Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Да, к сожалению, это так.
В Mathcad в этом нет прблем. Я пишу формулы так, как мы их пишем на бумаге, и Mathcad интерпретирует их как положено. Более того в Mathcad предусмотрено резервирование размерных переменных. Например, если одной переменной назначено быть массой, выраженной в килограммах, а другая имеет размерность длины, то при сложении этих переменных Mathcad выдаст ошибку.

Что касается вычислений комплексных чисел в Си, это было бы просто, если бы вычисления ограничивались умножением и сложением. Поэтому приходится проделать большую работу к приведению формул, приемлемых для вычисления в Си, так же, впрочем как в Delphi, Fortran, и другие языки высокого уровня.

[Pipa]

Что касается вычислений комплексных чисел в Си, это было бы просто, если бы вычисления ограничивались умножением и сложением. Поэтому приходится проделать большую работу к приведению формул, приемлемых для вычисления в Си, так же, впрочем как в Delphi, Fortran, и другие языки высокого уровня.

  Ну почему же большую работу? Достаточно определить собственную функцию для любой такой операции, записав как ее нужно выполнять, -  и пользуйся ею на здоровье. 

[valeriy]

Поскольку в результате вычисляется плотность вероятности = произведение волновой функции на ее комплексно-сопряженный дубликат, можно изначально удалить в волновой функции член

   i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t)

так как при вычислении плотности вероятности будем иметь

 i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t)  - i*((pZ/hP)*vZ*t + (EZ/hP)*t) = 0.

Остается только разобраться с вкладом члена

 sigmaT = sigma0*(1 + i*hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0))

[valeriy]

Вот интерференционный паттерн рассеяния электронов на двух-щелевом экране

Размер картинки по горизонтали = 1E-7 [m], по вертикали = 1E-5 [m]
Параметры:
1) масса электрона mE = 9E-31 [kg],
2) длина волны lambda = 0.1E-9 [m],
    энергия электорна EE ~ 150 [V],
    температура ТЕ ~ 1.8E+6 [K]
3) расстояние между щелями d = 200*lambda = 2E-8 [m]
4) дисперсия sigma0 = 2E-9 [m]

[valeriy]

А это тот же самый эксперимент, но правая щель закрыта

[Pipa]

valeriy
   Что-то не получается у меня картинка.
Плотность вероятности рассчитывала на прямоугольной сетке (300x400) с шагом 1/50 lambda. Подробности видны из программного кода, где я оставила комментарии. Для ускорения счета из циклов вынесены инварианты, которые внутри цикла неизменны. Для этого формула для PSI была мною разбита на составляющие temp1, temp2 и temp3. Во всем остальном код должен быть понятен, несмотря на то, что он написан не на MatCad'е, а на С:

Код:

void test1()
{
  double hP = 1.054571628E-34;  // постоянная Планка [J*s]
  double mE = 9.1095E-31;  // масса электрона [kg]
  double lambda = 50E-9; // длина волны частицы [m] (50 нанометров)
  double pZ = hP*2*M_PI/lambda;  // импульс частицы вдоль координаты z
  double vZ = pZ/mE;  // скорость частицы
  double EZ = pZ*pZ/(2*mE);  // энергия частицы
  double sigma0 = 0.8E-9;  // параметр девиации пакета [m]

  int N = 2;  // число щелей
  double d = lambda;  // расстояние между щелями

  int nx = 300;  // число узлов сетки по оси x
  int nz = 400;  // число узлов сетки по оси z
  double xx = lambda / 50;  // шаг сетки по оси x
  double zz = lambda / 50;  // шаг сетки по оси z

  RealMatrix P( nx, nz);  // матрица для запоминания вероятностей

  complex<double> one( 1, 0), i( 0, 1);  // определяем комплексные единицы
  for( int Z = 0; Z < nz; Z++)  // шаги по оси z
  { double z = Z * zz;  // координата z
    double t = z/vZ;  // время
    complex<double> sigmaT( sigma0, sigma0*hP*t/(2*mE*sigma0*sigma0));
    complex<double> temp1 = sqrt(sqrt(one/(2*M_PI*sigmaT*sigmaT)));
    complex<double> temp3 = i*((pZ/hP)*z + (EZ/hP)*t);
    for( int X = 0; X < nx; X++)  // шаги по оси x
    { double x = X * xx;  // координата x
      complex<double> PSIsumm = 0;
      for( int n = 1; n <= N; n++)  // шаги по щелям
      { double x1 = x + n*d;
        complex<double> temp2 = exp(-((x1*x1)/(4*sigma0*sigmaT)));
        complex<double> PSI = temp1 * temp2 + temp3;
        PSIsumm += PSI;
      }
      P[X][Z] = norm(PSIsumm);
    }
  }

  P *= 255 / P.Max();  // нормирую матрицу вероятностей на макс.элемент = 255;

  FILE *f = fopen("P.txt","w");
  P.Print(f);  // печатаю матрицу в файл
  fclose(f);
}

После нормировки матрицы P так, чтобы  на масимальный по значению элемент соответствовал градации черного (яркость=0), а  нулевые значения - белому (яркость 255), получаю странную картинку (ось x вертикальна, ось z горизонтальна):



Интерференция есть, а щелей не видно...

[valeriy]

Пипа, поздравляю с "первым блином"!
Я захватил твою картинку инерференционного паттерна и ее дополнил заркальным отображением. Так что наверное ты слегка промахнуласть с выбором сетки по оси х. Думаю, что из рисунка, прицепленного к этому сообщению, будет понятно как расширить (или сдвинуть) вариации по координате х. Здесь стрелки a и b, условно, указывают на возможное местоположение щелей.

[Pipa]

Так что наверное ты слегка промахнуласть с выбором сетки по оси х.

   Я подумывала сдвинуться в отрицательную область, но побоялась, что тогда скорость станет отрицательной . А теперь вижу, что в отрицательную область только по оси z ходить нельзя, а по оси x можно. Ну и сетку пришлось сделать не квадратную, чтобы лучше было видно ( шаг сетки по оси x = lambda / 50, шаг сетки по оси z = lambda / 1000).
   Вот что получилось на этот раз:

[valeriy]

Молодец Пипа! Это настоящий интерференционный паттерн.
Попробуй теперь слегка придвинуть друг к другу щели и ты увидишь, что количество полос между щелями начнет уменьшаться.

[Pipa]

Попробуй теперь слегка придвинуть друг к другу щели и ты увидишь, что количество полос между щелями начнет уменьшаться.

   Зачем же мне уменьшать число полос? Мне больше нравится, когда полос много! .
   Вопросик еще к вам: проявляет ли как-то себя такой параметр, как ширина щели(щелей)? В вашем расчете такого параметра нет вообще, а есть только расстояние между щелями. Но мне интересен вопрос про ширину щелей. Влияет ли это на что-то и как можно этот параметр учесть в расчетах?   

[valeriy]

Pipa     пишет Сегодня в 18:57:03

Зачем же мне уменьшать число полос? Мне больше нравится, когда полос много!

Кто бы сомневался, женщинам нравятся всякие плиссе, оборки, и прочие рюшки.

А на счет ширины щелей - шире щель больше света, а следовательно более интенсивные полосы и будут сильнее проникать в область теней. Можешь попробовать.

Красивый интерференционный паттерн. Думаю, надо подобрать более естественные длины волн электорна, порядка так 1Е-10 м.

[Pipa]

Думаю, надо подобрать более естественные длины волн электорна, порядка так 1Е-10 м.

   Заменила lambda = 50E-9 на lambda = 1E-8. Картинка вытянулась, что позволило вернуться к квадратной сетке (без растяжки):



   На мой вкус стало не так красиво, как было раньше .

[valeriy]

На твой вкус может быть и не так красиво, но если попробовать на следующем этапе нарисовать Бомовские геодезические траектории, то на этом некрасивом рисунке они будут легче смотреться, т.е. их характерные волнения будут легко различимы.

[Pipa]

... но если попробовать на следующем этапе нарисовать Бомовские геодезические траектории, то на этом некрасивом рисунке они будут легче смотреться, т.е. их характерные волнения будут легко различимы.

   Ну и как их рисовать? В смысле вычислять?

[valeriy]

ОК, как только ты написала программу для вычисления волновой функции в двух-щелевом эксперименте, то следующий этап - это вычислить градиент от потенциала действия. Потенциал действия находится по известной волновой функции. Давай я тебе напишу эти вычисления непного погодя, чтобы все грамотно и без ошибок изложить.