Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Даю согласие.

ОК, я вышлю формулы на твой е-мэйл, а затем начнем разбираться в том, как переложить их на язык программирования. В этих формулах есть только существенные параметры lambda, sigma, d и количество щелей N. Мнимые единицы все презставлены в числителях функций.

[valeriy]

Даю согласие.

Выслал короткий doc-файл на твое е-мэйл

[Pipa]

Выслал короткий doc-файл на твое е-мэйл

   Депешу получила. Вопросы будут такие:
1) Плотность вероятности, которая определяет собой фактуру ковра Талбота, это выражение (2)?
2) k и l - это номера щелей? Правильно ли я понимаю, что вы хотите получить сумму всевозможных парных произведений пси-функций от всех щелей?
3) Меня сильно смущает, что щелей у вас не N, а N+1, т.к. считаете вы их с нуля до N включительно. Как же тогда во многих местах получаются выражения N/2, а не (N+1)/2 ? Нельзя ли привести выражения к виду, когда число щелей обозначается через N? Т.е. n=0,1,2,3,...N-1.
4) Хотелось бы от вас коротко услышать о том, чем новый метод расчета отличается от старого. Не в том смысле, что считается он по другому, а в том смысле, чем он отличатся "идеологически". Вот предстваим себе, что по старому способу получился они ковер и одни траектории, а вторым способом совсем другие (и это вероятнее всего, поскольку расчет другой). И что тогда это будет означать? Что один из способов плох?

[valeriy]

1) Плотность вероятности, которая определяет собой фактуру ковра Талбота, это выражение (2)?

Да, это - плотность вероятности. На Mathcad она дает тот же самый паттерн, который мы наблюдаем.

2) k и l - это номера щелей? Правильно ли я понимаю, что вы хотите получить сумму всевозможных парных произведений пси-функций от всех щелей?

Да, это номера щелей.И двойная сумма представляет сумму всевозможных парных произведений пси-функций от всех щелей.

3) Мення сильно смущает, что щелей у вас не N, а N+1, т.к. счиатеты вы с нуля. Каже тогда во многих местах получаются выражения N/2 ?

Здесь будет получаться выражение (N+1)/2.
В принципе, можно ввести новое число N'=N+1 и тогда получим N'/2.

4) Хотелось бы от вас коротко услышать о том, чем нвоый метод расчета отличается от старого.

С точки зрения вычислений на компьютере, он ничего нового не должен дать. Но быть может ускорит слегка вычисления. Усилия, предпринятые с аналитическими преобразованиями, заключаются в том, чтобы получить точные аналитические функции, показывающие дифракционный паттерн в дальней зоне, асимптотически на бесконечности. То же относится и к пучкам траекторий. Эти асимптотические формулы косвенно показывают, во что переходят Талбот ковры при z ---> к бесконечности.

[Pipa]

Здесь будет получаться выражение (N+1)/2.
В принципе, можно ввести новое число N'=N+1 и тогда получим N'/2.

   Если это ошибка, то поправьте своей рукой. А если нет, то ваше высказывание двусмысленно. Я бы предпочла, чтобы вы сами исправили свои выражения, чтобы в них N означало число щелей, а никакого N' не было. И будет лучше, если мы станем двигать индексы k и l в направлении возрастания номеров щелей. В версии 1.20 я тоже так исправила.
Формула
(k+(1-N)/2)*d
нам годится? Если N - количество щелей, а не номер старшей щели.
Проверим на 3-х щелях, N=3.
k=0   k+(1-N)/2 = 0+(1-3)/2 = -1
k=1   k+(1-N)/2 = 1+(1-3)/2 = 0
k=2   k+(1-N)/2 = 2+(1-3)/2 = +1
Вроде бы симметрично получается.
Так или иначе, нам надо сверить формулы перед тем, как их программировать, а у меня проблемы отредактировать ваши формулы (офис покоцаный).

[valeriy]

Формула
(k+(1-N)/2)*d
нам годится?

Вполне годится.

[valeriy]

Возможно, пересечение траекторий, при достижении определенной величины фрактальности Талбот ковров, может представлять нормальное явление. Косвенно, такое явление, как перепрыгивающие атомы, может подтверждать это.

[Pipa]

valeriy, прошу подтвердить, что в формуле (2) в числителе подэкспоненциального выражения
x-(k-N/2)d возведено в квадрат,
а подобное ему выражение от l
x-(l-N/2)d
в квадрат не возводится.
Мне не понятно, куда мог пропасть квадрат у кет формы пси-функции, если он был у бра формы.
Это наружает ожидаемое подобие между индексами k и l. И кроме этого противоречит нормальному закону распределения, в соответствии с которым величина плотности вероятности падает "квадратично" расстоянию от центра.

   Мне также непонятна странная форма записи (2) через два рода экспонент, когда выражение для пси-функции содержит одну. Давайте объединим эти экпоненты в одну, поскольку такая запись потребует почти двое больше вычислительного времени. Причина этого такова: в классе комплексных чисел отсутствует функция для вычисления экспоненты от чисто мнимого аргумента, которая бы экономила действия, пользуясь отсутствием действительной части. А это означает, что экспонента от мнимого аргумента потребует ровно тех же временных затрат, как и вычисление экспоненты от полного комплексного числа. В этой связи, отдельное вычисление экспоненты от действительной части непроизводительно, т.к. вычисление экспонент на 80% определяет скорость всего алгоритма.

   Поймите, я не привереда, но по времени мы не потянем, если будем считать в лоб. Мои усилия направлены на то, чтобы ОДИН РАЗ посчитать экспоненты для всех N щелей (при фиксированном x), а затем получить нужные выражения комбинацией вычисленных значений. И во всяком случае я не собираюсь заново вычислять экспоненту, только из-за того, что в ней стоит параметр l вместо k. А вы своими псевдо-упрощениями достигаете прямо противоположного эффекта - во много раз усложняете расчет, пытаясь сделать запись аналитически более компактной. Очень вас прошу - давайте уберем из формулы (2) все те преобразования с подэкспоненциальными выражениями, которые вы сделали. Поймите, что иначе алгоритм будет считать сутками!

[valeriy]

Мне не понятно, куда мог пропасть квадрат у кет формы пси-функции, если он был у бра формы.

Извиняюсь Пипа - упустил поставить квадрат. Разумеется каждый из этих членов возводится в квадрат.

Мне также не понятна странная форма записи (2) через два рода экспонент, когда выражение для пси-функции содержит одну.

Это я делал из аналитических соображений, чтобы внимательно следить за каждым членом в выражении. Но если ты считаешь, что из вычислительных удобств лучше их считать, предварительно загнав их под одну экспоненту, то тогда следует их объединить.

[Pipa]

Но если ты считаешь, что из вычислительных удобств лучше их считать, предварительно загнав их под одну экспоненту, то тогда следует их объединить.

  Помогите мне это сделать!!! А еще лучше, чтобы преобразовать формулу (2) к такому виду, чтобы она не требовала НОВЫХ экпонент, кроме тех, которые считаются для пси-функции. Интуиция говорит мне, что это сделать можно, поскольку скалярное произведение двух векторов (а им по сути является плотность вероятности), не должно требовать вычисления новых экспонент, даже если компоненты векторов их содержали.
   Давайте пока поработаем над алгоримом, приспособив его к вычислительным потребностям, прежде чем все это отдавать процессору. Ведь иначе нам же самим от этого хуже будет - станем охать и ахать над паттернами ковра, вместо того, чтобы еще раз проверить алгоритм.  

[valeriy]

Очень вас прошу - давайте уберем из формулы (2) все те преобразования с подэкспоненциальными выражениями, которые вы сделали. Поймите, что иначе алгоритм будет считать сутками!

Выслал на е-мэйл doc-файл с исправленной формулой (2). Обрати внимание, поскольку берется произведение двух комплексно-сопряженных функций, в их экспонентах задействованы разные множители (a-ib) и (a+ib).

[Pipa]

Обрати внимание, поскольку берется произведение двух комплексно-сопряженных функций, в их экспонентах задействованы разные множители (a-ib) и (a+ib).

   Вижу. А это значит, что интуиция меня подвела. В комплексном случае это дело не работает.
   Скажите, а разве нельзя получить комплексно-сопряженное значение для численного значения пси-функции, если известен его оригинал? Насколько целесообразно делать всю эту работу по вычислению сопряженной бра формы, только из-за того, что там другой знак перед ib?
    Как вы полагаете, комплекное сопряжение в подэкспоненциальном выражении приводит ли к комплексному сопряжению результата или нет? Т.к. exp(a-bi) равно ли conj(exp(a+bi)) ? Или exp(conj(value)) равно ли conj(exp(value)) ?  

[valeriy]

Скажите, а разве нельзя получить комплексно-сопряженное значения для численного значения пси-функции, если известен его оригинал?

Обрати внимание, здесь берется произведение двух сумм, включающих суммы экспонент. Одна сумма берется по k=0,1,2,...N-1, а другая сумма по l=0,1,2,...N-1. При этом первая сумма является, условно, оригиналом, а вторая сумма ее комплексно-сопряженным образом.
Я тебе еще выслал doc-файл. Посмотри формулу (2). В ней я постарался все загнать под одну экспоненту, а затем уже он суммируется. Под экпонентой я разнес дейстсительные и мнимые части.

[valeriy]

Как вы полагаете, комплекное сопряжение в подэкспоненциальном выражении приводит ли к комплексному сопряжению результата или нет? Т.к. exp(a-bi) равно ли conj(exp(a+bi)) ?

Да равно. Так я делаю в Mathcad-кой программе и она показывает правильный результат.

[Pipa]

Как вы полагаете, комплекное сопряжение в подэкспоненциальном выражении приводит ли к комплексному сопряжению результата или нет? Т.к. exp(a-bi) равно ли conj(exp(a+bi)) ?

Да равно. Так я делаю в Mathcad-кой программе и она показывает правильный результат.

   Тогда какого черта вы в своем алгоритме заставляете меня считать экспоненты от (a+bi) и (a-bi) отдельно? В чем ваше "упрощение" состояло? В том, что вы вычислили а и b? Так a и b я и так бы вынесла из вложенных друг в друга циклов по щелям (двойных сумм), т.к. внутри рабочего цикла они неизменны. Вместо этого вы предложили мне вариант с вычислением комплекно-сопряженного значения, понимая насколько затратны в вычислительно плане такие вычисления, и при этом помалкивая о том, что комплекно-сопряженную часть можно получить из уже рассчитанной части одной лишь сменой знака у мнимой части уже имеющегося результата.
   Я еще раз напоминаю вам, что предложенный вами новый вариант расчета ковра Талбота имеет порядок сложности N², когда как старый вариант имел порядок N. При 64-х щелях это замедление в 64 раза! Т.е. секунда превращается в минуту, а минута в час! И тут я со своей стороны ничего не могу поделать, т.к. уже достигла теоретически возможного потолка производительности. Вся надежда на то, что удасться упростить алгоритм хотя бы до сложности N²/2, используя свойства симметрии. А то, что вы предлагаете сейчас, имеет сложность 2N².