Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Так же просчитал версии 1.11 и 1.12 для параметров, высвечивающих Талбот паттерн. Версия 1.11 дает извращенные результаты, а версия 1.12 показывает хорошие результаты, показывающие, как траектории огибают белые ромбовидные линзы.

[Pipa]

Версия 1.11 дает извращенные результаты, а версия 1.12 показывает хорошие результаты, показывающие, как траектории огибают белые ромбовидные линзы.

   Значит, впечатлили вас "извращенные результаты" . Отчего же тогда до появления версии 1.12 вы версию нахваливали, а не ругали? Может быть и нынешняя тоже в чем-то ошибается?
   Может быть вы этот случай на своей программе пересчитаете? Чтобы сравнить можно было, как траектории идут. Правда ли, что существуют траектории, которые пересекают линию, эквидистантно расположенную между соседними щелями? А то у меня больно велики сомнения в правильности такой картины.

[valeriy]

Значит, впечатлили вас "извращенные результаты"

Да, меня впечатлили скачки, которые показывали траектории при прохождении белых лагун. В принципе, траектории предпочитают избегать эти лагуны. Однако, это не значит, что лагуны запрещены для посещений. Белые лагуны только отмечают места, где плотность вероятнсти достигает наименьших значений, но не обращаются точно в нуль. Поэтому, при некоторых специально подобранных начальных значений, траектория может пройти белую лагуну насквозь.

Однако, о которых я говорил в Ответе #410, были скачками преимущественно в вертикальных направлениях (по оси х). Конечно эти скачки впечатляют, но отсюда не следует, что они верные. По сути, на этих местах происходил разрыв траектории, как гладкой функции. А в общем, картинка показывает, что траектории также предпочитают трассировать пространство по затемненным местам и быстро перескакивать светлые участки.

[valeriy]

Правда ли, что существуют траектории, которые пересекают линию, эквидистантно расположенную между соседними щелями?

Плотность вероятности ни где не обращается точно в нуль (по крайней мере в задачах, рассматриваемых нами). Поэтому, всегда можно подобрать такую траекторию, которая пересечет линию, упомянутую тобой. Но если попытаться собрать большой набор траекторий, то из всего этого набора только очень малая часть будет покрывать белые пространства. Все остальные будут ложиться на затемненные области.

[valeriy]

Может быть вы этот случай на своей программе пересчитаете?

Mathcad при расчете бомовских траекторий менее поворотлив, чем это могло бы казаться на первый раз. Я могу оценить карту плотности вероятности и на этом основании заключить, что карты, вычисляемые по твоей программе, верны. Что касается бомовских траекторий, то их общее поведение должно быть таким, что они преимущественно проходят по затемненным местам, а светлые места стараются избегать. Это непосредственно следует и из уравнения, вычисляющее эти траектории. В общем, в литературе много показано паттернов с бомовскими траекториями. И эти картинки, также являются качественным индикатором относительно траекторий, которые рисует твоя программа.

Пожалуй, наиболее решающим результатом является тот, который показывает, как траектории ведут себя на ковре Талбота. Ковер Талбота - это очень впечатляющий результат, который выдала твоя программа. Mathcad подтверждает этот результат. Хотя с визуальной точки зрения, твоя программа рисует этот ковер более качественно. По сути, этот ковер и является самым важным результатом твоей программы. Бомовские траектории на этом ковре очень "грамотно" огибают белые ромбы и зигзагами проходят, преимущественно, по затемненным местам. Впечатляет то, как они проходят через темные узлы, разделяющие белые линзы. В данном случае слово "впечатляет" на самом деле отражает суть происходящего явления.

Так что ковер Талбота является тем объектом, на котором можно судить о возможностях твоей программы.

[valeriy]

Пипа, у меня к тебе вопрос относительно параметра P-scale = n:m. Когда я желаю сделать так, чтобы карта плотности вероятности выглядела бы более насыщенной, я задаю P-scale = n:1. Здесь n тем больше, чем более насыщенной черным цветом будет карта. Наименее насыщенной карта будет при P-scale = 1:1.
Но, казалось бы еще менее насыщенной была бы карта при P-scale = 1:m, m=2,3, ... В пределе очень больших m, вся карта была бы белой, на которой не возможно было бы различить максимальные значения плотности вероятности. Но, к сожалению, попытка задать P-scale = 1:m, с m больше, чем 1, программа всегда возвращает P-scale = 1:1.

Можно ли сделать возможность задавать P-scale = 1:m, с m больше, чем 1? Такая возможность нужна для того, чтобы бомовские траектории лучше просматривались бы на фоне серых цветов распределения плотности вероятности.

[Pipa]

   Посмотрю, скорее всего это будет сделать не сложно.

[Pipa]

   Посмотрела. Масштаб P-scale меньше единицы сделать можно, только действовать он будет только на 2D-картинку, тогда как на 3D-картинке видимых изменений обнаружить не удастся. Причина этого в том, что на 3D-картинке действует автомасштабирование, которое растянет до полной высоты даже тогда, когда P-scale меньше единицы.
   На счет инвертирования последовательности n и m при задании P-scale = n:m я возражаю. Дело в том, то на всех картах мира принято так, что масштаб 1:1000000 это когда континенты изображаются с уменьшением так, чтобы материки поместились на карте или глобусе. А масштабы типа 6:1 применяются в микроскопах, дающих 6-кратное увеличение. Поэтому увеличение n должно приводить к укрупнению вида, а увеличение m - к его измельчанию.
   Версию ver. 1.13, способную уменьшать P-scale меньше единицы, выложила на старом месте.

[valeriy]

Посмотрела. Масштаб P-scale меньше единицы сделать можно, только действовать он будет только на 2D-картинку, тогда как на 3D-картинке видимых изменений обнаружить не удастся.

Собственно, это и надо - именно ради настройки глубины цвета на 2D-картинке такое риегулирование и нужно. Сейчас я посмотрю как это работает.

[valeriy]

Версию ver. 1.13, способную уменьшать P-scale меньше единицы, выложила на старом месте.

Вот теперь замечательно. При P-scale=1:2 глубина серого цвета оказалась пониженной ровно в той степени, при которой и распределение плотности вероятности видно и ясно просматриваются бомовские траектории на фоне этого распределения. Спасибо Пипа.

[Pipa]

   Версия 1.14 - то же самое, что и предыдущая, только картинку строит вдвое быстрее. Причина: использовала свойство симметрии картинки относительно оси x=0 (средней линии). Честно вычисляю только верхнюю половину (без траекторий), а нижнюю получаю ее зеркальным отражением. Отсюда и экономия половины вычислений.

[valeriy]

Отсюда и экономия половины вычислений.

Пипа спасибо. На самом деле просчитывает значительно быстрее, особенно это заметно, когда дело касается решеток с большим количеством щелей, скажем N = 64, 128.

[Pipa]

   Львиную долю процессорного времени занимает вычисление комплексной экспоненты. В этом процессе помимо действительной экспоненты (которая тоже считается не быстро, поскольку такой команды у процессора нет, и ему приходится прибегать к внешнему алгоритму математической библиотеки) присутствует вычисление синуса и косинуса от коэффициента от мнимой части. Все это очень недешево по затратам времени.
  Попробовала посчитать эту комплексную экспоненту сама на чистом ассемблере. Получается в 2-3 раза быстрее, но в общем зачете это дает только 40%-ное ускорение (например, вместо минуты получится 40 секунд). Версия 1.14, которую я вам дала в прошлый раз делать это способна, но способность эту я у нее заблокировала, продолжая считать так, как и раньше. Побоялась тех эффектов, которые при такой замене обнаружились. Вот эти эффекты я бы и хотела с вами сейчас обсудить.
   Если внимательно приглядеться к картинке, которую я приводила ранее:



в районе, обведенном кружочком, то можно заметить элементы симметрии не только верх-низ, но и лево-право. Последняя симметрия не совсем точная, но на глаз хорошо заметна.
   Если смотреть не на  торные пути траекторий (темный цвет), а на светлые "запрещенные" светлые линии, то легко можно заметить, что ромбовидные лагуны образованы слиянием таких линий. Такие линии сливаются вместе, образуя лагуну-озеро, а затем почти зеркальным образом расходятся после нее. Впечатление таково, как будто они проходят через лагуну насквозь, не меняя своего прямолинейного направления. Это и создает эффект светлой диагональной штриховки на показанной мною картинке.
  Эти светлые линии подобны сплошной разметке на шоссе, удерживающим бомовские траектории на текущей полосе. Иногда они правила дорожного движения нарушают, пересекая сплошную. Но делают они это в тех случаях, когда им на пути встречается поперек сплошная. Что-то вроде той ситуации, когда железнодорожные рельсы перекрещиваются.
   В нашем случае существует значительная неопределенность в выборе дальнейшего пути после того, как на пути встречается лагуна. Сама лагуна, чаще всего преодолевается в объезд, но здесь есть момент неопределенности, как на дорожном знаке "круговое движение". Выехав на круг вокруг лагуны, можно свернуть с него не только в точке,  противоположной месту въезда, то и чуть раньше или позже намеченной точки.
   Короче говоря, бомовские траектории не совсем являются траекториями, поскольку они могут не только сходиться вместе, но и расходиться! Т.е. в определенных местах паттерна создается ситуация, когда одному входному потоку соответствуют несколько равнозначных выходов. Это похоже на то, как вода вытекает через дырочки душа. Здесь также присутствует неопределенность того рода, через какую конкретно дырочку вытечет данная молекула воды. Причем, независимо от предшествующего состояния молекул, все они более или менее РАВНОМЕРНО распределяются между дырочками.
   В вычислительном плане такой выбор может состояться под действием ошибок округления или неточности вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций. Но в идеале, скорое всего, какое-либо предпочтение отсутствует в принципе, и имеет место ситуация "свободного выбора", которая решается чисто случайным образом.
   Если при малом числе щелей бомовские траектории ведет себя как реки, протекающие по низинам, то в случае большого числа щелей (ковер Талбота) мы имеем картину, схожую с шестами, часто вкопанными на горнолыжной трассе. В последнем случае общее русло уже отсутствует, а вместо него предлагается искусное лавирование между шестами, чтобы ни с одним из них не столкнуться. Последняя ситуация не позволяет в строгом смысле говорить о существовании определенных трасс (таких так бомовских траектория), поскольку уже нет ничего, чтобы могло быть похоже на трассу. Можно сказать, что каждый заезд по этому полю с препятствиями происходит в строго индивидуальном порядке и путь никогда не повторяется...

[valeriy]

Вот эти эффекты я бы и хотела с вами сейчас обсудить.

Прежде чем обсуждать, я хотел бы сделать ряд замечаний. Ангел Санз (Angel Sanz), из работ которого я взял гауссов волновой пакет, как мне показалось, был несколько обескуражен тем, что он со своими коллегами "прохлопал" Талбот эффект. Суть в том, что они всегда работали с решетками, для которых отношение длины волны λ к расстоянию между щелями d равнялось единице. Но чтобы наблюдать Талбот эффект, это отношение надо брать как можно меньше. Более того, наблюдаемый Талбот эффект представляет промежуточным этапом к "интерференционному фракталу". Разумеется в математическом пределе, что не возможно осуществить физически.

Майкл Берри (извесный английский ученый) со своими учениками сформулировал ряд условий, при которых Талбот паттерн перехолит во фрактал:
1) количество щелей дожно стремиться к бесконечности;
2) отношение λ/d должно стремиться к нулю (или, что эквивалентно, отношение d/λ должно стремиться к бесконечности;
3) пучок света (они работают с квантами света) должен распространяться параллельно оптической оси (paraxial approximation). То-есть допускается слабая дисперсия света в поперечном направлении (по оси х), но сам луч распространяется в направлении z.

Конечно, бесконечные пределы - это математическая идеализация. Но рисунок, который показан в твоем постинге, имеет следующие значения: (а) количество щелей N=64; (б) отншение d/λ=40; (в) мы работаем в параксиальном приближении с самого начала, коль скоро волновое поле по оси z моделируем множителем exp{ik_zz-iωt}.

Конечно, можно было бы взять количество щелей еще больше. Но как я понял, твоя программа допускает максимум N=100. Но и этих значений оказалось вполне достаточно, чтобы увидеть Талбот эффект в ближайшей окрестности щелевого экрана.

Я полагаю, наше обнаружение Талбот эффекта в данной модельной задаче является наиболее важным делом, которое было выполнено с помощью твоей программы. Я могу понять, почему Санз и Ко. не обнаружили Талбот эффект. Они рисовали бомовские траектории в отрыве от карты, показывающей распределение плотности вероятностей. При таком рисовании сразу трудно заметить в экзотических вихляниях бомовских траекторий паттерн, конкретно Талбот паттерн. Тем более, для этого надо было бы выполнить хотя бы приблизительно условия, сформулированный М. Берри.

А теперь по делу. Принимаем следующую посылку:
бомовские траектории нигде никогда не пересекаются. Они могут сближаться друг к другу сколь угодно близко. На карте это видно как очень темные узлы с повышенной вероятностной плотностью (в математическом идеале этому соответствуют δ-функции Дирака. Иными словами, в математическом пределе, распределение плотности вероятности было бы утыкано плотным частоколом таких δ-функций).

Поэтому бомовские траектории сходятся к таким зачерненным узлам, а затем разбегаются от них веером. В самом узле они не пересекают друг друга. (Если это происходит, то это является издержкой конкретной компьютерной программы и точности задания чисел, которые может обеспечить компьтер).

Белые ромбовидные лагуны. Достаточно удалиться по оси z от шелевого экрана, чтобы заметить как эти лагуны "рассасываются". Или можно ослабить условия Берри, то-есть сделать меньше N и меньше отношение d/λ. Уменьшая поэтапно эти параметры, можно наблюдать как постепенно исчезает эффект Талбота.  В этом случае будем иметь то, что ты и отмечаешь в своем наблюдении

Если при малом числе щелей бомовские траектории ведет себя как реки, протекающие по низинам, то в случае большого числа щелей (ковер Талбота) мы имеем картину, схожую с шестами, часто вкопанными на горнолыжной трассе.

[Pipa]

Но как я понял, твоя программа допускает максимум N=100. Но и этих значений оказалось вполне достаточно, чтобы увидеть Талбот эффект в ближайшей окрестности щелевого экрана.

   У программы нет ограничения на число щелей, оно может быть задано сколь угодно большим (только тогда придется очень долго ждать окончания расчетов). Ограничитель до 100 действует только на бегунок ±1, чтобы он случайно не забежал слишком далеко, когда его долго держат нажатым. Большее число щелей можно заказать, если вписать нужное число вручную. Или, в крайнем случае, прописать это число в INI-файле (параметр slits).