постоянную Планка в числителе (а это сразу 1e-34). Для суммы квадратов отношение b/a тоже возведется в квадрат и составит уже 1e-18. Это означает, что вклад b² оказывается потерян, т.к. в мантиссе а нет места для 18-го знака (у чисел типа double младший знак мантиссы соствляет 1e-16 часть числа).
   Даже стандартная библиотека комплексных операций и та знает, что нельзя получать в знаменателе сумму квадратов и старательно это обходит. Ведь казалось бы проще всего делить на комплексный делитель так, что домножить числитель и знаменатель величину, комплекно-сопряженную знаменателю дроби, чтобы преобразовать знаменатель в действительное число. Но тогда этим числом как раз оказывается пресловутая сумма квадратов. Библиотека поступает мудро - вместо того, чтобы считать
числитель/(a² + b²),
она вычисляет эквивалентное ему выражение
числитель*(1/a²)/(1+(b/a)²),
в котором порядок слагаемых в знаменателе не отягощен возведением в квадрат.
   Таким образом, ваше предложение ввести выражение sigmaT*conj(sigmaT) лишь ухудшит ситуацию с точностью.

   Тем не менее, как я уже сказала ранее, меня сейчас уже беспокоит не точность, а непонимание того, в чем заключается ваш новый способ расчета, описание которого вы посылали мне письмом.

... вами приведен не новый, а как раз старый способ расчета, поскольку умножение на комплексно-сопряженную (вторую) сумму это и есть получение квадрата модуля пси-функции. Именно там сперва находилась одинарная сумма составляющих от каждой из N щелей, а из той суммы получали квадрат модуля. Только что процитированное мной выражение есть лишь исключительно вычурный способ вычисления квадрата модуля, когда сопряженный сомножитель считается автономно.

   
    

[valeriy]

Тем не менее, как я уже сказала ранее, меня сейчас уже беспокоит не точность, а непонимание того, в чем заключается ваш новый способ расчета, описание которого вы посылали мне письмом.

Здесь нет никакого нового способа.
Здесь я выполнил ряд аналитических преобразований, из которых легко извлекается  асимптотическое поведение плотностей вероятностей и траекторий в дальней зоне. Очевидно, это будут расходящиеся линии, которые группируютя на главных лучах, определяемых дифракционной формулой Фраунгофера.

Эти выкладки надо было сделать, чтобы показать, что формулы, с которыми мы работаем, переходят асимптотически в известные из классической оптики формулы.

[Pipa]

Эти выкладки надо было сделать, чтобы показать, что формулы, с которыми мы работаем, переходят асимптотически в известные из классической оптики формулы.

   Если только для того, чтобы это показать, тогда ладно. Только в преобразованном виде по ним считать замучаешься. Если ваши выкладки не меняют результатов (вида ковра Талбота и траекторий на нем), а лишь предлагают его в иной аналитической записи, то годится старая программа, покольку в вычислительном плане старый алгоритм проще, а стало быть быстрее и точнее.
   Но если же ваш преобразованный вариант не эквивалентен старому, а учитывает нечто такое, что не учитывалось прежде, то имеет смысл его запрограмировать, несмотря на все возникающие издержки типа замедления расчета и понижение его точности.
   Поэтому я прежде всего хотела бы услышать от вас ответ на прямой вопрос: эквивалентны ли в математическом смысле старый и новый алгорим расчета или нет? Являются ли проведеные вами преобразования тождественными, или же вы внесли изменение на уровне модели?    

[valeriy]

Поэтому я прежде всего хотела бы услышать от вас ответ на прямой вопрос: эквивалентны ли в математическом смысле старый и новый алгорим расчета или нет? Являются ли проведеные вами преобразования тождественными, или же вы внесли изменение на уровне модели?

Они эквиваленты - от манипуляции с переменными, результат не должен меняться.
Я имею оценки на Mathcad-е и вижу, что ковры Талбота появляются такие же как при расчете по старым формулам

[Pipa]

Они эквиваленты - от манипуляции с переменными, результат не должен меняться.

   Тогда я умываю руки.

[Pipa]

Некоторые ... недокуметированные возможности программы .

   Кажется самим собой разумеющимся, что арена, на которой разворачивается интерференционная картина ковра Талбота, простирается от нуля Z-координаты в бесконечность. Так-то оно конечно так, однако отсюда не следует, что и программа должна прорисовывать все это пространство. Ведь здесь, подобно географической карте, существуют не только карты всего земного шара, но и карты каких-то локальных районов. Например, деревни Гадюкино . И представьте себе, что на той карте нет ни гринвичевского меридиана, ни полюсов, ни экватора. Зато присутствует интересующее нас место самым крупным планом!
   Этот подход способна реализовать и программа, если ее хорошенько об этом попросить . А именно показать нам самым крупным планом интересующее нас место, оставив за пределами карты все остальное.
   Не сложно догадаться, что тем артефактом, который притягивает наше внимание и подогревает интерес, является «лагуна». Т.е. то крайне странное место, которое любая траектория стремится обойти.
   Странность лагуны заключается еще и в том, что на картах крупного масштаба, где величина шага траектории соизмерима с дискретой разрешения, наблюдаются странные прыжки в сторону, когда траектория наскакивает на лагуну в лоб. Создается впечатление, что траектория «не видит» эту лагуну издалека (иначе бы она заранее взяла нужный крен и «объехала» ее плавно), а ведет себя так, как будто, лагуна оказалась полной неожиданностью на пути. Чем-то вроде открытого на дороге люка или пешехода, внезапно выскочившего на проезжую часть улицы. Судя по карте крупного масштаба, наезд на лагуну сопровождается стремительным прыжком в сторону, граничащему с поворотом на все 90 градусов.
   Так ли это, по карте крупного масштаба сказать трудно. Ведь вполне возможно, что близость лагуны уже чувствуется с некоторого расстояния, однако на крупной карте шаг настолько велик, что происходит «заступ» на ту территорию, где отталкивающее воздействие лагуны становится уже настолько огромно, что этой силой траекторию буквально отбрасывает в сторону. А будь шаги покороче, то, глядишь, и не случился бы настолько близкий контакт, и, возможно, объезд получился бы более плавным и без рывка.
   Что же происходит на самом деле, я с valeriy пыталась выяснить, уменьшая величину шага вплоть до 1/1000 дискреты изображения. Тем не менее, вблизи лагуны происходят странные вещи, подробности которых трудно различимы в таком масштабе. А увеличить масштаб всей картины еще сильнее невозможно, т.к. из-за большой площади поля продолжительность расчета быстро растет. Изменение масштаба этой проблемы не решает, т.к. лагуны образуются довольно далеко от стартовой линии z=0. Поэтому при крупном масштабе мы вообще не видим лагун, поскольку они оказываются далеко за пределами карты, а при мелком масштабе лагуны видны, но разглядеть подробности не представляется возможным.
   Выход из этой ситуации напрашивается сам собой по аналогии с географическими картами: нужно лишь максимально крупно отобразить ближайшие окрестности лагуны, не обращая внимания на то, что при этом не будет видно стартовой линии (щелевого экрана).
   Имеются ли какие-либо затруднения, мешающие осуществлению такого плана? Оказывается, что проблем тут нет. Расчет точек на ковре Талбота все равно ведется для каждой координаты отдельно, поэтому число таких вычислений зависит только от размеров самой карты (в дискретах), но не зависит от ее масштаба. И если наша карта в размер экрана монитора, то и расчетных точек на ней ровно столько же, сколько на экране монитора точек. Не больше и не меньше. А от того, с каким увеличением строится изображение, на объем вычислений совершенно не влияет.
   Страдает ли точность вычислений при расчете увеличенных изображений? Тоже, как ни странно, нет. В отличие от микроскопа, который при более высокой степени увеличения теряет разрешающую силу (изображение становится расплывчатым, мелкие детали теряются), расчетный паттерн четкости не теряет. Это известно еще по программам, строящим фракталы. Там можно давать огромное увеличение, но картинка остается такой же четкой. Почему это происходит? А потому что изменение масштаба приводит лишь к изменению порядка числа (показателя двоичной степени), когда как на мантиссу это влияния не оказывает. А, следовательно, и точность вычислений остается неизменной.
   Итак, выбираем приглянувшуюся нам лагуну и огораживаем вокруг нее участок, на котором будем вести картографирование и наблюдение. Я выбрала лагуну на оси Z (это ровно посредине рисунка), находящуюся на расстоянии 1/4 zt от щелевого экрана. Участок ей огорожу тесный – от 0.24 zt до 0.26 zt, т.е. всего плюс-минус 1/100 zt от центра лагуны. И весь этот небольшой участок будет проецироваться у нас на все поле экрана 768x1024 точек.
   Осталось только запустить частицы, чтобы эксперимент заработал. А где их взять? Ждать частиц от щелей, случайно залетевших на мой участок? Эдак, можно очень долго ждать. Да и рассчитывать тогда придется очень много траекторий, ведущих свое начало от щелей. А это от моего участка слишком далеко. Да и нет никакой уверенности в том, что с большими трудами рассчитанная траектория (а при таком большом увеличении шагов от щелей до забора моего участка очень велико) пройдет через мой участок.
   Поэтому я поступлю много проще  - сама запущу электроны через дырки в заборе своего участка! Т.е. построю их в ряд возле забора и велю двигаться через участок с лагуной.
   Тут возникает интересный вопрос философского плана: имею ли я право так делать, ведь эти электроны не проходили через щели! Тем не менее мой ответ утвердительный, поскольку бомовские траектории рассчитываются шагами от текущей точки. А это означает, что вся предыстория частиц, выстроенных мною у забора, никакого влияния на результаты забега не оказывает. Проходили ли они через щели, не проходили ли, а если проходили, то через какую именно – все это нас совершенно волновать не должно. Ведь если расчетные формулы эти обстоятельства не учитывают, то я вольна выставить на любые электроны, имеющие ту же скорость V_z по Z-координате.
   Тем, кому мои доводы покажутся неубедительными, скажу, что в принципе электроны и так обязаны залетать через мой забор, поскольку плотность вероятности в любой точке ковра отлична от нуля. Причем даже в самом центре лагуны! А это значит, что я могу рассматривать своих солдатиков в качестве тех, кто, так или иначе, угодит на их место.
   Итак, сначала бросим взгляд на мой участок с высоты птичьего полета (в 3D-варианте):



   Здесь видны выраженные 3 максимума, которые на самом деле отстоят от щелевого экрана на ½ zt. На картине изображение лишь ближайшее окружение. А где же лагуны? А лагуны располагаются в точности местах перевала между этими тремя горами. На 2D-картинке это будет хорошо видно. Кроме того станет понятным происхождение этих высоких холмов – фактически это единственные проходы между соседними лагунами, через которые их можно миновать. Именно по этой причине плотность вероятности в этих точках настолько велика – миновать эти таможенные посты очень трудно.
   Теперь устраиваю первый забег, расставляя своих солдатиков-бегунов сначала редко, чтобы их траектории не сливались и были видны отдельно.    



   А затем напущу на лагуну плотный строй (100 траекторий на одну дискрету). Множество траектории теперь сольются, зато хорошо будет видно «зачумленное» место, которого все они «боятся».



   Как видим только один единственный электрон из большого множества (78400), чье место в строю было в точности напротив центра лагуны, рискнул заехать в нее глубже других. И то, до центра он так и не добрался.
   Полученные результаты интересны тем, что показывают отсутствие резких скачков, наблюдаемых на картах крупного масштаба. Все траектории вполне плавные, и на вид сохраняют непрерывность первой производной. Сам же «магический артефакт» ведет себя как «лежачий полицейский» на дороге, подбрасывающий всех, кто на него наезжает. По крайней мере турбулентнстью тут даже и не пахнет, все полностью ламинарно. Да и откуда может взяться турбулентность в расчетной модели, куда она не была заложена?

P.S. Приведенные картинки с траекториями в сообщении сжаты вдвое, на самом деле они большие. Чтобы разглядеть подробности - записать их на диск, а потом разглядывать в записи.