Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Стёрла версию 1.24 с сайта, как неудачный вариант, а предыдущую версию 1.23 заменила на новую версию 1.25 (<= это ссылка).

Посмотрел версию 1.25, работает хорошо.

Есть предложение в программе (и только в ней!) нормировать матрицу плотности так, чтобы напротив щели (при x=центр_щели и  z=0) ее значение было равно единице.

Ради бога, тебе виднее.

Интуитивно кажется, что плотность вероятности должна быть на всей ширине щели одинаковой, а затухать только за ее пределами.

Только в предположении, что щель является Гауссовой, можно получить аналитически точное выражение Фейнмановского интеграла. В противном случае пришлось бы вычислять его численно. Поэтому здесь приходится жертвовать той интуицией, о которой ты говоришь.

[Pipa]

Меня интересует вопрос, не когда она всплыла, а когда она у нас утонула!

   На этот свой вопрос продолжаю ждать ответа.

[valeriy]

Меня интересует вопрос, не когда она всплыла, а когда она у нас утонула!

На этот свой вопрос продолжаю ждать ответа.

Выписываю выражение из книги Фейнмана "Квантовая механика и интегралы по траекториям", стр.63 (я уже выписываю вероятность достижения частицей точки х):
P(x)dx=(m/(2PI*hbar*T))(b/{delta x})
•exp{-(x-v*tau)²/({delta x})²}dx
Здесь {delta x} выражается через следующую формулу
({delta x})²=b²(1+tau/T)²+ ((tau*hbar)/(m*b))²
b - поуширина шели.

Если подсчитаешь размерность P(x)dx, то можно видеть она равна 1/метр. Это потому, что надо домножить еще на dz=d{v*tau}. Вот это так выглядит у Фейнмана. Можно выделить отдельно Гауссову функцию и нормировать ее на единицу, как и делается в теории вероятностей. Мы найдем
(1/sqrt(PI/2){delta x})exp{-(x-v*tau)²/({delta x})²}

[Pipa]

А почему тогда в этой формуле пси-функция безразмерная? Это формула (5) из третьего письма.

[valeriy]

А почему тогда в этой формуле пси-функция безразмерная

А потому что я не стал тебе выписывать все члены, чтобы не загромождать задачу не существенными, для выяснения картины, деталями.

[Pipa]

А потому что я не стал тебе выписывать все члены, чтобы не загромождать задачу не существенными, для выяснения картины, деталями.

   Если уж взялись выписывать во одном месте, то выписывайте везде!
   Начну объяснять вам проблему с самого начала. Вот как эта проблема возникла и как развивались мои безуспешные попытки получить ответ на свой вопрос:

   1) В первом письме для случая межрешеточного пространства вы представили мне формулу (5):

а предэкспоненциальный множитель предложили вычислять по формуле (2):


   2) На это предложение я вам возразила, что не могу этого вычислить из-за того, что в формулу (2) невозможно подставить одну только σ₀(z), поскольку она требует задания второго аргумента, который при вызове D(σ₀(z)) неопределен. Да и не существует в межрешеточном пространстве величин z₁ и σ₁(z), которых требует формула (2), т.к. частица еще не долетела до второй решетки. И с моей точки зрения формула (2) пригодна только после прохождения частицей второй решетки, но не годится до этого момента.

   3) В ответ на это мое затруднение вы прислали в третьем письме формулу (5):

в которой предэкспоненциальный множитель стал безразмерным.

   4) Я снова обратилась к вам с жалобой, что не могу считать Ψ-функцию после второй решетки по формуле, имеющей размерность 1/метр, а до второй решетки по безразмерной формуле. И принялась выяснять, какую размерность этот множитель должен иметь. И тут мне удалось выяснить, что его правильная размерность 1/метр. После этого я спросила: "где была потеряна эта размерность?"  

   5) В ответ получила объясние, что вы "не стали мне выписывать все члены, чтобы не загромождать задачу не существенными, для выяснения картины, деталями."

   6) На этом круг замкнулся. Пока я не выясню, что представляет собой таинственный 1/D(σ₀(z)) я ничего не могу делать, т.к. без него вычислять Ψ-функцию невозможно. И я уже ужом вьюсь вокруг вас, задавая вопросы и так и сяк, но получить прямого указания на то, как посчитать этот множитель, получить не могу. А вместо ответа на требуемый мне вопрос слышу лишь рассказы о том, что исторически этот множитель рассчитывали кто во что горазд. Но и предложенной вами формулой

тоже воспользоваться не могу, т.к. ее размерность не совпадает с размерностью множителя в формуле (1) для пост-решеточного пространства.

[valeriy]

Если уж взялись выписывать во одном месте, то выписывайте везде!

Давай начнем с первой формулы, которую ты привела

Здесь D(σ₀(z)) является безразмерной величиной и вычисляется из формулы

Можно видеть, что эта формула извлекается из

если отсюда полностью удалить члены, окрашенные в синий цвет. Такое удаление легко осуществляется, достаточно положить z=z₁.

Как  D(σ₀(z))  так и  D(σ₀(z₁),σ₁(z)) являются оба безразмерными. Здесь надо уточнить что из себя представляют функции σ₀(z) и σ₁(z):


Обрати внимание, они обе также безразмерные.

Я так понял, тебя смущает безразмерность функций σ₀(z) и σ₁(z), так как в первой программе ты имела дело с размерной функцией σ_tau=sigma0*(1+i*hbar*tau/(2*m*sigma0)). Хорошо, если тебе сподручнее работать с размерными σ₀(z) и σ₁(z), я перепишу формулы и вышлю на твой е-мейл.

Что касается функции D(σ₀(z₁),σ₁(z)), она присутствует не только в предэкспоненциальном множителе, но объявляется также и под экспонентой. Поэтому имеет смысл ее определить в качестве подпрограммы. И уже, в зависимости от запроса, вызывать ее из той или иной части программы. Как я заметил, вычисления на промежутке между первой и второй решетками выполняются по первым двум формулам, показанным в этом сообщении. А после второй решетки этот член D(σ₀(z₁),σ₁(z)) приобретает уже вид, показанный в третьей формуле.

Теперь надо бы согласовать следующие детали: (а) я понял, тебя устраивет представление формул через параметры длина волны lambda и пролетное расстояние z, вместо массы частицы m и времени пролета tau; (б) я понял, тебя устраивают функции σ₀(z) и σ₁(z), заданные в размерности длины, поскольку в первой программе sigmaT имеет размерность длины.

В этом ключе я перепишу формулы и вышлю тебе файл Pipa04.doc. ОК?

[Pipa]

Я так понял, тебя смущает безразмерность функций σ0(z) и σ1(z), так как в первой программе ты имела дело с размерной функцией σtau=sigma0*(1+i*hbar*tau/(2*m*sigma0)). Хорошо, если тебе сподручнее работать с размерными σ0(z) и σ1(z), я перепишу формулы и вышлю на твой е-мейл.

   Теперь уже не смущает, т.к. я поняла, что их надо просто домножить на нашу sigma0 (задаваемую в программе), чтобы они получили правильный порядок и размерность. Ведь если такое домножение привело к тому, что величина σ0(z) тождественно превратилась в нашу sigmaT, то, по-видимому, и на величине σ1(z) это тоже прокатит.

Теперь надо бы согласовать следующие детали: (а) я понял, тебя устраивет представление формул через параметры длина волны lambda и пролетное расстояние z, вместо массы частицы m и времени пролета tau; (б) я понял, тебя устраивают функции σ0(z) и σ1(z), заданные в размерности длины, поскольку в первой программе sigmaT имеет размерность длины.

    Меня устраивает повсюду замена времени (t) на расстояние (z). Причем всюду, это значит, что и расстояние до второй решетки тоже должно быть задано в линейной мере, а не через тау нулевое. Такое мое желание вполне осуществимо, т.к. время и расстояние взаимно переводимы друг в друга. А при построении ковра величину плотности вероятности приходится вычислять для каждой точки этого ковра, положение которой задано в линейной мере.
   Что же касается замены массы на лямбду, то этот вопрос для меня темен. В программе масса и лямбда задаются ОТДЕЛЬНО, а потому формально никак не могут быть переведены друг в друга. А, стало быть, на такой замене я настаивать никак не могу. Однако с точки зрения эффективности программы эти случаи равноценны, т.к. то и иное - входные параметры, которые программе в процессе расчета пересчитывать не приходится. А вот время и расстояние внутри расчетного цикла изменяются непрерывно, этим-то тот случай напрягает.

[valeriy]

А вот время и расстояние внутри расчетного цикла изменяются непрерывно, этим-то тот случай напрягает.

Выслал на твой е-мейл файл Pipa04.doc Там я постарался всюду избавиться от времени и все выразить в пролетных расстояниях z.

[valeriy]

Ниже я помещаю несколько выдержек из статьи Чеслава Брукнера и Антона Цайлингера из сборника "Quo Vadis Quantum Mechanics?" издательства Springer, 2005 года. Воздержитесь внеменно писать что-либо в эту тему, пока я не размещу все выдержки (их, предположительно, будет три или, в крайнем случае, четыре)

[valeriy]

Квантовая Физика как наука об Информации
Чеслав Брукнер и Антон Цайлингер

Существуют, по крайней мере, три различных способа, при которых квантовая физика имеет связь с концепцией информациия. Один из них - это отношение между квантовой интерференцией и знанием. Он был сутью в ранних дебатах, касающихся смысла квантовой механики, главным образом через диалоги Бора и Эйнштейна [1]. Эти дебаты касались проблемы, которая возникла, когда квантовая механика выступила против, до сих пор принимаемого, замечания, что физика должна описывать реальность непосредственно и однозначно выражаемым и полным способом. Дебаты были разрешены Копенгагеновской интерпретацией в наиболее радикальной, концептуально многообещающей и дальновидной манере. Хотя для многих физиков в наши дни Копенгагенская интерпретация является концептуально непремлемой.

Вторая связь между квантовой механикой и информацией была обнаружена в ранних 1990-х годах. То что квантовые идей могли бы быть использованы для коммуникаций и для обработки инфомации радикально новыми приемами. Они включают такие темы как-то квантовая криптография, квантовая телепортация и квантовая коммуникация [2].

Третья связь между квантовой физикой и информацией постепенно возникает в последние несколько лет из концептуального фундамента для этой связи, восходящего к работам фон Вайцзеккера [3] и Уилера [4]. Подмечено, что информация является основным понятием квантовой физики как таковой. То-есть, квантовая физика являтся только косвенно наукой о реальности, но более непосредственно наукой о знании.

Настоящая статья затронет все три связи между квантовой физикой и информацией.

Информация и квантовая интерференция

Связь между квантовой интерференцией и информацией лучше всего иллюстрируется на двухщелевом эксперимете, Рис.1. Этот эксперимент уже ставит побуждающий вопрос: квантовая механика описывает реальность или информацию? Если мы кратко рассмотрим эксперимент с электронами - то, при каких условиях интерференционные полосы появляются в плоскости наблюдения?


Рис. 1. Двухщелевой эксперимент. Рисунок взят из статьи Бора "Дискуссия с Эйнштейном об эпистемологических проблемах в атомной физике" [1]. Здесь Бор пишет: "Этот момент является наивеличайшим логическим разультатом, поскольку он является только тем обстоятельством, которое нам предоставляется с выбором, или прочерчивания пути частицы, или наблюдения интерференционных эффектов, которое позволит нам избежать парадоксальной необходимости заключения, что поведение электрона или фотона должно зависеть от щели в диафрагме, через которую он, можно было бы доказать, не проходит. Здесь мы должны довольствоваться типичным примером того, как явление дополнительности проявляется при взаимно исключающих экспериментальных размещениях и только сталкивается с невозможностью в анализе квантовых эффектов, прочерчивания какого-либо отчетливого разделения между независимым поведением атомных объектов и их взаимодействия с измерительными инструментами, которые служат для определения условий, при которых явления возникают"


Такие полосы могут быть легко поняты на основе интерференции волн, проходящих через обе щели. И ещё, как только мы выполним эксперимент с одиночными частицами (как было выполнено с фотонами, электронами, нейтронами, атомами и молекулами), возикает вопрос: Как индивидуальная частица, которая, естественно ожидалость бы, должна проходить через одну из двух щелей, знает открыта или нет другая щель? Ричард Фейнман [5] писал про двухщелевой эксперимент: "В действительности, он содержит только тайну." {Современная Копенгагеновская манера говорить по поводу этих вопросов сводится к тому, что берет на себя ответственность только иметь смысл говорить по поводу характера системы, если, фактически, проявляется интерес к определению этого, или, по крайней мере, существует возможность дла определения этого. (ни хренат не понял, что этим хотел сказать Цайлингер)} Или, при даже более современной манере, интерференционные полосы возникают, если и только если начисто (в принципе) не существует возможности лпределить, какой путь частица выбрала. И более значимо, не суть важно, заботимся ли мы или нет чтобы принять на заметку эту информацию. Все что нужно - это существует ли в текущий момент такая информация где-нибудь во вселенной или нет. Только если такая информация отсутствует в настоящий момент, возникают интерференционные полосы.

[valeriy]

В действительности, наиболее интересные ситуации возникают, если информация о пути представленая в настоящие момент в какой-то точке, но затем необратимым образом удаляется или стирается. Так что, как только эта информация необратимо удаляется, интерференционные полосы могут появиться опять. Здесь важно заметить, что всего лишь рассеяния информации в большую систему, возможно даже в такую большую систему, как целая вселенная, не достаточно, чтобы разрушить информацию. До тех пор пока она здесь, не важно как хорошо она скрыта или как рассеяна, интерференционные полосы не могут возникнуть.

Эта особенность наиболее интересно демонстрируется в мысленном эксперименте, в котором комбинируют известный Гейзенберговский микроскоп с двухщелевым экспериментом на электронах.


Рис. 2. Два взаимно дополнительных устройств Гейзенберговского микроскопа. Фотон рассеивается на электроне e^- и затем проникает в Гейзенберговский микроскоп. Если детектор (или экран наблюдения) расположен в плоскости изображения (см. уровень Position) линзы Гейзенберговского микроскопа, он может разоблачить путь через щелевую решетку, который выбирается электроном. Этот электрон не может проявить интерференционный паттерн, полагая, что он проходит через интерферометр. С другой сторны, если детектор располагается в фокальной плоскости линзы (см. Momentum), тогда он проектирует состояние электрона в собственное состояние импульса, который не несет какую-либо информацию о положении электрона. А поэтому отсутствует информация относительно щели, через которую электрон прошел. Интерференционные полосы, в таком случае, могут возикнуть.

Мы рассмотрим электронный интерферометр, где мы можем, если пожелаем сделать так, чтобы можно было бы определить путь, выбираемый электроном.  Это делается посредством рассеяния фотонов на электронах, проходящих через двухщелевую решетку. Ясно, эти фотоны можно использовать, чтобы определить путь, который  выбирают электроны, через какую щель им рассеиваться (полагается, что их длина волны достаточно короткая).
Простейший способ определить, которое положения рассеяния имеет место, - это использовать Гейзенберговский микроскоп, как показано на Рис. 2. Можно просто поместить детектор, чувствительный к фотонам, в проскость изображения (см. Position) и затем, в зависимости от того, где наблюдают фотон, узнают, который путь выбрал электрон. Поэтому, интерференционные полосы,  при такой ситуации, не могут появиться.

Можно сказать теперь, что можно было бы, попросту, не определять положение, не помещая детектор фотонов в плоскость изображения.
Тогда, не получив информацию по поводу выбранного пути, мы могли бы  соблазниться утверждать - а вот теперь-то интерференционные полосы должны появиться. Но пока еще рассеянные фотоны уносять информацию относительно того, где они были рассеяны, а следовательно, выбранный электроном путь можно было бы определить в произвольное время.
Поэтому, даже если мы и не намерены прочитывать информацию, интерференционные полосы все равно не возникнут. В действительности, можно было бы представить, что кто-то в далекой галактике, обладающий очень продвинутой технологией, коллекционирует волны вероятности рассеяных фотонов и таким образом он способен определить выбранный электроном путь. Поэтому, даже если не смотреть на рассеиваемые фотоны, никаких интерференционных полос не возникнет, до тех пор пока фотоны переносят информацию о путях электронов.

Для того чтобы получить интерференционные полосы, следует стереть информацию, переносимую фотонами, необратимым образом. Это может быть сделано лучше всего посредством детектирования фотонов не в плоскости изображений, но в фокальной плоскости линзы (см. Momentum на Рис. 2). Напомним основную идею Фурье-оптики: мы понимаем, что точка в фокальной плоскости линзы соответствует входящему импульсу (направлению) на другой стороне линзы. Отсюда следует, что регистрация фотона в фокальной плоскости проецирует состояние рассеянного фотона в собственное состояние импульса, которое не содержит какой-либо информации о положении электрона. Поэтому, как только фотон зарегестрирован в фокальной плоскости, вся информация о положении теряется и соответсвующий электрон интерферирует сам с собой.

[valeriy]

Такой эксперимент, фактически, был выполнен, без использование электрона и фотона, но с привлечением двух фотонов, эксплуатирующих идею запутанности [6,7]. В этом эксперименте (см. Рис. 3) приготовляют пару фотонов, запутаных по импульсам. Один из двух фотонов играет роль электрона и проходит через двухщелевую решетку. Этот фотон регистрируется с другой стороны решетки детектором D2. Другой фотон  играет роль рассеянного фотона в эксперименте на Гейзенберговском микроскопе. Он проходит через Гейзенберговскую линзу и затем на детектор D1. Из-за сильного запутывания между двумя фотонами, фотон, проходящий через двухщелевую решетку, не показывает интерференционный паттерн. По существу, фотон, проходящий через Гейзенберговскую линзу, может быть использован, чтобы определить путь, выбранный фотоном, проходящим через двухщелевую решетку. Это делается помещением детектора D1 в плоскости изображения линзы (см. Position).


Рис. 3. Двухщелевой эксеримент для фотона из запутанной пары [6,7]. Пара фотонов, запутанных по импульсам, воспроизводится в кристалле типа-I параметрического преобразования с понижением частоты. Один из фотонов поступает в Гейзенберговский микроскоп и детектируется Гейзенберговским детекором D1 помещенным сзади Гейзенберговской линзы (этот фотон играет роль gamma-кванта в стандартном эксперименте с Гейзенберговксим микроскопом). Другой фотон поступает на двухщелевую решетку и детектируется двухщелевым детектором D2 (Этот фотон играет роль электрона). Если Гейзенберговский детектор помещается в плоскости изображений (см. Position), он может разоблачить путь другого фотона, выбранный при прохождении черех двухщелевую решетку. По этой причине интерференция не может проявиться. Альтернативно, если Гейзенберговский детектор помещается в фокальной плоскости линзы (см. Momentum), тогда он проектирует состояние другого фотона в собственное состояние импульса, из-за чего не может быть раскрыта информация о том, через какую щель фотон проходит. Этот фотон, поэтому, проявляет интерференционный паттерн при совпадении (single count coincidences) с регистрацией другого фотона в фокальной плоскости Гейзенберговской линзы.


Альтернативно, если поместить Гейзенберговский детектор D1 в фокальной плоскости (см. Momentum), входящий фотон, а следовательно также и запутанный фотон оба проецируются в собственные состояния импульса.
И интерференционные полосы от двухщелевой решетки появляются для фотонов, наблюдаемых при совпадении (single count coincidences) с регистрацией на Гейзенберговском детекторе D1 (см. Рисунки 3 и 4).

В этом эксперименте, мы также отметим очень интересную и элегантную особенность, а именно, низкий темп счета. Пиковый темп счета в двухщелевом паттерне на Рис. 4 составляет около 120 фотонов за 60 секунд. Это означает, абсолютно без сомнений, что интерференционный паттерн строится индивидуальными фотонами штука за штукой.


Рис. 4. Два взаимно исключающих паттернов зарегистрированных на двухщелевом детекторе D2, расположенным по другую сторону двухщелевой решетки (см. Рис. 3), как функция его поперечной позиции. Графики показывают итоги счета, зарегистрированные этим детектором при точном совпадении с регистрацией на Гейзенберговском детекторе D1, когда он расположен в проскости изображений линзы (верхний рисунок) и когда он расположен в фокальной плоскости (нижний рисунок). Только в последнем случае счет событий проявляет интерференционный паттерн, пока наблюдение на Гейзенберговском детекторе не разоблачает путь, который выбирает фотон через двухщелевую решетку. Обратим внимание на низкую интенсивность, которая отмечает, что интерференционный паттерн строится по индивидуальным фотонам, штука за штукой.


На эти эксперименты можно смотреть как на подтверждение точки зрения, что нет смысла назначать какое-либо свойство физической системе, независимое от наблюдения. В нашем случае, свойство относительно фотона, проходящего через двухщелевую решетку (может ли он быть виден как частица или как волна) зависит от того, что случится с первым фотоном (фотон, идущий через Гейзенберговскую линзу). И это мижет фактически произойти даже после того как фотон, проходящий через двухщелевую решетку, уже зарегестрирован! В этом можно видеть прекрасное подтверждение знаменитого афоризма Нильса Бора: "Не явление также явление, если только оно не является наблюдаемым явлением." ("No phenomenon is a phenomenon unless it is an observed phenomenon.")

Эти эксперименты также проливают свет на роль наблюдателя по отношению к реальности. Заметим, что им является экспериментатор, который выбирает прибор для наблюдения. Экспериментатор, в нашем случае Биргит (Birgit - женское имя), решает поместить ли детектор в фокальную плоскость или, скажем, в плоскость изображений. Таким путем она определяет какое состояние системы, волна или частица, может быть приписано реальности. В этом смысле, выбор экспериментатора является основополагающим для вселенной. Однако, специфический исход здесь, какую из двух щелей частица пересечет в одном случае или где на плоскости наблюдения она проявит себя в другом случае, не может быть подвергнут её влиянию. Иными словами, Природа избегает полной управляемости со стороны наблюдателя.

[valeriy]

Здесь надо бы отметить важное звено в двухщелевом зксперименте, связывающее два детектора, D1 и D2, - single count coincidences. А именно Схема совпадений:

Совпадений схема, электронное устройство, служащее для выделения из совокупности поступающих на него сигналов (электрических импульсов) только таких, которые полностью либо частично перекрываются (совпадают) во времени; представляет собой коммутирующее устройство дискретного действия с несколькими входами и одним выходом, сигнал на котором появляется только тогда, когда есть сигналы на всех входах одновременно. С. с. применяется преимущественно в ядерной электронике и в технических средствах автоматики и вычислительной техники.

Задача этого устройства - отлавливать запутанных близнецов. Если такие близнецы обнаружены, тогда дается команда на регистрацию произошедшего события.

И в этой связи, эксперимент, описанный в предыдущем постинге, не является полным. Отсутствует контрольный эксперимент. То-есть, вся та же самая экспериментальная установка, как показано на Рис. 3, но с разорванной схемой совпадений. Иными словами, нелинейный кристалл также продолжает воспроизводить запутанных близнецов, и регистрируются показания на детекторе D2, вне зависимости от того, какую информацию может нести запутанный фотон, идущий вдоль Гейзенберговкого плеча.

[valeriy]

Ещё одно замечание к эксперименту Цайлингера, описанного в постнге №1287. Детектор D1, как следует из описания эксперимента, располагался только в двух крайних позициях - в плоскости изображений и фокальной плоскости. Результатом эксперимента явились, две качественно различающиеся, кривые, показанные на Рис. 4 в этом постинге. Здесь я эти кривые, кривые (а) и (b), наложил друг на друга


Казалось бы, что мешало экспериментаторам пройтись детектором D1 по всему интервалу от плоскости изображений к фокальной плоскости и в некоторых выборочных местах также измерить интенсивоности на детекторе D2 (детектор, регистрирующий фотоны, прошедшие через двухщелевую решетку). По идее они должны были бы наблюдать картину, при которой на горбе (а) начались бы проявляться провалы (на рисунке это, условно, прорисовано красной кривой (с)). По мере смещения детектора D1 глубина этих провалов увеличивалась бы до тех пор, пока кривая (с) не совпала бы с кривой (b). Этот момент наступил бы как только детектор D1 занял бы позицию в фокальной плоскости.

О чем это говорило бы? О том, что на кристалле LiIO₃ воспроизводятся запутанные пары с самыми разными значениями импульсов (очевидно, для каждой рожденной запутанной пары, в купе с фотоном, породившем эту пару, соблюдается закон сохранения импульса). При помещении детектора D1 только в крайние позиции (плоскость изрбражений, фокальная плоскость) происходил отбор фотонов по признакам - или точное их местоположение, но неопределен импульс, или строго определен импульс (имеющий строгую ориентацию по направлению к плоскости щелей), но неопределено их местоположение. По сути, здесь играет роль принцип неопределенности Гейзенберга - Δх*Δp_x >= ħ (ħ - редуцированная постоянная Планка). Из формулы видно, что добиваясь строгой определенности Δx мы теряем информацию о Δp_x и результатом на детекторе D2 будет кривая (a). И наоборот, добиваясь строгой определенности Δp_x мы теряем информацию о Δx и детектор D2 будет регистрировать данные кривой (b). Очевидно, возможны и промежуточные результаты - когда и Δx и Δp_x, обе имеют какую-то промежуточную определенность. В таком случае результатом измерений не детекторе D2 будет нечто подобное кривой (с).

Правильная интерференционная картина возникает, когда щелевая решетка освещается хорошим когерентным пучком (математическим образом такого пучка является плоская волна, когда всей плоскостью волны накатывают на решетку). Плоская волна означает, что все падающие на решетку частицы имеют импульсы строго ориентированные перпендикулярно к плоскости решетки. В то время как положение частицы в такой плоской волне полностью неопределено. И наоборот, пусть на решетку падают частицы под самыми разными углами падения. Такая волна уже точно не будет плоской и даже более того, поток частиц, падающих на решетку, является некогерентным. Такой пучок не сможет дать ясную интерференционную картину. Представим сферический источник, близко расположенный к плоскости решетки. Местоположение этого источника строго определено, а вот волновые вектора (имрульсы) ориентированы симметрично по всем направлениям от источника. Падающий такой сферический фронт на плоскую поверхность смажет полностью интерференционный паттерн, т.е., интерференции не будет, так как в каждой точке плоскости наблюдения будут складываться волны, имеющие разные не подстроенные для формирования интерференционной картины фазы.