Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Показываю два рисунка для N1=32, N2=31 и для N1=32, N1=32

N1=32, N2=31, slit width₁=1e-8 m, slit width₂=2e-8 m
Здесь, как видно, щели второй решетки точно помещаются на узлах, порождаемой первой решетки.

N1=32, N2=32, slit width₁=1e-8 m, slit width₂=2e-8 m
Здесь щели второй решетки помещены на лакунах, воспроизводимых первой решеткой.

Как видно, здесь я пытаюсь воспроизвести Талбот ковры. Пока я не вижу изъянов. Но следует еще потестировать программу.

[Pipa]

Как видно, здесь я пытаюсь воспроизвести Талбот ковры. Пока я не вижу изъянов. Но следует еще потестировать программу.

   Увы, нашла у себя изъян: разность x₁-x₀ вычисляла не в том цикле, из-за чего x₁ во внутреннем цикле не изменялся, хотя с x₀ было всё в порядке. Исправить исправила, но картинки от этого изменились. Картинки с соотношением числа щелей 7:6 или подобные (когда щели второй решетки приходятся на высокую плотность) изменились мало. Но картинки с одинаковым числом щелей изменились значительно - теперь плотность пытается "перетекать" через крайние щели, где лагуны не формированы. А в центре - затор, подобный тому, как был раньше. Смотрите сами на своих примерах.
   Ускорила расчетную часть раза в два, вынося неизменяющиеся в цикле выражения за его пределы. В процессе этой работы и нашла вышеупомянутую ошибку.
   Новая программа (версия 2.25) на старом месте.
   Бомовские траектории за второй решеткой еще не доделаны, но щели уже фильтруют их поток. Управлять шириной надо не сигмой, а slitewidth1. Мы специально не связывали последнюю жестко с сигмой, чтобы можно было пропустить более широкий поток, без нарушения расчетов. Величина slitewidth1 в рачетах не фигурирует, а влияет только на прохождение пучка траекторий, подобно диафрагме. Пусть это не совсем правильно, но иначе хорошие картинки получить будет сложно.



   На этой картинке slitewidth1 почти на порядок шире сигмы, зато всё очень наглядно. В противном же случае (когда сигма вычисляется из ширины щели) попасть в щель второй решетки будет так же сложно, как при игре в гольф закинуть мячик в ямку с расстояния 100 метров . Однако возможность задавать сигмы и ширину щелей отдельно позволяет нам получать точную эмуляцию эксперимента, а вольности допускать только для бомовских траекторий.

[valeriy]

Новая программа (версия 2.25) на старом месте.

Посмотрел новую версию. У меня сложилось приятное впечатление о ней

Входные параметры для случая рассеяния монохроматического пучка фуллеренов с де Бройлевской длиной волны lambda=5 pm=5*10^-12 m. G1=7, G2=10, L=0.5*zT(lambda=5 pm)

На мой взглял, картинка хорошо показывает распределение плотности вероятности как в области между решетками, так и после второй решетки. Также хорошо прорисовывает пучки Бомовских траекторий.

Пока я не вижу каких-либо мелких огрехов в программе. А поэтому теперь интересно было смоделировать слегка некогерентный пучок частиц, падающих на первую решетку. Программа будет считать теперь дольше. Но чтобы показать работу второй решетки, можно и потерпеть. Некогерентный пучок - это когда на вход летят частицы с некоторым разбросом по скоростям (или, что эквивалентно согласно де Бройлевским отношениям, разброса по длинам волн). Для демонстрации можно взять 3 близкие длины волны, скажем 4.5 pm, 5 pm, 5.5 pm. Но вторая решетка выставлена для L=0.5*zT(lambda=5 pm), т.е., её щели находятся в узлах, которые соответсвуют пучку с длиной волны lambda=5 pm, а для пучков с длинами волн lambda=4.5 pm и lambda=5.5 pm положение решетки будет несфокусированное на положения их узлов. Поэтому, на выходе второй решетки преимуществом будут обладать частицы с длиной волны lambda=5 pm, а частицы с другими длинами волн уже таким преимуществом обладать не будут. Это не значит, что такие частицы не будут проходить через вторую решетку, просто их, прошедших, будет меньше. Интерференционный паттерн на выходе второй решетки будет, конечно, слегка смазан. Но все равно он будет значительно лучше смотреться, чем паттерн между решетками.

Решение подобной задачи может быть таким, что вначале вычисляется основная задача для lambda=5 pm (с L=0.5*zT(lambda=5 pm)). А затем накладываются задачи для lambda=4.5 pm и lambda=5.5 pm  (но при том же положении второй решетки  L=0.5*zT(lambda=5 pm)). После того как будет вычислена суммарная волновая функция, после этого можно построить и плотнсть вероятности, и вычислить траектории Бома.

[Pipa]

Пока я не вижу каких-либо мелких огрехов в программе. А поэтому теперь интересно было смоделировать слегка некогерентный пучок частиц, падающих на первую решетку.

   Давайте пока не будем спешить - программа пока еще не готова. Главное, чего ей пока не достает, это проведение бомовских траекторий за второй решеткой. То, как сейчас проводятся траектории в этой области - НЕПРАВИЛЬНО, т.к. пока траектории рассчитываются ЗА решеткой по СТАРОЙ формуле, не учитывающей наличие второй решетки. Это будет исправлено. Однако тут есть проблема, состоящая в том, что мне пока не удается преодолеть барьер сингулярности в точке z=z1, где происходит деление на нуль (z-z1). При построении паттерна такая проблема остро не стоит, т.к. точку z=z1 еще можно рассчитывать по старой формуле (ДО решетки G2), а в точке на пиксель правее (z=z1+1) эпсилон окажется уже достаточным для того, чтобы избежать сингулярности. В случае же бомовских траекторий дело обстоит сложнее, т.к. я не задаюсь z, а точка сама движется с очень мелким шагом, причем этот шаг не по z, а в направлении "градиента". И тут попадание в точку сингулярности может произойти непредсказуемо. Вот этот вопрос и поставил меня в тупик, из-за чего бомовские траектории ПОСЛЕ второй решетки до сих пор не доделаны. Выход из тупика вижу пока один: считать траекторию по старой формуле вплоть до z=z1+1, не взирая на то, что происходит проход через щель.
   То обстоятельство, что сейчас бомовские траектории ведут себя за второй решеткой, как настоящие, происходит из-за того, что в случаях, когда щели второй решетки расположены как раз в точках высокой плотности (в промежутках между щелями первой решетки), то вторая решетка СЛАБО ВЛИЯЕТ на патерн. Т.е. он фактически остается с тем же рисунком, как будто второй решетки нет. Оттого-то к нему и подходят старые бомовские траектории.

[Pipa]

  Еще одна пока не решенная проблема: что делать с масштабом по оси z, который достиг огромной величины. При интерференции электронов и нейтронов я брала цену дискреты рисунка (одного пикселя) равной lamda/50, и этого было достаточно. Сейчас, в случае фуллерена, такой длины явно недостаточно, из-за чего приходится прибегать к слишком большому масштабному множителю.
  Я хотела бы сделать так, чтобы независимо от длины волны, масштаб был таков, чтобы для масштаба 1:1 по оси z на поле укладывалось одно и тоже число zt (это хреновина такая, в которой мы считаем L).
  Можно было бы выбрать zt=1 на всю ширину поля, то это вроде бы слишком коротко. Тут хотелось бы посоветоваться с вами. Однако сама идея жестко связать zt с масштабом кажется мне перспективной, т.к. тогда величина масштаба станет осязаемой величиной, а не условной единицей.

[valeriy]

Это будет исправлено. Однако тут есть проблема, состоящая в том, что мне пока не удается преодолеть барьер сингулярности в точке z=z1, где происходит деление на нуль (z-z1).

Может в ближайщей окрестности точки z1 переходить к счету по старой формуле, а как только эта точка остается позади, снова вести счет по новой.

Однако сама идея жестко связать zt с масштабом кажется мне перспективной, т.к. тогда величина масштаба станет осязаемой величиной, а не условной единицей.

Думаю так и надо сделать, ось z масштабировать по параметру zt - длина Талбота, а ось х, в таком случае, по параметру d - расстояние между щелями

[valeriy]

5 Как связаны различные интерпретации квантовой механики?, стр. 72-82

Джеймс Б. Харли

В этой статье Джеймса Харли, представленной в сборнике "Quo Vadis Quantum Mechanics", рассматриваются три интерпретации (только три из множества существующих) квантовой механики.
Такими интерпретациями, с точки зрения Харли, являются следующие:
1) Копенгагеновская интерпретация, как первая и пользующаяся популярностью у многих ученых;
2) теорий Бома. У многих ученых она вызывает скепсис, не в том плане, что она не верна (ее верность не вызывает сомнений, поскольку она строго следует из уравнения Шрёдингера), но в том плане - а на фига она нужна;
3) сумма по историям. А по сути, сумма по историям представляется Фейнмановскими интегралами по траекториям, по все возможным траекториям, соединяющим источник с детектором.

Копенгагеновская интерпретация хорошо известна и далеко за пределами научного сообщества. Основной сутью здесь является то, что, пока детектором не зарегистрирован квантовый объект, он существует в непроявленных состояниях, описываемых волновой функцией (матрицей плотности, в предположении смешанных состояний). Как только детектор регистрирует этот квантовый объект, его непроявленная история заканчивается и он декогерируется в этот мир классических реалий (в виде макроскопического отклонения стрелки прибора, например). Интерпретация, по сути, говорит следующее: кроме классического мира, известного нам из повседневного опыта, существует квантовый мир со своими, необычными для классического мира, законами, где квантовые объекты "размазаны" по пространству, поэтому могут проходить через несколько щелей в экране и могут образовывать запутанные конгломераты с себе подобными. Но стоит этот объект зафиксировать макроскопическим прибором, он мгновенно локализуется в нечто наблюдаемое нашими органами чувств.

Картина, рисуемая Копенгагеновской интерпретацией, на самом деле, захватывающа, и в принципе, две другие интерпрегации не оспаривают такой взгляд. Но задаются вопросом - а что же из себя представляет, в конце концов, этот квантовый мир? На мой взгляд, лучше переставить две другие интерпретации местами - первой поставить "сумму по историям", а второй "теорий Бома". Первичность "суммы по историям" обусловлена тем, что нее последовательно выводится дифференциальное уравнение Шрёдингера. А вот уже из уравнения Шрёдингера выводятся последовательно уравнения, лежащие в основании "теории Бома".

Как было выше отмечено, "суммы по историям" математически формулируются как интегралы по траекториям. Тогда "сумма по историям" сводится к перебору всех путей, ведущих от их источника до конечного пункта (детектора), через все возможные промежуточные инстанции. И этот перебор путей, взвешенный со специально построенным интегральным ядром (здесь я не буду акцентировать внимание на этом), суммируется и сумма дает именно то, что можно будет наблюдать на детекторе. Идейная сторона "суммы по историям" в том, что из всех историй остается только одна истинная история, которая и даст реальный вклад на детекторе. Ну а что же остальные истории? Они просто проинтерферируют друг с другом и дадут нулевой эффект. Иными словами "сумма по историям" представляется как интерференция всех исходов этих историй в пункте назначения, т.е. на детекторе.

Можно сторого показать вывод уравнения Шрёдингера из интегралов по траекториям. И можно строго вывести уравнения (из уравнения Шрёдингера), лежащие в основе "теории Бома". Основная суть "теории Бома" в том, что каждый квантовый объект имеет свою индивидуальную историю. Иначе говоря, каждая частица обладает индивидуальной траекторией, начинающейся от ее источника и закакнчивающаяся на детекторе. Эта индивидуальная траектория есть та самая, которая остается от интерференции всех виртуальных траекторий, рассматриваемых выше в "сумме по историям".

Если, в дополнение к Копенгагеновской интерпретации, принимаются и следующие две интерпретации, то теперь возникает следующий вопрос - а что же из себя представляет та "среда", на фоне которой разворачиваются виртуальные истории, затем часть из них аннигилирует друг с другом, чтобы в результате дать истинную историй? Но здесь начинается Терра Инкогнито под названием вакуум - что он из себя представляет, какова его жизнь и масса других сложных вопросов, на которые, как будто, имеются ответы в древне-восточных философиях

[Pipa]

Тогда "сумма по историям" сводится к перебору всех путей, ведущих от их источника до конечного пункта (детектора), через все возможные промежуточные инстанции. И этот перебор путей, взвешенный со специально построенным интегральным ядром (здесь я не буду акцентировать внимание на этом), суммируется и сумма дает именно то, что можно будет наблюдать на детекторе. Идейная сторона "суммы по историям" в том, что из всех историй остается только одна истинная история, которая и даст реальный вклад на детекторе. Ну а что же остальные истории? Они просто проинтерферируют друг с другом и дадут нулевой эффект.

   И всё-таки очень бы хотелось услышать именно в плане "интерференции путей". Всевозможные промежуточные инстанции чем-то напоминают теорию Эверетта, только не в других мирах, а прямо в нашем мире. Построить карту всевозможных путей возможно. Но вот что с чем здесь может интерферировать, не совсем ясно. Скажем, в на схеме метрополитена можно начертить несколько возможных маршрутов (путей) для проезда от одной станции до другой. Однако интерферировать между собой эти пути не могут. Или тут какой-то другой смысл слова "интерференция". Или мой пример неудачный.

[Pipa]

valeriy
    Касаемо программы, возникли сложности по определению тангенциальной скорости Vx, которая считается через nablaPSI. Теперь, когда решеток стало две, неочевидно, как эту наблу надо считать.
    Вот так мы ее считали раньше для однорешеточного случая:

while (n<=N)
{
   n += 1;

   PSIsumm += PSI:

   nablaPSIsumm += PSI(x+n*d,z) *(x-n*d)/(2*sigma0*sigmaT);  
}    

Vx = (h/mE) * Im( nablaPSIsumm / PSIsumm );

  Здесь n и d относились к первой (и единственной) решетке. А как теперь ее считать после прохождения через вторую решетку? Брать n и d от второй решетки, а про первую забыть?
   И с сигмами тоже проблема. После второй решетки тут, видимо, будут какие-то другие сигмы. Какие? Или вообще выражение всё изменится?

[valeriy]

Касаемо программы, возникли сложности по определению тангенциальной скорости Vx, которая считается через nablaPSI.

Я распишу формулу по расчету Бомовских траекторий после второй решетки и тебе вышлю. А между решеток счет по старой формуле.

[valeriy]

И всё-таки очень бы хотелось услышать именно в плане "интерференции путей". Всевозможные промежуточные инстанции чем-то напоминают теорию Эверетта, только не в других мирах, а прямо в нашем мире. Построить карту всевозможных путей возможно. Но вот что с чем здесь может интерферировать, не совсем ясно.

Классическая механика начинается с утверждения, что классическое тело (шар, тележка) движется по траектории, вдоль которой действие
S=Integral(от 0 до Т)L(q,v_q,t)dt
удерживает постоянное значение. Чтобы найти это значение, надо решить задачу на экстремум {delta S} = 0 - это есть принцип наименьшего действия. Здесь L(q,v_q,t) - функция Лагранжа, представляемая разностью кинетической и потенциальной энергий механической системы Человечество долго приближалось к этому пониманию.

Но когда в начале 20-го века появилась квантовая механика, возник конфликт между этими двумя механиками - классической и квантовой. Но уже в 1933 году Поль Дирак подчеркнул особую роль в квантовой механике члена exp{iS(t)/hbar}. Здесь hbar - постоянная Планка, а S - тот самый функционал действия, упомянутый ранее. Однако, обратите внимание, что только что выписанная экспонента содержит мнимую единицу i. Я ее специально подкрасил красным цветом, чтобы подчеркнуть ее особую роль в этой экспоненте. Теперь эта экспонента представляет периодическую функцию и S(t)/hbar представляет текущую фазу этой функции.

Следующий шаг сделал Фейнман. Он прдложил суммировать эти экспоненты по всем путям, ведущим от точки q₀ до точки q₁:

Но суть в том, что каждый путь имеет разную длину, а следовательно, имеет и разный набег фазы S(t)/hbar. Поэтому в пункте суммирования q₁ все эти экспоненты будут давать интерференционный вклад, который может дать либо нуль, либо может оказаться максимальным. Там где эта сумма будет давать нуль, через эту точку, почти наверняка, частица не пойдет. А там, где сумма дает максимальный результат, через эту точку частица может пройти с очень даже большим шансом. Таким образом, в основе Фейнмановского интегрирования по путям лежит идея интерференции разных путей между собой. А знатоки законов геометрической оптики могут увидеть в выше приведенном рисунке и манифестацию закона Гюйгенса-Френеля. Согласно этому закону, каждая точка среды является потенциальным источником волны. Достаточно только возбудить этот потенциальный источник какой-нибудь рассеянной на нем возбуждающей волной. И тогда волновое возбуждение начнет распространяться по среде в согласии с законом Гюйгенса-Френеля. Ну а Фейнмановский интеграл по путям, по сути, это и делает - он подсчитывает интерференции волн в каждой точке среды, и в зависимости от результата, трассирует путь частицы далее по наиболее оптимальному маршруту. Впрочем, интеграл вычисляет амплитуды вероятностей найти частицу в точке q в момент времени t.

Задавая малые приращения вдоль путей, можно члены в этом интеграле разложить в ряды Тейлора. А затем, группируя между собой члены разложения получить непосредственно уравнение Шрёдингера.

Скажем, в на схеме метрополитена можно начертить несколько возможных маршрутов (путей) для проезда от одной станции до другой. Однако интерферировать между собой эти пути не могут.

Как видно из выше сказанного, интерференцию дают суммы волн типа exp{iS(t)/hbar}. Где наличие мнимой единицы есть признак волнового процесса. В принципе, и движение поездов организовывается по волновому признаку, посредством составления граммотного расписания движения. При этом поезда двигаются по такому расписанию, которое составлено так и таким образом, чтобы исключить, по возможности, проявления каких-либо кумулятивных процессов. То есть, когда на какой-либо станции образовывалось скопление народа, а на другой в это-же самое время будет пусто.

[Pipa]

Думаю так и надо сделать, ось z масштабировать по параметру zt - длина Талбота, а ось х, в таком случае, по параметру d - расстояние между щелями

   Сделала по новому, но от этого сразу же вылез глюк - перестали правильно рисоваться бомовские трактории (в межрешеточном простанстве они прежде рисовались правильно), лучи перестали отклоняться от прямой. С трудом выяснила причину, ею оказалось нарушение соизмеримости осей в пространстве [x,z], когда дискреты имеют разные порядки размерностей. При этом угол arctg(Vx/Vz) не может быть применен в таком пространстве качестве направления движения траектории. Пришлось пересчитывать всё в метрическую систему [метр x метр], делать в ней шаг вычисляемого направления, а затем проецировать это в пространство [метр x zt]. Сейчас вроде бы все работает нормально, то ощущение тяжести на душе осталось. Боюсь, что из-за этого мог поплыть и смысл величины шага для бомовских траекторий, задаваемый через INI-файл (параметр step). Очень уж не хотелось бы мне трогать старые механизмы, пока у нас еще остро стоит проблема вычисления самих траекторий. Не положено в программировании модифицировать алгоритм сразу с двух концов - ошибок тогда не выловишь.

[valeriy]

Очень уж не хотелось бы мне трогать старые механизмы, пока у нас еще остро стоит проблема вычисления самих траекторий. Не положено в программировании модифицировать алгоритм сразу с двух концов - ошибок тогда не выловишь.

Ну пока в таком случае не стоит рисковать. Легче смириться заданием больших чисел в задании масштабов. Хорошо было бы задавать их в формате Scientific, то есть в виде, например, Z = 1:2.3E+6

[Pipa]

Ну пока в таком случае не стоит рисковать. Легче смириться заданием больших чисел в задании масштабов.

   Рисковать все-таки придется, т.к. новую шакалу для оси z я уже сделала, а откатываться назад уже жалко. Думаю, что мы без особого труда сможем поверить ее правильность, если отодвинем L за пределы поля. Ведь тогда картинка сведется к старому однорешеточному варианту, для которого у нас осталась старая программа. Сравнить между собой выдаваемые ими картинки мы всегда сможем.
  А большой масштаб очень уж неудобен.

Хорошо было бы задавать их в формате Scientific, то есть в виде, например, Z = 1:2.3E+6

 
   А вот здесь проблема. С программной точки зрения удобнее было бы задавать не масштаб, а просто коэффиценты, представляющие собой примитивные множители. Тогда масштаб 1:2 выглядит, как коэффициент 0.5. Собственно, программа и работает внутри себя с такими коэффициентами. Однако это не наглядно и не позволяет изменять масштаб ступеньками, одним только щелчком мыши по стрелочкам "увеличить" или "уменьшить".
   С другой стороны, при масштабе 1:1 по оси z поле заканчивается при 1 zt. И здесь есть только два выбора - переходы на масштабы 1:2 и 2:1. Оба могут оказаться слишком грубым изменением шкалы. В этом смысле было бы удобнее иметь при масштабе 1:1 не 1 zt на всю школу, а в десять раз меньше - 0.1 zt, поскольку zt - слишком крупная единица длины для тех явлений, которые мы разглядываем на картинке.

[valeriy]

В это смысле было бы удобнее иметь при масштабе 1:1 не 1 zt на всю школу, а в десять раз меньше - 0.1 zt.

Да, иногда желательно выбирать не кратно Талботовским дистанциям, но выделять более мелкий масштаб, как ты и говоришь один к десяти.