Переводы и беллетристика по КМ

[valeriy]

5 Как связаны различные интерпретации квантовой механики?, стр. 72-82

Джеймс Б. Харли

В этой статье мы изучим идею, что различные интерпретации квантовой механики могут рассматриваться как ограничения согласующихся (или декогерентных) историй квантовой механики замкнутых систем на истории, вместе с аппроксимациями и описаниями этих историй, которые допускают эти ограничения.

5.1 Введение

Авторы этой книги сообща идентифицируют, по меньшей мере, 13 различных интерпретаций КМ [1]. Краткой длины лист предлагает вопросы:

* Каковы отношения между этими интерпретациями?
* К какому применению они могут быть приложимы?
* Возможно положиться объективно на какую-либо одну?

Эта краткая статья предлагает вниманию некоторые персональные размышления на эти вопросы

Определенной нитью, связывающей интерпретации квантовой теории, является их взаимное соглашение о вероятностях исходов измерений, во всяком случае, до прекрасного приближения. Некоторые формулировки могут обеспечивать вероятности для дальнейших типов альтернатив, таких как положение Луны, когда на нее не обращают внимания наблюдатели, или величины плотности флуктуаций в очень ранней вселенной, когда не существовало кругом наблюдателей. Однако, формулировка, которая не воспроизводит ответов из стандартного учебника для вероятностей измерений не является интерпретацией квантовой механики. Скорее, это уже другая теория. Такие альтернативы квантовой механики представляют большой интерес, но не являются предметом обсуждения этого очерка.

Идея, исследуемая здесь, заключается в том, что ряд различных интерпретаций квантовой механики могут быть связаны через совместимую (или декогерентную) квантовую механику замкнутой системы. Более точно, число интерпретаций можно рассматривать как ограничения согласующихся историй квантовой теории к частным сортам множеств альтернативных историй с аппроксимациями и специальными описаниями множеств, которые эти ограничения допускают. В этом эссе рассматриваются три случая, где эта связь может быть установлена, и приводятся краткие обсуждения полезности привлеченных ограничений.

5.2 Квантовая механика замкнутых систем

Начнем с очень краткого обзора квантовой механики замкнутой системы, наиболее в общем смысле - вселенная как всецелая. Чтобы упростить дискуссию, мы пренебрежем квантовой гравитацией и предположим фиксированную геометрию пространства-времени.
Привычный аппарат Гильбертова пространства, состояния и операторы, могут затем использованы, чтобы сформулировать квантовую механику замкнутой системы. В качестве простой модели, мы можем представлять большой изолированный ящик из N нерелятивистских частиц. Динамика может быть выражена в терминах положения частиц x_i и импульсов р_i Гамильтониана

H = sum{i=0 to N} p_i²/(2mⁱ) + V(x_i).        (5.1)

Как наблюдатели так и наблюдаемые, если это имеет место, заключены внутри ящика. Очевидно, это не самое общее описание замкнутой системы, но этого будет достаточно, чтобы проиллюстрировать кое-что из связей между интерпретациями, которые мы описываем дальше.

Мы принимаем замкнутую систему, которая описывается квантовым состоянием |psi>. Наиболее общей целью квантовой теории является предсказание из H и |psi> вероятностей индивидуальных представителей множеств грубо-структурированных альтернативных историй замкнутой системы. История описывается заданием последовательности альтернатив (alpha₁, ... ,alpha_n) в последовательности времен t₁, ... ,t_n. Альтернативы в момент времени t_k представляются полным набором ортогональных (в Гейзенберговском представлении) проекционных операторов {P_alphak^k(t_k)}, alpha_k=1,2, ... , и история альтернатив представляется соответствующей цепочкой проекций, названных оператором класса:

C_alpha = P_alphanⁿ(t_n)...P_alpha1¹(t₁)                    (5.2)

Заметим, что с левой стороны этого уравнения мы сократили целую цепочку (alpha₁, ... ,alpha_n) до единственного индекса alpha. Например, если нас интересует история Земли, совершающей движение вокруг Солнца, оператор Р может быть проекцией на единый ряд положения центра масс Земли в последовательности времен. Это множество историй является грубо-структурированным, так как альтернативы не указываются в каждое время, но только в некоторые времена, поскольку положение центра масс не определяется точно, но только в определенных диапазонах, и потому что не каждая переменная, описывающая вселенную, уточняется, но только центр масс Земли.

Класс операторов C_alpha, определенный в (5.2) позволяет сконструировать вектора ветвящихся состояний,

|Psi_alpha> = C_alpha|Psi>                     (5.3)

для каждой истории на грубо-структурированном множестве. Множество историй декогерирует, когда существует пренебрежимая взаимная интерференция между всеми векторами ветвящихся состояний:

<Psi_alpha|Psi_alpha' {приближенно равно} 0, alpha {неравно} alpha'        (5.4)

Объединенная вероятность р_alpha для всех событий в истории alpha есть

р_alpha = ||Psi_alpha>||² = ||C_alpha|Psi>||²       (5.5)     

где множество историй декогерируется. Декогеренция гарантирует истинность правил суммы вероятностей, которые есть в числе определяющих свойств вероятности. Выше приведенная дискуссия является краткой, слишком упрощенная в некоторых отношениях, но достаточная, мы надеемся, для понимания замечаний, которые последуют. Ключевой точкой для проведения дискуссия является следующая. Декогерентными историями квантовая механика предсказывает вероятности для многих различных множеств альтернативных историй, которые являются дополнительными в следующем смысле: каждое множество является частью полного квантового описания системы, но не существует тонко-структрированного множества историй, из которых все декогерентные множества являются грубо-струтурированными. Множество историй грубо-структурированный земным центром импульса масс является примером множества, которое (если декогерентное) было бы дополнительным к множеству грубо-структурированному земному центру положения масс.

При заданных Н и |Psi> возможно, в принципе, вычислить все декогерентные множества. Среди них существует квазиклассическая область повседневного опыта, грубо-структурированная переменными классической физики, и проявляющие классические паттерны корреляции во времени, подытоженные приблизительно классическими уравнениями движения. Как наблюдатели человечества, мы сосредотачиваем внимание почти всецело на грубой структурированности этой квазиклассической реальности. Однако, квантовая теория не проводит различия квазиклассической реальности от других декогерентных множеств, за исключением свойств таких как ее классичность.

Картина квантовой реальности, которая возникает из квантовой механики замкнутых системах, очень отличается от реальности классической физики, вовлекая, как это делается, много дополнительных описаний Вселенной, являющихся взаимно несовместимыми. Ограничение допустимых множеств историй некоторыми принципами (Dowker and Kent [6]) типично приносит описание реальности, которое близко по характеристикам к знакомой классической реальности. Мы увидим это в случаях, которые будут обсуждаться.

[valeriy]

5.3 Три тематических изучения

Эта секция рассматривает идеи, предложенные в секции 5.1 для трех различных интерпретаций квантовой теории.

5.3.1 Копенгагеновская квантовая механика

Копенгагеновская квантовая механика, которая обнаруживается в большинстве учебников, соприкасается с вероятностями историй исходов экспериментов, выполняемые наблюдателями. Наблюдаемые подсистемы описываются в Гильбертовом Пространстве H_S. Динамика точно определяется Гамильтонианом h, действующем на H_S, когда подсистема изолируется. Полагается, что изначально подсистема имеет состояние |psi> в H_S. Исходы измерения, выполненные во время t_k, могут быть описаны набором ортогональных, в Гейзенберговской картине, операторов {s^k_alphak(t_k)}, alpha_k=1,2,..., аналогично описанию по Р-проекторам, описанным в секции 5.2. Вероятности для истории идеальных экспериментов (наблюдатели, которые возмущают подсистему по возможности незначительно) во времена t₁, ..., t₁ даются по аналогии с (5.5)

p_alpha = ||sⁿ_alphan(t_n)...s¹_alpha1(t₁)|psi>||²    (5.6)

Согласованность не является исходом для этих вероятностей. Вероятности грубо-структурированной истории нет нужды быть суммой вероятностей более тонко-структурированных историй, согласованных в ней (грубо-структурированной историей, В.С.). Более тонко и более грубо-структурированные измерения соответствуют разным взаимодействиям подсистемы с внешним окружением. Множества историй, описывающих альтернативные измерения, не должны декогерировать.

Копенгагеновская квантовая механика является аппроксимацией к квантовой механике замкнутых систем, которая соответствует историям измерительных ситуаций, когда декогерентные альтернативы, регистрирующие исходы измерений, могут быть идеализированы как точные. Мы набросаем только ключевые особенности демонстрации, которые, по сути, являются теми же самыми, как и многие модели измерений. Детальней смотри, например, [7], секция II.10.

Рассмотрим замкнутую систему с Гильбертовым пространством H_SхH_r, где H_S - Гильбертово пространство измеряемой подсистемы и H_r - Гильбертово пространство покоящейся вселенной, включая любые измеряющие аппараты и наблюдателей. Предположим начальное состояние в форме |Psi>=|psi>x|Phi_r> и рассмотрим последовательность измерений в ряде времен t₁, ... ,t_n. Измеренные альтернативы подсистемы описываются проекционными операторами, чьи представления Шрёдингеровкой картины имею форму S^k_alphak = s^k_alphakxI_r. При типичной измерительной ситуации, альтернатива, такая как S^k_alphak, становится коррелированной с альтернативой аппарата и в частности с постоянными регистрациями измерений. Ортогональность и постоянство этих регистраций гарантирует декогерентность историй измеренных исходов. Если делается обычное предположение, что измерительное взаимодействие возмущает подсистему незначительно (идеальное измерение), тогда

p_alpha = ||Sⁿ_alphan(t_n)...S¹_alpha1(t₁)|Psi>||²_H           (5.7)
{примерно равно} ||sⁿ_alphan(t_n)...s¹_alpha1(t₁)|psi>||²_Hr

Таким образом, Копенгагеновская квантовая механика возвращается как ограничение и приближение квантовой механики замкнутых систем. Второе уравнение в (5.7) не является точным, но верным к прекрасному приближению в практических измерительных ситуациях - типично значительно дальше точности, с которой вероятности могут быть проверены или смоделирована физическая ситуация.

Польза приближенной квантовой механики измеряемой подсистемы очевидна. Это подлинно превосходная аппроксимация для каждого лабораторного эксперимента, который тестирует принципы квантовой механики. Далее, вычисления аппроксимированных Копенгагеновских вероятностей, использующих верно Гильбертово пространство измеряемой подсистемы, будет вообще чрезвычайно проще, чем в Гильбертовом пространстве вселенной. Эти преимущества, однако, не должны загораживать полезность встраивания Копенгагеновской квантовой механики в более общую квантовую механику замкнутых систем для понимания измерений (как выше) и вычисления объективной какой бы хорошей аппроксимация не была.

5.3.2 Теория Бома

Чтобы подвести итоги особенностей теории Бома [8], которая уместна для настоящей дискуссии, удобно ограничиться вниманием замкнутых систем, состоящих из N нерелятивистских частиц в ящике, обсужденном в секции 5.2. Задана начальная волновая функция Psi(x₁,...,x_N,0). Частица в ящике движется по траектории x_i(t), которая подчиняется двум детерминированным уравнениям. Первым уравнением является уравнение Шрёдингера для волновой функции Psi

i*hbar*({частная производная по времени d/dt}Psi)= H*Psi      (5:8 )

Тогда, записывая Psi=R*exp{i*S} с реальными R и S, вторым уравнением является детерминистическое уравнение для x_i(t)

m_i(dx_i/dt) = Nabla_xiS(x₁,...,x_N)     (5.9)

Начальная волновая функция представляет начальное условие для уравнения Шрёдингера (5:8 ). Теория становится статистической теорией в предположении, что начальные значения для x_i распределяются в согласии с вероятностной плотностью на конфигурационном пространстве

Pho(x₁,...,x_N,0) = |Psi(x₁,...,x_N,0)|²     (5.10)

Единожды фиксировав это начальное распределение вероятности, вероятность каких-либо более поздних альтернатив устанавливается из детерминистического уравнения (5.9).

Грубо-структурированная Бомовская история alpha=(alpha_n,...,alpha₁) определяется из последовательности участков {Nabla^k_alphak} переменных x_i в ряде времен t₁,...,t_n и состоит из множества Бомовских траекторий x_i(t), которые пересекают эти участки в указанные времена.

Предсказания теории Бома и квантовой механики замкнутых систем можно сравнить для множеств альтернативных историй грубо-структурированных диапазонами положения x_i для разных времен, как и выше. Как правило, различные вероятности предсказываются для того же самого множества историй [9]. Это различие возникает по следующей причине: Бомовские истории являются детерминированными. Это означает, что вероятность того, что частица проходит ряд областей в конфигурационном пространстве за последовательные времена является той же самой, как и вероятность начальных значений x_i, которые разворачивают эти траектории из уравнений движения (5:8 ) и (5.9). Вероятность Бомовской траектории можно, поэтому представить как

p_alpha^(BM) = ||B_alpha|Psi>||²,         (5.11)

где B_alpha - проекция на соответствующие начальные условия.

Вероятность того же самого множества историй можно было бы вычислить в квантовой механике декогерентных историй

p_alpha^(DH) = ||C_alpha|Psi>||²,         (5.12)

при условии, если только множество декогерентно. Здесь C_alpha - цепочка проекций, подобная (5.2). Из простого наблюдения следует, что цепочка проекторов, подобных (5.2), вообще не является проекцией и что поэтому p_alpha^(BM) не будет, в общем, согласовываться с p_alpha^(DH) (смотри [9] для примеров и последующую дискуссию).

Другой путь увидеть различие - заметить, что в теории Бома волновая функция всегда эволюционирует в согласии с уравнением Шрёдингера - унитарная эволюция. Но действие цепочки проекторов C_alpha на начальном состоянии может быть описано как унитарная эволюция, прерванная действием проекций (редукция).

Только в случае историй с альтернативами при единственном времени, предсказания теории Бома и квантовой механики замкнутых систем гарантируются, чтобы быть в согласии. Тогда C_alpha являются проекциями. Но это - важный случай, так как он приводит к заключению, что теория Бома и квантовая механика замкнутых систем согласовываются по вероятностям исходов измерений.

Одна характеристика измерительной ситуации, которая кажется, в общем, согласована, сводится к тому, что результаты измерения регистрируются, по крайней мере, во времени.
История C_alpha измерительных исходов регистрируется на множестве альтернатив {R_alpha} во времени позже, чем последняя альтернатива C_alpha, если величины R_alpha коррелируют с исходами измерений, описанных C_alpha. R_alpha являются проекциями, даже если C_alpha не являются ими. Теория Бома и квантовая теория замкнутых систем будут, поэтому согласовываться на вероятностях этих регистраций.

Теория Бома может, поэтому рассматриваться как ограничение квантовой теории замкнутых систем на альтернативы, описывающие регистрации измерений (в координатах x) вместе с описанием этих исходов в терминах детерминированных траекторий, подчиняющихся уравнениям (5:8 ) и (5.9). Преимущество теории Бома (то есть, преимущество ее ограничения), что, мы полагаем, было бы заявлено её защитниками, есть ясная детализация одного множества ее историй (в координатах x), как предпочтенным над другими (множествами историй, В.С.). Потенциальными неудобствами является то, что эти истории, хотя и детерминированные, не могут быть классическими даже в ситуациях, когда корреляции классической физики во времени предсказываются с высокой вероятностью квантовой механикой замкнутых систем [10]. Таким образом, к примеру, даже когда классическое прошлое предсказывается (обратно) из настоящих регистраций из квантовой механики замкнутых систем, теория Бома может предсказать неклассическое прошлое, зависящее от природы начальных условий [9].

5.3.3 Сумма по историям

Начальным пунктом для формулировки суммы по историям квантовой механики является детализация одного множества тонко-структурированных историй. Для модели универсума нерелятивистских частиц в ящике, заданы пути частиц x_i(t), i=1,2,...,N. Дозволенная грубо-струтрурированность представляется разбиением этого множества тонко-структурированных историй на исчерпывающее множество исключающих классов.
К примеру, пути можно было бы расчленить по тому, как они проходят набор областей конфигурационного пространства {Nabla_alphak}, alpha_k=1,2,..., в последовательность времен t_k, k=1,2,...,n. Операторы класса C_alpha детализируются через задание их матричных элементов, как суммы по тонко-структурированным путям в грубо-структурированном класса, маркированного символом alpha. Обозначая точку в 3N-мерном конфигурационном пространстве символом x, эта сумма есть

<x''|C_alpha|x'> = {Интеграл по alpha}dx exp{i*S[x(t)]/hbar}.          (5.13)

Здесь S[x(t)] - функционал действия и сумма выполняется по всем тонко-структурированным историям в классе, помеченным ярлыком alpha. Например, в разбиении последовательностей наборов областей в серии времен, грубо-структурированная история alpha помечается областями (alpha₁,...,alpha_n), пересеченными за последовательность времен, и сумма в (5.13), определяющая оператор класса, выполняется по (всем) путям, которые пересекают эти области. Построение вероятностей описывается как в секции 5.2.

Квантовая теория суммы по всем историям эквивалента ограничению квантовой механики замкнутых систем, описанная в секции 5.2. Все возможные множества проекционных операторов, которые могут возникать при построении множества альтернативных историй, подобных (5.1), ограничивается проекциями на шеренги положений.
Предсказания ограниченных множеств являются полезными из-за тождеств, которые выражают суммы по историям в терминах операторов. Например

{Интеграл по [x'',Delta_n,...,Delta₁,x']}dx*exp{i*S[x(t)]/hbar} = <x''|Pⁿ_Deltan(t_n)...P¹_Delta1(t₁)|x'>,  (5.14)

где сумма с левой стороны выполняется по всем путям, которые начинаются в точке x', проходят через области Delta_n,...,Delta₁ за времена t₁,...,t_n и заканчиваются в точке x'' [11].

Формулировка суммы по историям квантовой теории обычно не обсуждается как другая интерпретация квантовой механики. Но она возможна [12,13] так как, подобно теории Бома, она детализирует фундаментальный набор переменных. По сути, она постулирует принцип совокупного отбора. В виду того, что квазиклассическая область, в которой мы действуем, как человеческие наблюдатели, может быть описана как грубо-структурированное конфигурационное пространство [14], никакая предсказательная сила не теряется при выполненном ограничении. Однако, ограничение не настолько сильное, чтобы сузить диапазон допустимых наборов точно до квазиклассической области.

Существует некоторая потеря в преимуществе с формулировкой суммы по историям, так как величины подобные импульсу частицы должны определяться в терминах пространства-времени - временем пролета, например [12]. Но существует также и потенциальная прибыль. Ограничение суммы по историям предоставляет рывок вперед в характеристике классичности и объяснения ее происхождения (смотри, например, [15]). Формулировка суммы по историям квантовой механики представляет естественный каркас при исследовании обобщений квантовой механики, которые необходимы при описании альтернатив пространства-времени, расширенных по времени (например [16]) и альтернатив, которые могут быть нужные для квантовой теории гравитации [5,17].

5.4 Существует одна интерпретация квантовой механики?

Было бы интересно исследовать, как много различных интерпретаций квантовой теории можно рассмотреть, как ограничения квантовой механики замкнутых систем, вместе с приближениями и частными описаниями историй, которые эти ограничения допускают. Это был бы, по крайней мере, один способ объединения различных интерпретаций и общим базисом для обсуждения их допущений, преимуществ, мотиваций и ограничений.

Было бы, в равной степени, интересно идентифицировать интерпретации квантовой механики, которые не могут рассматриваться как ограничения квантовой механики замкнутых систем по некоторым фундаментальным причинам (но не просто из-за того, что они нуждаются в когеренции, чтобы принимать решения). Последовательные истории квантовой механики являются логически согласованными, согласованными с экспериментом, до сих пор известным, согласованными с руководящими предсказаниями  для измерений, и приложимыми к большинству общих физических систем. Однако она может быть не только теорией с этими свойствами. Исследования интерпретаций, которые не подходят в пределах каркаса укрытия (umbrella framework) могут увести в других направлениях.

Можем мы сделать различия между различными интерпретациями, которые являются ограничениями квантовой механики замкнутых систем? Не из эксперимента или наблюдений. Но из предположения, различные интерпретации согласовываются с предсказаниями для измерения до превосходных аппроксимаций. Кажется маловероятно автору, что мы можем усесться на одну интерпретацию посредством доказательства и обсуждения. (Существует некоторый эмпирический опыт для такого заключения). Существует так много индивидуально принятых мнений на объективности, чтобы касаться ограничений. Но, кажется, не существует никакой неодолимой нужды поселяться среди интерпретаций, которые являются ограничениями общей квантовой механики замкнутых систем.

Мы можем быть способными различать интерпретации по их полезности и/или перспективы как начальных точек для обобщений или альтернатив к квантовой теории. К примеру, Копенгагеновская квантовая механика неадекватна космологии. В космологии не существует фундаментального разделения замкнутой системы на две части, одна из которых измеряет другую. Измерения и наблюдатели не могут быть фундаментальными в теории, которая в поиске, чтобы описать раннюю вселенную, когда ничего не существовало. В квантовом мире не существует, в общем, переменных, которые ведут классически при всех обстоятельствах. В качестве другого примера, квантовая теория суммы по историям может оказаться продуктивной магистралью для обобщения обычной квантовой теории, чтобы включить динамическую геометрию пространства-времени квантовой гравитации [5].

Много лет назад, будучи педагогом в Принстоне, я обсуждал мое первое усилие в понимании квантовой механики [18] с Евгением Вигнером. В заключение дискуссии я спросил его - могу ли я опубликовать свои результаты. Вигнер разъяснил, что существовало несколько тематик - и интерпретация квантовой механики была одной из них - что можно было бы не узнавать из чтения книг или посещения лекций. Следует только работать в продолжение их над собой. И обычно, если людей охватывает беспокойство сделать это, и достигли заключения, они публиковали статью. "Таким образом", сказал он, "почему не должны вы?" Возможно, существует другая причина, почему существует так много интерпретаций квантовой теории.

Благодарности

Эта работа была поддержана частично Национальным Научным Фондом (NSF), грант PHY00-70895.

[folor]

Возможно, существует другая причина, почему существует так много интерпретаций квантовой теории.

Действительно, форумгеноссе, а почему бы не попробовать рассмотреть квантовую структуру мига на основе соотношения неопределенности Гейзенберга-Фока?
Здесь, уважаемые коллеги, можно с известной долей фантазии, встретить довольно неожиданные выводы об объединении квантовой рандомистичности в темпоральном плане...
Не правда ли, друзья, это звучит удивительно?

[Станислав]

Возможно, существует другая причина, почему существует так много интерпретаций квантовой теории.

единственное, что можно извлечь

[folor]

С большим опозданием, уважаемые коллеги, прочитал брауновский "Утраченный символ". Наверное, это самая масштабная популяризация квантовой нелокальности на страницах современной литературы...