Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[Pipa]

Поясни мне, пожалуйста, что означает "правило жгута" и что ты имеешь в виду под фразой "траектории позволили себе наглую выходку образовать крест. Просто крест это явно и бросается в глаза, а объезд с разной стороны это гораздо незаметнее."

    Это одна из наиболее часто встречающихся ситуаций, когда траектории сходятся, визуально сливаясь в одну ("жгут"). Впрочем, "жгут" - это ваша трактовка, под которой вы подразумеваете скорее "шлейф из параллельных проводов", не подлежащих скручиванию. Отсюда и проистекает ваша уверенность в том, что "провода в шлейфе" продолжают сохраняют свою индивидуальность и порядок следования в жгуте. Поэтому вы и не допускаете мысли о том, что после "расплетания" порядок следования может быть нарушен.
   Приведу пример. Положим, что "жгут" образовался от схождения двух траекторий - красной и синей. Раз они сошлись вместе, то, стало быть, до этого они шли раздельно: красная - СВЕРХУ, а синяя - СНИЗУ. Запомним это! А дальше они шли вместе единым "жгутом" до тех пор, пока не натолкнулись на лагуну. Обойти лагуну можно двумя способами - сверху и снизу (ось Z горизонтальна). И вот тут-то мы и наблюдаем эффект неявного нарушения правила жгута, выражающийся в том, что выбор между двумя вариантами обхода оказывается случайным и независимым от того порядка, в котором происходило сплетание жгута. Т.е. красная линия может обойти лагуну СНИЗУ, в то время как синяя сделает обход СВЕРХУ. Здесь мы имеем неявное перекрещивание траекторий, поскольку "правило жгута" требовало бы, чтобы красная траектория всегда была выше синей. По "правилу жгута" он должны были бы либо выбрать один и тот же вариант обхода, либо красная должна всякий раз обходить СВЕРХУ, с синяя СНИЗУ, поскольку когда-то таков был их исходный порядок расстановки на старте.

Когда в самом начале были расписаны плотности вероятностей и формулы для вычерчивания бомовских траекторий, я не думал, что мы столкнемся с проблемой пересечения траекторий на коврах Талбота (впрочем, и о коврах Талбота тогда еще не было речи). Тем более, что траектории в классической механике не пересекаются, но плотно заполняют фазовое пространство, подчиняясь теореме Лиувилля - плотность фазовых траекторий сохраняется в фазовом объеме при любых его деформациях по мере эволюции во времени (по сути, это дается решением уравнения  непрерывности).

   Лично я не считаю, что перекрещивание траекторий противоречит теореме Лиувилля. Т.е. я полагаю, что непрерывность фазового пространства при этом не нарушается.
    Вот посмотрите на следующий бытовой пример . Положим, что в Волгу впадают два притока ЛЕВЫЙ и ПРАВЫЙ (согласно Википедии, в нее вливается около 200 притоков!), который мы ориентировочно назовем Окой и Камой. Далее Волга очень долго течет на юг, а перед впадением в Каспийское море образует устье, представляющее собой расщепление водяного потока на несколько рукавов.
    Согласно "правилу жгута", постулированного valeriy , в крайнем левом рукаве устья должна быть вода исключительно из того притока, который ПОСЛЕДНИМ влился с ПРАВОЙ стороны. Т.е. предполагается, что расщепление водного потока в устье происходит строго в соответствии с тем порядком, в котором были расположение источники того потока.
   Однако бросим в ЛЕВЫЙ приток мячик и посмотрим, в какой рукав устья он попадет. Может случиться, что мячик окажется в любом рукаве, независимо от того, в левый или правый приток мы его бросили. Влиять на это могут лишь какие-нибудь "ошибки округления" в виде ветра, волн и прочих случайностей на пути.
   Тем не менее, никаких разрывов непрерывности мы в этой ситуации не имеем. Более того, в квантовой механике явления "обезлички" встречаются гораздо чаще, чем в быту. Т.е. две частицы, оказавшиеся в одинаковой ситуации/состоянии становятся в дальнейшем неразличимыми. А если их как-то метить, то получим вероятностную картину, когда от случая к случаю, данную роль играет то первая частица, то вторая.
    Таким образом, процесс расщепления Бомовских траекторий я бы даже узаконила , разрешив "расплетаться" не только тем траекториям, которые ранее образовались слиянием ("жгут"), но и вполне индивидуальным траекториям, имеющим чистокровную родословную от самого старта. Т.е. что-то вроде того, что происходит, когда вода в реке огибает остров. Здесь вода расщепляется, огибая его с обеих сторон. Требование непрерывности потока здесь в полной мере соблюдается.

[valeriy]

Однако бросим в ЛЕВЫЙ приток мячик и посмотрим, в какой рукав устья он попадет. Может случиться, что мячик окажется в любом рукаве, независимо от того, в левый или правый приток мы его бросили. Влиять на это могут лишь какие-нибудь "ошибки округления" в виде ветра, волн и прочих случайностей на пути.

Пипа, мне симпатична твоя наглядная аргументация. Но чтобы выносить жесткий вердикт, нужны более тщательные исследования этого явления, которое нас преследует, пока я употреблю фразу, как жуткий сон.

Я заканчиваю первый этап аналитических выкладок и пришлю на твой е-мэйл формулы, которые желательно было бы запрограммировать на С++. Но, возможно, вышлю или завтра, или послезавтра.

Было бы хорошо, если бы Виталик, со своими Башипизюками, тоже принял бы участие в подобном обсуждении.

[Pipa]

Было бы хорошо, если бы Виталик, со своими Башипизюками, тоже принял бы участие в подобном обсуждении.

   Зачем же вам Виталий? Вам больше Любовь подходит в собеседницы. Она вам быстро укажет на ограниченность ваших "граничных условий" .

   Пришла пора мне закрывать свое "открытие" и признать правоту valeriy по поводу того, что Бомовские траектории пересекаться не могут.
   Доказательство этому весьма простое. Ведь бомовские траектории не обладают инерцией, поскольку направление вектора скорости зависит только от координаты точки, в которой эта скорость вычисляется, но никак не от прошлых мест, где данная траектория успела побывать прежде. Таков, по крайней мере, применяемый метод расчета.
   Отсюда непреложно следует, что если бы вдруг две траектории пересеклись (это лишь предположение от противного), то после точки пересечения уже никогда не смогли бы разойтись, а, стало быть, и не могли образовать перекрестие. Разойтись они не смогли бы потому, что в точке пересечения имели бы одну и ту же координату, а, значит, что и вычисляемые скорости и шаги от этой точки были бы у них далее совершенно одинаковыми.
   Из сказанного следует, что пересечение возможно только тогда, когда мы совершаем настолько большой шаг в направлении вектора скорости (векторная сумма Vx и Vz), что перешагиваем точку встречи. Т.е. одна траектория делает шаг по направлению к другой, а та, в свою очередь, к первой. Только шаг совершается такой широкий, что вместо встречи они оказываются «спиной» друг к другу. Собственно это и есть тот механизм, которой заставляет траектории поменяться ролями. И эта смена ролей выглядит как перекрестие.
   Проблема, в которую мы попали, давно известна. Обычно с ней сталкиваются в поисках корня при итерациях по Ньютону. Там тоже известна производная в точке (аналог нашей скорости), от которой мы делаем шаг в направлении градиента. Однако из-за того, что функция криволинейна, мы каждый раз промахиваемся мимо корня. Однако при ньютоновских итерациях мы после каждого шага проверяем, где находимся (слева или справа от корня) и повторяем итерацию снова в нужную сторону, а при проведении бомовских траекторий мы этого сделать не можем. Поэтому нас преследует дефект хождения по касательным, который не позволяет строго придерживаться хода кривой.
   Для наглядности представим изгиб железнодорожного полотна МНОГОколейки. Представим себе, что мы идем по рельсу с наименьшим радиусом изгиба и делаем шаги по касательной. Если шаг наш достаточно велик, то с каждым шагом мы попадаем не на свой рельс, а на соседний. В результате чего наша траектория будет «раскручиваться», переходя на все большие радиусы, и никогда не вернется на исходный рельс.
   Тоже самое происходит и на моих картинках. Величина шага у меня задана в одну дискрету изображения (пиксель). При близком прохождении траекторий друг от друга, шаг такой ширины позволяет им «поменяться местами». Например, синей поменяться ролями с красной. А такой обмен выглядит, как пересечение. Но все-таки наибольшая погрешность получается на изгибах траектории, поскольку большая величина шага приводит к уменьшению изогнутости (см. пример с многоколейкой на повороте).
   Отсюда напрашивается единственный путь – поэкспериментировать с величиной шага, и посмотреть как его величина влияет на общую картину и эффекты пересечения в частности. Для такой проверки я приготовила версию программы 1.19, которая позволяет управлять величиной шага. Величина шага задается новой константой step, находящейся в блоке параметров INI-файла. По умолчанию step=1 (один пиксель). Напоминаю, что шаги делаются в направлении движения траектории (векторная сумма Vx и Vz), а не по оси Z, как когда-то было раньше. Впрочем, при Vx=0 это может оказаться и так, но в общем случае проекция шага на ось Z оказывается меньше единицы.
   Напомню картинку, полученную прошлой версией 1.18, т.к. она полностью совпадает с тем, что дает новая версия 1.19 по умолчанию (step=1):



После чего уменьшим величину шага до полупикселя (step =0.5):



А затем сразу до 1/10 пикселя (step=0.1):



Результаты, как видим, говорят сами за себя. Вот где таилась та погрешность, которая за пояс заткнет любые ошибки округления!
   Предупреждение: Не увлекаться уменьшением шага step! Уже при step=0.1 время расчета траекторий становится довольно долгим. Кроме того, уменьшение шага способно давать эффект накопления расчетных ошибок, поскольку траектория разбивается на слишком большое число шагов.

[valeriy]

Результаты, как видим, говорят сами за себя. Вот где таилась та погрешность, которая за пояс заткнет любые ошибки округления!

Хорошая работа, Пипа, модолец. На самом деле, казалось бы "с какого бодуна" траекториям пересекаться. Но надо иметь в виду, что мы столкнулись с ситуацией, когда дифференцируемость функций может становиться под сомнение. В данном случае мы еще не достигли этого предела. Но в пределе λ/d --> 0, т.е. ковер Талбота становится математическим фракталом, функции на этом множестве становятся не дифференцируемые. Ну а физически, с подобными заморочками можно столкнуться значительно раньше. Принцип неопределенности Гейзенберга не позволяет точно пределить координату и импульс частицы.
А это значит, что на определенном этапе с этим придется считаться. На языке математики, в узлах волновой функции заметный вклад начинают давать высокочастотные осцилляции (Фурье-образом δ-функции Дирака является константа, простирающаяся от нуля частот до бесконечности). Это, так называемая "квантовая катастрофа", на которую указывал Берри. Слово "катастрофа" указывает на то, что здесь не все в порядке с нашим пониманием действительности. Скорее всего на определенном этапе (λ/d = ?) придется признать, что траектории Бома перстают быть такими траекториями. И возникающее явление их пересечения представляет эффект туннелирования. На данном этапе, возможно, придется прибегать к технике Фейнмановских интегралам по траекториям.
В этой технике принимается, что всевозможные пути от источника к детектору допускаются, но почти все пути дают нулевую взаимную интерференцию.
И только единственный путь остается, который ни с чем не интерферирует. Эта работа немного сложнее. Ну что ж, будем идти до конца.

Мои аналитические оценки так же ни к чему хорошему не приводят (пока). Плотность распределения ясно показывает существование эффекта Талбота. Но вот попытка получить траектории Бома, пока натыкаются на трудности.

 

[Любовь]

Зачем же вам Виталий? Вам больше Любовь подходит в собеседницы. Она вам быстро укажет на ограниченность ваших "граничных условий" .

Пипочка, Вы просто valeriy`я малость перенапрягли-перегрели, вот ему подсознательно бла-бла-бла для ради раслабиться и  захотелось
 касаемо же "граничных условий" - так Вы про них уместно вспомнили в виде итераций по Ньютону
всегда работают не только параметры кочки - потенциалы, силы, скорости, но и картинка местности, т.е. всегда надо помнить и де я... нахожусь

[Vitaliy]

Зачем же вам Виталий? Вам больше Любовь подходит в собеседницы. Она вам быстро укажет на ограниченность ваших "граничных условий" .

Пипочка, Вы просто valeriy`я малость перенапрягли-перегрели, вот ему подсознательно бла-бла-бла для ради раслабиться и  захотелось

Откровенно скажу, я давно не смотрел эту тему. Два грамотных специалиста обсуждают детали алгоритма и тонкости программирования. Бог в помощь! - как бы сказали на том форуме, откуда я только что вынырнул. И вот случайно обратил внимание по индексу на появление любочкиного поста. - Интересно... подумалось мне - с чего бы это там Любочка мелькнула... она хоть и вездесущая... но все-таки.

Просмотрел-таки обмен постингами Валеры с нашей Квантовой Инструменталисткой, неизменно у меня вызывающей симпатию своей логикой, сообразительностью и квалификацией... А потом перевел взгляд на постинг Любочки... И глубоко задумался. Не исключаю, что она права.

Мне и раньше в этой теме нехватало этого пресловутого blah-blah... Помнится, даже я что-то пытался тут вякнуть, но был одернут - вместе с другими обсуждателями и выметен каленой метлой - дабы не мешать там, где идет высокий пир-духа (в математическом смысле, естественно... ). Действительно, граждане имеют четкие целевые, идеологические установки и кропают уже математическую вязь, которая призвана дать... призвана дать... призвана...

А вот что призвана? Сие простым смертным недоступно. Вопросы у меня самого общего характера: какова цель исследования? Почему фрактальность, ковер Талбота тут имеют значение? Какое именно - содержательно?... Почему эксперимент на многих щелях концептуально важен? Ведь не только же потому, что его до сих пор никто не обсчитывал? Теперь понятно почему: расчеты и визуализация оказались очень сложными...

А я со своими непонятками застрял на уровне, как справедливо Валера подметил, башипизюков... Теорема Белла пока нетронута. На форуме АнгелаХранителя меня было прижали квантовой телепортацией - дескать, вот пример ЭЯ, которые я разыскиваю. Пришлось лезть в публикации. И, если я не ошибся, действительно, оказалось - жулье... Они не материальные объекты телепортируют, а квантовые состояния, кубиты... Причем - какая к лешему нелокальность! - передача идет вообще по классическому каналу, ничего сверхсветового. Вот, вроде как еще один мыльный пузырь лопнул...

Так что ваша компания: Валера-Пипа мне очень импонирует, я вам сочувствую и желаю всяческих успехов... Вот еще парой ЦУ вам может Любочка поможет... по доброте своей и извечной снисходительности... А у меня отрывать вас от рабочего процесса и просить объяснить азы и смысл происходящего совести не хватает. Как пришлось обмолвиться, прощаясь на том форуме - у материалистов тоже есть мораль и этика, причем зачастую даже более высокая, чем у верующих...

[Любовь]

Как пришлось обмолвиться, прощаясь на том форуме - у материалистов тоже есть мораль и этика, причем зачастую даже более высокая, чем у верующих...

мораль и этика у материалистов не более высокая, но более консервативная и примитивная, потому как дальше 3-х мерья не вылазит своей бивалентной логикой

и снисходительно добавлю касаемо ковров Талбота...
 лучше потратить время на... то, чтобы осознать - проекцией чего на 3-х мерье они являются...
ну и не забывать, что принцип кочки и болота - потенциалов и граничных условий, оч похоже, работает в пространствах любых мерностей... раз он не утрачивает свою силу в такой примитивной проекции как 3-х мерье...

[valeriy]

Результаты, как видим, говорят сами за себя. Вот где таилась та погрешность, которая за пояс заткнет любые ошибки округления!

Посмотрел твою новую версию 1.19 - дает хорошие результаты. Но, как показал предыдущий опыт с пересекающимися траекториями, этот эффект будет возникать, как только фрактальность ковра Талбота будет усилена далее, т.е., с каждым последующем увеличением отношения d к λ. Теперь, когда понятна природа происхождения этого эффекта, можно подумать о том, а всегда ли дифференцируемость является уместной. Или существуют ситуации, когда ее нарушение является неизбежным. Функции, задаваемые на фрактальных множествах, с неизбежностью являются не дифференцируемыми.

[Pipa]

А вот что призвана? Сие простым смертным недоступно. Вопросы у меня самого общего характера: какова цель исследования? Почему фрактальность, ковер Талбота тут имеют значение? Какое именно - содержательно?... Почему эксперимент на многих щелях концептуально важен?

   Каждый определяет для себя степень важности того, чем он занимается. Мне, по крайней мере, "вычислительная практика" помогла понять суть явления, на котором спекулирует Заречный, а вместе с ним и эзотерики от физики.
   Напомню, что речь идет о парадоксе, когда в экперименте с двумя щелями ожидается одно:



А в реальности получается другое:



Обе эти картинки взяты мной из книги Михаила Заречного "Квантово-мистическая картина мира структура реальности и путь человека". Как мы видим, как это несоответствие между ожиданиями и реальностью породило в мозгу Заречного мистические выводы. Впрочем, здесь лучше бы подошла другая формулировка: мистический характер мышления Заречного явился причиной ошибочного истолкования как результатов физических экспериментов, так и математических выводов из основных уравнений квантовой механики.
   Однако было бы несправедливо катить бочку на одного Заречного, поскольку эти заблуждения присущи не только ему, но и подавляющему числу людей. Заречный лишь использовал этот парадокс в качестве подпорки под мистику, а остальные люди в целом демонстрируют в основном непонимание данной ситуации, которую объясняют себе некой особенностью квантово-механических законов, сфера действия которых якобы находится в другой стране чудес, где все невероятное возможно.
   Сейчас я постараюсь в предельно популярной форме изложить свою интерпретацию этого парадокса, тем более, что раньше я про это не высказывалась. Причем четко сформулировать свою версию происходящего мне помогла именно совместная работа с valeriy над программой-эмулятором многощелевого эксперимента. Я далеко не уверена, что с моей интерпретацией согласятся физики, однако полагаю, что пришло время мне свое мнение обнародовать.
   Самым существенным (на мой взгляд) отличием между квантово-механической интерпретацией подобных вопросов и классическими представлениями является, как ни странно, то различие, что квантовые физики работают с пси-функциями, а классические физики (и не только они) - с вероятностями. Вероятность связана со пси-функцией простым соотношением квадратичности:
Ψ² = P
где Ψ – пси-функция, а P – вероятность. Сейчас я для упрощения сути опускаю случай, когда пси-функция комплексная, чтобы не акцентировать внимания на процедуре нахождения модуля этой функции посредством умножение на свое самосопряженное. В действительном случае это простое возведение в квадрат, знакомое каждому школьнику с начальных классов. Впрочем, все, сказанное мной в дальнейшем, без проблем перекладывается и на комплексную арифметику, однако насущной потребности в этом нет, поскольку суть остается той же самой.
   Сама же суть дела состоит в том, что далеко не все равно, чем пользоваться – значением величины или ее квадратом. И проблема возникает в тот момент, когда мы начинаем суммирование таких величин. Например, имеющих происхождение от разных щелей. При этом наблюдается принципиальное расхождение по поводу того, что складывать – сами функции или их квадраты. Согласно квантовой механике складывать можно только сами функции, а в квадрат (если требуется получить вероятность P) возводить лишь результирующую сумму. Тогда как теория вероятностей учит нас противоположному, а именно тому, что допустимо складывать вероятности.
   Именно последним обстоятельством и были продиктованы ожидания, изображенные на первом рисунке. И в полном согласии с теорией вероятностей, от сложения двух одиночных горбов должен получиться двугорбый профиль. Однако же в реальности он не получается. В чем же дело?
   А дело тут в том, что квадрат суммы не равен сумме квадратов! В самом примитивном виде это можно продемонстрировать на алгебраическом примере:
(a+b)² = a² + 2ab + b²,
Который показывает, что первая сумма отличается от второй на величину 2ab. А это означает, что где-то эта разность теряется.
   Рассмотрение ситуации приводит к выводу, что природа вещей такова, что в этом вопросе правы квантовые физики, а теория вероятностей «ошибается». Т.е. мы приходим к очень важной формулировке о том, что в строгом смысле вероятности складывать нельзя!
   В этой связи обратим внимание на то очень важное обстоятельство, что квадраты функции всегда не только действительны (т.е. не содержат мнимых членов), но неотрицательны, в то время как перекрестная сумма 2ab знакопеременна (т.е. в зависимости от конкретных объектов суммирования может принимать как положительные, так и отрицательные значения).
   И вот этим вкладом знакопеременного вклада обусловлен результат реального эксперимента, изображенный на втором рисунке. Здесь, вместо чисто двугорбого профиля, получается волнистый профиль, на максимумах которого это вклад положителен, а на минимумах отрицателен. Не будь его, то осталась бы сумма квадратов, и результат не отличался бы от предсказанного теорий вероятностей.
   Так почему же теория вероятностей в этом вопросе попадает впросак? А дело тут в том, что явлениям в макромире обычно соответствует сложение не пары значений, а огромного их множества. Из-за этого сумма их квадратов достигает огромной величины, в то время как знакопеременные суммы не проявляют подобной тенденции к росту, поскольку никак не могут «договориться» между собой по поводу одинакового знака. Поэтому в общей сумме они по большей мере друг с дружкой сокращаются. И даже если что-то после этого сокращения остается, то его вклад в общую сумму просто тонет на фоне планомерного роста квадратов. Т.е. имеем:
(ΣΨ_i)² = Σ(Ψ_i)²) + 2Σ(Ψ_i* Ψ_j)
или
P_общ = ΣP_i + 2Σ(знакопеременных слагаемых)
При увеличении числа слагаемых сумма вероятностей ΣP_i неудержимо растет, а вклад 2Σ(знакопеременных слагаемых) на ее фоне теряется, вплоть до того, что вкладом этой суммы в общем зачете можно пренебречь. От пренебрежения этой сумой мы и получаем вывод теории вероятностей о допустимости сложения отдельных вероятностей. А квантовая механика пренебрегать этой величиной не имеет права, так в ее области исследований такие вклады могут бы не только велики, но и определять собой суть физического явления. Например, такого, как ковер Талбота.
   Впрочем, теория вероятности достаточно честно оговаривает условия, когда вероятности допустимо складывать между собой. Это условие – независимости налагающихся друг на друга событий. А независимые события трактуются ей как те, у которых взаимная корреляция равна нулю. Так вот что знаменательно – взаимная корреляция это и есть, по сути, наша знакопеременная сумма! Ясно, что если приложить требование стремления к нулю ковариационной суммы при увеличении числа испытаний, то в пределе мы как раз получим основание для пренебрежения ею, а следовательно и получим разрешение на сложение вероятностей.
   Еще один смежный с этим вопрос: отчего здесь так часто поминают про квантовую запутанность и запутанность вообще? А думаю я, что потому, что с точки зрения теории вероятностей запутанность тождественна существованию отличной от нуля корреляционно связи. Или другими словами тех случаев, когда наша знакопеременная сумма с увеличением числа испытаний стремится не к нулю, а к какому-то достаточно весомому пределу. И именно ее вкладом обусловлены почти все парадоксы, которые при этом муссируются.
   И, наконец, я не откажу себе в удовольствии пошутить, проведя аналогию нашего случая с ... теоремой Пифагора! Вспомним – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. в треугольнике ABC:
C² = A² + B²
На что это похоже? А похоже это на то, как складывают вероятности по классическим канонам (пренебрегая величиной 2AB). А что же получится у нас, если мы, в соответствии в канонами квантовой механики, не станем пренебрегать этой величиной? Тогда получим вот что:
C² = A² + 2AB + B² = (A + B)²
А учитывая, что A, B, C положительны, то можно и снять квадраты с обеих сторон:
C = A + B
мы получили очень примечательный результат, который словесно формулируется как «гипотенуза равна сумме катетов» . Как не смешно, но именно так оно и есть, если рассматривать эту сумму как ... сложение векторов!
   Вот тут-то мы и набрели на самое вкусное . Квантовая механика складывает вектора! По правилу параллелепипеда . Так вот и решите несложную задачку, про то, как вычислить длину (т.е. модуль) известной суммы векторов. Или, что тоже самое в геометрической формулировке, – вычислить длину более длинной диагонали параллелепипеда (C) по известным длинам двух сторон (A и B) и углу между ними (α). А я, чтобы не ждать вашего решения, приведу ответ сама. Эта длина вычисляется из выражения:
C² = A² + B² + 2AB*cos(α)
Чуете, какая красотища?!
   При α=90° получаем cos(α)=0, что аннулирует знакопеременный член 2AB. Это, в соответствии с теорией вероятностей, разрешает нам складывать вероятности вместо пси-функций. Т.е. в этом случае результат получается один и тот же, независимо от того, сначала мы складываем, а потом возводим в квадрат сумму, или сначала возводим в квадрат, а затем складываем квадраты.      
   При α=0° получаем cos(α)=1, что запрещает нам пренебрегать знакопеременным член 2AB. Этот случай соответствует практике квантовой механики, когда сложение обязано предшествовать возведению в квадрат.
   А в подавляющем числе практических случаев угол α колеблется в самых широких пределах, определяя ту меру, в которой явление подчиняется классическим, а в какой мере квантово-механическим законам.

[Любовь]

И, наконец, я не откажу себе в удовольствии пошутить, проведя аналогию нашего случая с ... теоремой Пифагора! Вспомним – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. в треугольнике ABC:
C2 = A2 + B2
На что это похоже? А похоже это на то, складывают вероятности по классическим канонам (пренебрегая величиной 2AB). А что же получится у нас, если в соответствии в канонами квантовой механики мы не станем пренебрегать этой величиной? Тогда получим вот что:
C2 = A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
А учитывая, что A, B, C положительны, то можно и снять квадраты с обеих сторон:
C = A + B
мы получили очень примечательный результат, который словесно формулируется как «гипотенуза равна сумме катетов» . Как не смешно, но именно так оно и есть, если рассматривать эту сумму как ... сложение векторов!

ну просто шедевр
надеюсь, старшие товарищи Вас поправят...
жаль, что математику Вы знаете даже не на уровне программы школы...

[valeriy]

Кстати, у Пипы постинг очень толковый. В принципе, почему бы даже в классической теории вероятностей не начинать с амплитудных функций. Вероятность определяется как квадрат амплитуды. Если начинать с амплитуды, то сразу возникает вопрос о фазовом множителе. В классической теории вероятностей этот множитель по просту равен единице. Физическая интерпретация такого множителя сводится к тому, что любые фазовые сдвиги в сумме дают средний нуль и поэтому exp{i0}=1. Скажут, а на фига это дополнительное усложнение нужно, если его можно безболезненно выкинуть и работать сразу с вероятностями. Это, конечно, так. Но такая "бесполезная добавка" перекидывает мостик от классической теории вероятностей к квантовой механике. Возникает вопрос, а при каких условиях эта "бесполезная добавка" может дать о себе знать? В том случае, если амплитуда появления тех или иных событий будут синхронизоваться по ансамблям. Что это значит? Представте себе группу людей (пусть, например, это будут Виталикины Башипизюки), которые могут или бегать за мячом по футбольному полю, или сидеть на скамейке запасных. Каждый Башипизюк в каждый момент времени находится на поле в точке (х,у). Если это не сыгранная команда и каждый бегает по полю, как ему взбрындет, то эта группа ведет себя подобно атомам в емкости, находящейся при некоторой температуре Т. В данном случае работает приближение классической теории вероятностей. И здесь можно определить вероятность нахождения Башипизюка в точке (х,у). Но если это - сыгранная команда, то их передвижение по полю будет подчинено некоторой логике, заложенной в них тренером. Теперь можно ввести некоторую функцию, которая определяла бы эту логику. Это и есть фазовый множитель. И умножать его надо не на вероятность, но на корень от вероятности, т.е., на амплитуду вероятности. Смысл такого фазового множителя заключается в том, что игроки бегают по полю, как сыгранная команда - дружно организовывают защиту, когда противоположная команда угрожает их воротам, и дружно организовывают нападение, когда мяч оказывается в их владении. Вот это слово "дружно" и выражается в наличии фазовых множителей, отличных от нуля.

[Bit]

Но если это - сыгранная команда, то их передвижение по полю будет подчинено некоторой логике, заложенной в них тренером. Теперь можно ввести некоторую функцию, которая определяла бы эту логику. Это и есть фазовый множитель. И умножать его надо не на вероятность, но на корень от вероятности, т.е., на амплитуду вероятности.

А можно поподробнее? Тема-то интересная. Как этот фазовый мнпжитель определяется? Обязательно ли рассматривать двумерные точки, или можно обойтись одномерными? Может вообще 01 ряд использовать? Я не представляю, как Башипизюков через двухщелевой экран пропустить? А если щелей 128 - мясорубка получается. Башипизюков конечно жалко, но судьба у них такая.

Другими словами, как практически построить интерференционную картину из Башипизюков?

[Vitaliy]

Кстати, у Пипы постинг очень толковый.

Это уж как водится... видно, что она его писала под настроение. Как всегда, читать приятно. Даже Любочка получила истинное удовольствие: ты представляешь, появился шанс ущучить не кого-нибудь, а Квантовую Инструменталистку в том, что она вместо С² в порядке скорописи написала: С2. Ага! Наверняка не знала! Чем дала возможность и Любочке поучаствовать в серьезном обсуждении... вставить свои пять копеек...

В принципе, почему бы даже в классической теории вероятностей не начинать с амплитудных функций. Вероятность определяется как квадрат амплитуды. Если начинать с амплитуды, то сразу возникает вопрос о фазовом множителе. В классической теории вероятностей этот множитель по просту равен единице.

Ребятки... вы опять сбиваетесь на обсуждение чисто математического формализма. А мостик между КМ и вероятностной интерпретацией у Пипы вообще получился как фокус на арене цирка: - Берем... раз-два - вуаля! Из одного получаем другое. Ну так на то она еще и Главная Магиня. с ней все понятно.

Но у меня попрежнему вот какое сомненьице... Предположим, мы изучаем некое физическое явление. Со всех сторон... Подбираем математическую модель. Причем, делаем это не с потолка, а на основании определенных соображений. Если мы это проделали достаточно адекватно сути явления, то расчетные данные должны с предусмотренной точностью совпадать с экспериментальными. А что у нас получается? КМ дает один результат, а классика - другой, хуже совпадающий с практикой. Отсюда вывод - значит мы что-то там неправильно учли. Не должно быть две модели!

И попрежнему физика происходящих процессов остается вроде как в тумане... Возьмем одиночные частицы в двухщелевом эксперименте... Мы же так вроде собираемся понимать? Они не превращаются в поле, а летят себе шариками туда - сюда... Так? Вот только их бомовская пилот-функция раскачивает? Да каким-то таким хитрым образом, что при большом числе частиц на мишени вырисовывается ИК... Как это? В чем тут физический смысл? В чем физический смысл волновой функции? Если это не распределение вероятности... Сказать, что так решаются уравнения, такой результат дает компьютерное моделирование, - недостаточно. Откуда свалились формулы КМ? Они Бору во сне приснились?

И еще осталось неясным такой твой интерес к многощелевому эксперименту. Это просто потому что никто раньше его не обсчитывал? Или он позволяет глубже вникнуть в физику, ущучить интерпретацию явлений. Хемминг, кажется сказал, что главная цель расчетов - не числа, а понимание...

[Bit]

Откуда свалились формулы КМ? Они Бору во сне приснились?

Известное дело, инопланетяне подсказали.

А мостик между КМ и вероятностной интерпретацией у Пипы вообще получился как фокус на арене цирка: - Берем... раз-два - вуаля! Из одного получаем другое.

Вот я и предлагаю проверить. Взять ряд случайных чисел, и расчитать их амплитуду вероятности по формулам КМ. Если ИК есть, значит есть и корреляции между ними, а числа не случайные. Или такой способ проверки ряда чисел на случайность уже есть?

[Любовь]

Даже Любочка получила истинное удовольствие: ты представляешь, появился шанс ущучить не кого-нибудь, а Квантовую Инструменталистку в том, что она вместо С2 в порядке скорописи написала: С2. Ага! Наверняка не знала! Чем дала возможность и Любочке поучаствовать в серьезном обсуждении... вставить свои пять копеек...

дорогуша, отчего-то для скалярных и векторных величин в математике разные правила...
от чего - не знаете? или просто уже не помните - бо склероз попутал?

а вот ежели в этот ряд :
 скаляр-вектор-фрактал
 - ну просто путешествие по мерностям

и ежели Пипочка хотела это представить как качественные скачки по типу рекогеренции, то циркового трюкачества здесь вовсе не требуется, но необходимо осознания физического процесса...

А мостик между КМ и вероятностной интерпретацией у Пипы вообще получился как фокус на арене цирка: - Берем... раз-два - вуаля! Из одного получаем другое. Ну так на то она еще и Главная Магиня. с ней все понятно.

угу, Вам же не понимание физических процессов нужно, а  фокусы в цирке - ведь только так Вы магические способности и воспринимаете, иначе материалисты и не способны воспринимать, бо для них трехмерье - каземат, за пределы которыго они выйти не способны...
или таки свербит гдесь:

Хемминг, кажется сказал, что главная цель расчетов - не числа, а понимание...

Не должно быть две модели!

ну а здесь Виталюсик - умничка

только остается вспомнить, что кроме самих моделей есть еще их разные приближения, ну т.е. ракурсы обзора... пусть и ментального...