Система СИДа как эгрегор. :)

[С.И. Доронин]

Например, можно рассмотреть случай когда две системы x = |a1>|a2> и y = |b1>|b2> при взаимодействии обмениваются своими частями и потом расходятся в виде m = |a1>|b2> и n = |b1>|a2>. Но пусть мы ничего не знаем о составляющих подсистемах и считаем, что две системы x и y провзаимодействовали, запутались и разошлись. Далее, если мы будем рассматривать только систему m в отдельности, то, очевидно, мы "потеряем" часть |a2> исходной системы x. А при рассмотрении неполной системы, как известно, приходится прибегать к матрице плотности - точно так, как описано у Менского в случае с резервуаром.

Здесь ошибка, состояний в виде m = |a1>|b2> и n = |b1>|a2> мы никогда не получим. После взаимодействия состояния подсистем могут быть только смешанными, для них нельзя записать векторы состояния. Как Вы правильно пишите далее, здесь необходимо использовать матрицы плотности. Необходимо сначала записать МП объединенной системы, а затем делать частичную редукцию по одной из подсистем, получая редуцированные МП. Все происходит несколько сложнее, и такие представления об «обмене своими частями» только обманывают и уводят в сторону от правильного понимания происходящего .

[migus]

Pipa  Отправлено: 20 Мая 2008, 11:42:14 

   Идея представления запутанности, как "частичного обмена состояниями" очень интересна, и мне понравилась. Из такой картины становится понятным, что "дальнодействие" между запутанными объектами происходит не из-за счет сверхскоростного (мгновенного) обмена информацией, а только за счет того, что запутанные между собой объекты, можно сказать, несут "частичку" друг друг друга. При этом эффект корреляции возникает не посредством дальнодействия, а за счет "кусочка чужой сущности", захваченного ранее в процессе запутывания.

... хотелось бы понять: какую "частичку" несут запутанные между собой объекты - материальную или...
... и понятие "кусочек чужой сущности" ... может Пипа стоит на пороге открытия новой материальной элементарной частицы -  подобие " теплорода" ?   

[Pipa]

... хотелось бы понять: какую "частичку" несут запутанные между собой объекты - материальную или...
... и понятие "кусочек чужой сущности" ... может Пипа стоит на пороге открытия новой материальной элементарной частицы -  подобие " теплорода" ?

   Можно сказать, что это - "отпечаток" состояния одного объекта на другом. Например, имеем два объекта - лист бумаги и печать. В процессе своего взаимодействия печать оставила на листе бумаги свой оттиск. В этом акте произошел обмен, в ходе которого оба объекта чуть-чуть изменили свои состояния: печать потеряла толику чернил, а с листа на печать могли налипнуть кусочки целлюлозы.
   Теперь мы разносим оба эти объекта на расстояние 1000 световых лет и начинаем читать на листочке пропечатавшийся на нем текст. Листок будет буквально воспроизводить текст, вырезанный на печати, а мистики будут галдеть по поводу того, как листу бумаги удается общаться с печатью со сверхсветовой скоростью.
   В рассуждениях совершают ту ошибку, что полагают, что информация передается с объекта на объект в настоящем, когда как она вполне могла быть передана в прошлом в момент запутывания. При этом сразу отпадает необходимость прибегать к трактовкам типа телепортации или сверхсветовой скорости.

[AlexDem]

а бывает взаимодействие и по другим правилам, которые
описаны математическими действиями, ни чего общего с подселением не имеющим

По-моему, это здесь не так важно - пример в таком виде был приведён лишь для наглядности. Важно лишь то, что состояние одной системы записывается в состоянии другой. Или можно сказать - происходит обмен информацией, которая, естественно, обязана иметь материальный носитель. поэтому встаёт вопрос о том - что считать системой. Возможно, я попозже смогу развернуть эту мысль.

В рассуждениях совершают ту ошибку, что полагают, что информация передается с объекта на объект в настоящем, когда как она вполне могла быть передана в прошлом в момент запутывания.

Что-то это скрытые параметры очень сильно напоминает. Скорее всего, так просто всё не получится - надо посмотреть. Это был экспромт .

[Любовь]

AlexDem
мой пост был продолжением реакции в мистических терминах на Пипин респек Вам...

любая информация ессно должна иметь носитель материальный...
со временем в понятие "материальный" придется включить и тонкую материю..., потому как она тоже носитель информации, просто человечьи датчики на среднестатистическом уровне ее пока не фиксируют...

к тому же информацию можно перезаписать на другой носитель...
 познавая, мы постоянного перезаписываем принятую информацию...
и только при копировании, зубрежке она перезаписывается один к одному ...
я уже писала на форуме, что есть два пути познания, копирование - простейший, перезапись с осознанием - сложный, но зато, более надежный...
 потому как перезапись идет по субъективным правилам и расширяет субъективное, а следовательно и объективное...
копирование расширяет субъктивное, но не расширяет объективное, а значит для объективного не рационально... т.е. для системы это не есть эволюция, но - ступор...

[Quangel]

   Теперь мы разносим оба эти объекта на расстояние 1000 световых лет и начинаем читать на листочке пропечатавшийся на нем текст. Листок будет буквально воспроизводить текст, вырезанный на печати, а мистики будут галдеть по поводу того, как листу бумаги удается общаться с печатью со сверхсветовой скоростью.

Пип,листочек не только читают,но и изменяют его состояние. Складывают пополам например. А печать изменяется синхронно именно в реальном времени.   

[migus]

Pipa

Теперь мы разносим оба эти объекта на расстояние 1000 световых лет 

   Данный пример не корректен, ибо текст оставленный печатью на бумаге и сама бумага составляют одну систему ещё до разнесения...   
   Так тексты на исторических документах не воспринимаются нами как "прямое" общение с людьми , их написавшими ещё сотни лет назад, хотя пример аналогичный.     
   Вопрос в том, что меняется в изначально запутанных, а затем разведённых на расстояние системах, если материальная часть, их составляющая при этом остаётся неизменной ?   

[AlexDem]

Пожалуй, стоит немного уточнить понятия .

В приведенной цитате Менского я вижу логическую ошибку. Сначала он утверждает, что система находится в смешанном состоянии, а потом задается вопросом, является ли она замкнутой. Второе утверждение логически противоречит первому. Если система находится в смешанном состоянии, то она уже никак не может быть замкнутой, она всегда открыта.

Возможно, мне стоило привести цитату пошире. Вот что он подразумевает:

Иногда различают два типа смешанных состояний, имеющих одинаковые матрицы плотности: 1) собственные смешанные состояния замкнутой системы, которые возникают, если неизвестно точно, в каком из чистых состояний эта система находится, и 2) несобственные смешанные состояния, возникающие, как в нашем случае, при редуцировании, т.е. при переходе от замкнутой системы к её подсистеме. <...> Однако это различие имеет смысл лишь в том случае, если имеется возможность экспериментально контролировать не только саму систему, но и её окружение (или, в случае замкнутой системы, имеется возможность опытным путём удостовериться, что она замкнута).

Насколько я понимаю, Менский называет смешанным любое состояние, которое не выразимо вектором. Не выразимо здесь оно может быть по двум причинам - объективной (таково реальное состояние) и субъективной (мы знаем о системе не всё). То есть, если нам известна матрица плотности системы, то мы всё равно не можем сказать точно - находится ли эта система в чистом состоянии (но вектор этого состояния нам неизвестен) или в запутанном с окружением. Таким образом, система может находиться в чистом состоянии и быть замкнутой, даже если нам известна только её матрица плотности.

Получается, что несмотря на то, что как Вы сказали «то или иное состояние это характеристика самой системы», тем не менее, наше знание об этом состоянии может быть неполным, и тогда для описания мы вынуждены использовать матрицу плотности. То есть состояние системы, в отличие от измеряемой, существует объективно, независимо от нашего знания о нём. Я верно понимаю этот момент, или всё-таки нет?

Для определённости предлагаю использовать спиновую степень свободы атома водорода из опыта Штерна-Герлаха (см. например, Боум «Квантовая механика. Основы и приложения», глава XIII, книгу вроде можно взять с www.poiskknig.ru). Например, пусть система представляет собой смесь двух атомов водорода со спином электрона вверх или вниз. Тогда, взяв случайный атом из смеси, мы точно знаем, что он обладает каким-то вектором состояния по спиновой степени свободы (спин-вверх или спин-вниз), но не знаем - каким именно. И поэтому для описания этого атома мы должны использовать матрицу плотности, хотя реально он находится в чистом состоянии по этой степени свободы:
a = |0><0| + |1><1| = 1/2 ([1 0; 0 0] + [0 0; 0 1]) = 1/2 [1 0; 0 1]

Матрица плотности системы как тензорное произведение:
a * a = 1/4 [1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]

Если же мы знаем вектор состояния каждого из атомов, то мы можем записать их векторы, например:
a1 = [0 1] и a2 = [1 0]

А вектор состояния системы будет:
a1 * a2 = [0 0 1 0]


Пока всё верно? (Кстати, здесь у меня большой вопрос – как составляются векторы и матрицы состояний примерно понятно, но где почитать – как получить матрицу оператора измеряемой? Или матрицу оператора, отвечающего взаимодействию двух систем – как это делается???. Каковы правила работы с этими матрицами при объединении подсистем – тоже хотелось бы понять, что-то на глаза ничего не попадалось. Или вот ещё вопрос – матрица плотности чистого состояния имеет одно собственное значение = 1, но ведь чистое состояние может быть суперпозицией двух макроскопически-различимых состояний, например a = 1/sqrt(2) (|00> + |11>), и если мы просто возьмём её след, то должны получить при измерении единственное значение, а получаем два равновероятных: |00> или |11>. Или здесь след должен браться после применения оператора, соответствующего измерению, который сперва преобразует матрицу чистого состояния в матрицу смеси?). Боюсь без ответов на эти вопросы рассуждать можно только «на пальцах» .


Таким образом, несмотря на то, что система находится в чистом состоянии, наше недостаточное знание о ней может вынудить нас использовать для её описания матрицу плотности. Так?

Мой пример был направлен на то, чтобы высказать предположение, что матрица плотности всегда выражает неполное знание. То есть - обозначенная тогда система m описывается каким-то вектором состояния, но мы его не знаем. Этот пример был направлен на то, чтобы разобраться с понятием системы. А именно - насколько правомерно связывать систему с координатами некоторой области обычного 3D пространства. Приведу макроскопический пример, вскрывающий, на мой взгляд, существо вопроса.

Возьмём 2 листа бумаги разного размера, нарисуем на них две совершенно одинаковые окружности в центре и вырежем кружки по этим окружностям. Запишем, что же такое мы сделали: пусть a1, b1 - состояния исходных листков, a2, b2 - те же листки с дырками, S - преобразование "вырезать круг", а c - состояние кружка (они одинаковы для обоих кружков в силу их равенства). Тогда наше преобразование для первого и второго листка запишется в виде (может, в бра-кетах по-другому принято записывать, но вроде понятно):
|a2>|c> = S|a1>
|b2>|c> = S|b1>
Допустим, нас интересует только кружок, а остальные части листов мы выбрасываем в мусор. Тогда преобразование S не может быть линейным, поскольку преобразовало разные листки в равные кружки. То есть это преобразование не описывается средствами КМ в принципе. Таким образом, простым неосторожным выбором результирующей системы мы можем выйти за пределы действия её формализма (хм, а верно ли мы выбрали систему m тогда? ).

Нет, забывать про оставшиеся части нельзя, говорим мы себе, и рассматриваем ситуацию в комплексе - кружки вместе с остатками листков. Но что такое |a2>|c>? Это как раз исходная система |a1> с применённым оператором вырезания: S|a1>. И если мы приспособим к первому кружку остаток второго листа, то мы получим другую систему, а система S|a1> никуда не денется - просто она теперь будет расположена в пространстве не локальным образом: кружок войдёт в состав одной системы, а остаток листа - другой. И её состояние по-прежнему остаётся чистым.

Понятно, что этот пример не описывает все случаи (хотя не всё же, по-моему, не является интерпретацией скрытых параметров, если верно то, что вектор состояния существует объективно). Не описывает всех случаев потому, что, по крайней мере, существуют несепарабельные состояния – векторы которых не могут быть представлены тензорным произведением других векторов даже формально.

На этот счёт есть только недостаточно обоснованные соображения. Есть такая штука, как неотделимые топологические пространства. Одно из которых я рассматривал здесь:

А по поводу бесконечной вложенности - недавно мы вот тут одну "метрику" рассматривали 1/|y - x|, так там без всяких фокусов - чем меньше расстояние между точками, тем больший объем занимает область пространства. Вселенная в точке получается - чем точнее Вы рассматриваете предмет, тем более расплывчатым он Вам кажется. В такой "метрике" стороны треугольника будут не сходиться в точку, а расходиться - вернее, сойдутся в бесконечной точке, а она и есть - Вселенная (если я правильно понимаю). Всё наоборот

Предыстория - здесь:

Приведенные выше аксиомы метрического пространства кажутся нам вполне естественными. Во всяком случае, трудно предположить, что объект, наделенный таким расстоянием, может обладать странными свойствами. Когда герой романа Я. Гашека бравый солдат Швейк попал в сумасшедший дом, он встретился там с профессором, доказывавшим, что внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного. Профессора поделом упрятали в понравившееся Швейку учреждение. Трехмерное пространство, в котором мы живем, является одновременно и метрическим, и линейным. В нем подобное расположение шаров невозможно. Если же отказаться от линейности, то совсем просто построить пример метрического пространства, в котором шар большего радиуса вполне может лежать строго внутри шара меньшего радиуса. Выигрывая в общности, мы теряем в геометрической наглядности.

То, что не всё так гладко на самом деле (по моему непрофессиональному мнению) – здесь.

Вот .

[С.И. Доронин]

AlexDem

Насколько я понимаю, Менский называет смешанным любое состояние, которое не выразимо вектором.

Не только Менский , это общепринятое определение.

То есть, если нам известна матрица плотности системы, то мы всё равно не можем сказать точно - находится ли эта система в чистом состоянии (но вектор этого состояния нам неизвестен) или в запутанном с окружением. Таким образом, система может находиться в чистом состоянии и быть замкнутой, даже если нам известна только её матрица плотности.

Нет, если известна матрица плотности, то мы можем абсолютно точно сказать, чистое это состояние или нет (по данным степеням свободы). Есть несколько простых правил, например, если МП имеет одно собственное значение, равное единице, то это состояние чистое, или другой способ проверки – нужно эту матрицу возвести в квадрат, если она совпадет с исходной матрицей, т.е. выполняется условие Ro²=Ro, то состояние чистое.

Получается, что несмотря на то, что как Вы сказали «то или иное состояние это характеристика самой системы», тем не менее, наше знание об этом состоянии может быть неполным, и тогда для описания мы вынуждены использовать матрицу плотности. То есть состояние системы, в отличие от измеряемой, существует объективно, независимо от нашего знания о нём. Я верно понимаю этот момент, или всё-таки нет?

Можно говорить о неполноте наших знаний. Но лучше сказать, что МП для смешанных состояний мы используем, когда пренебрегаем взаимодействием с окружением, точнее, усредняем это взаимодействие по внешним степеням свободы; когда мы проводим «границу», отделяя подсистему от исходной системы. Причем МП подсистем используются и когда известна МП всей системы, т.е. формализм МП это не вынужденная необходимость, не следствие ограниченности наших знаний, это удобный инструмент для анализа подсистем, даже когда мы имеем полное знание о системе.
Думаю, надо еще понимать, что такое полнота описания в КМ. В книге я об этом писал http://quantmag.ppole.ru/QuantumMagic/Doronin1/25.html
«Полнота описания в квантовой теории заключается не в том, что одновременно описывается все, что только возможно для данной системы. Речь о том, что мы имеем полное описание в рамках определенного набора состояний, которые нас интересуют.
Записывая вектор состояния системы в различных базисах, мы как бы анализируем систему с различных сторон, рассматриваем разные стороны ее проявления. При этом можно выбирать самые различные наборы состояний, записывая векторы состояний в любом базисе. Другой вопрос, нужно ли это делать? Что толку, если мы выберем набор базисных состояний, но система, которую нам хочется описать, эти состояния не принимает? Тогда вектор состояния, записанный для нашей системы, не будет иметь под собой никакой объективной основы — он не будет описывать выбранный нами элемент реальности. Другое дело, что не так-то просто бывает сказать, какие состояния существуют у данной системы. Например, нелегко догадаться, что у частиц могут быть спиновые степени свободы.»

Кстати, здесь у меня большой вопрос – как составляются векторы и матрицы состояний примерно понятно, но где почитать – как получить матрицу оператора измеряемой? Или матрицу оператора, отвечающего взаимодействию двух систем – как это делается???. Каковы правила работы с этими матрицами при объединении подсистем – тоже хотелось бы понять, что-то на глаза ничего не попадалось.

Я подробно писал об этом, когда мы говорили о программе http://quantmag.ppole.ru/index.php?option=com_smf&Itemid=34&topic=76.msg5314#msg5314

Или вот ещё вопрос – матрица плотности чистого состояния имеет одно собственное значение = 1, но ведь чистое состояние может быть суперпозицией двух макроскопически-различимых состояний, например a = 1/sqrt(2) (|00> + |11>), и если мы просто возьмём её след, то должны получить при измерении единственное значение, а получаем два равновероятных: |00> или |11>.

Не совсем понял. Матрица плотности для чистого состояния, которое Вы приводите, тоже имеет одно собственное значение, равное единице. Линейной алгебре это не противоречит, она говорит, что любая матрица, полученная как проектор |a><a|, имеет одно собственное значение. Для чистого состояния МП получаются именно таким образом – в виде проектора, составленного из вектора состояния.
А след любой МП всегда равен 1, это одно из ее свойств. Более подробно о МП я тоже писал в книге http://quantmag.ppole.ru/QuantumMagic/Doronin1/31.html

Таким образом, несмотря на то, что система находится в чистом состоянии, наше недостаточное знание о ней может вынудить нас использовать для её описания матрицу плотности. Так?

Я бы так не сказал. Для описания чистого состояния можно использовать как вектор состояния, так и МП. Неполнота наших знаний тут ни причем, просто иногда удобнее пользоваться МП вместо вектора состояния.

[AlexDem]

Я подробно писал об этом, когда мы говорили о программе http://quantmag.ppole.ru/index.php?option=com_smf&Itemid=34&topic=76.msg5314#msg5314

Ага, спасибо, постараюсь разобраться!

a = 1/sqrt(2) (|00> + |11>)

Не совсем понял. Матрица плотности для чистого состояния, которое Вы приводите, тоже имеет одно собственное значение, равное единице. <...> А след любой МП всегда равен 1, это одно из ее свойств.

М-м-м, прошу прощения, перепутал определения . Имелся в виду не след, а набор диагональных элементов. Дело в том, что здесь есть для меня неясный момент - вроде как мне попадалось два подхода к получению набора измеряемых: взятие диагональных элементов и вычисление спектра (набора собственных значений).

Имелось в виду вот что. Пусть мы имеем дело со спинами, тогда приведённый вектор a = 1/sqrt(2) [1 1] (разнонаправленные спины я туда не включил) описывает запутанное состояние двух подсистем, суперпозицию векторов оба-спина-вверх или оба-спина-вниз:
a = 1/sqrt(2) (a1 + a2) = 1/sqrt(2) ([1 0] + [0 1]).
Проектор этого состояния будет равен p = 1/2 [1 1; 1 1].

Тогда, взяв главную диагональ, видим, что при измерении есть вероятность 1/2 обнаружить систему в состоянии оба-спина-вверх и такая же вероятность - обнаружить её в состоянии оба-спина-вниз. (Или это всё-таки ошибочная трактовка?)

С другой стороны, собственные значения этой матрицы p будут: [0 1].

Я теперь вроде понял, что в первом случае мы измерим и состояния обеих подсистем (будем знать спин каждой из подсистем), поэтому этот подход вроде не то, что нужно. Вопрос, наверное, следует поставить так:
1) что всё-таки точно выражает набор значений элементов главной диагонали?
2) какую конкретно характеристику полной системы по спиновой степени свободы описывает собственное значение в данном случае? То есть, что мы измерим в данном случае: то, что спины параллельны? или то, что полный спин по модулю равен нулю единице? (причём, знак мы узнать не можем без того, чтобы суперпозиция не превратилась в смесь)

Нет, если известна матрица плотности, то мы можем абсолютно точно сказать, чистое это состояние или нет (по данным степеням свободы).

Вот я приводил пример:

Матрица плотности системы как тензорное произведение:
a * a = 1/4 [1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]

Эта матрица смешанного, не чистого, состояния. Но система, тем не менее, реально может находиться в чистом состоянии, просто оно может быть Вам неизвестно. А мне, например - известно:

А вектор состояния системы будет:
a1 * a2 = [0 0 1 0]

Поэтому результат измерения для Вас будет случаен, а я буду знать его заранее (но вектор состояния я Вам не скажу ).

Правка: исправил "спин по модулю равен нулю единице"

[С.И. Доронин]

1) что всё-таки точно выражает набор значений элементов главной диагонали?

Вероятности при измерении обнаружить систему в данном базисном состоянии.

2) какую конкретно характеристику полной системы по спиновой степени свободы описывает собственное значение в данном случае?

Собственное значение, точнее ранг МП (исходной и редуцированной) может характеризовать запутанность между подсистемами. Например, есть теорема, которая утверждает, что в случае запутанного состояния ранг редуцированной МП должен быть больше, чем ранг МП всей системы.

Эта матрица смешанного, не чистого, состояния. Но система, тем не менее, реально может находиться в чистом состоянии, просто оно может быть Вам неизвестно. А мне, например – известно…

Я не совсем понял Ваш пример, если известна МП, то известно и состояние системы по данным степеням свободы, что значит «реально может находиться в чистом состоянии»?

[AlexDem]

Я не совсем понял Ваш пример, если известна МП, то известно и состояние системы по данным степеням свободы, что значит «реально может находиться в чистом состоянии»?

Опишу физическую процедуру. Пусть мы имеем установку из опыта Штерна-Герлаха, о которой я писал выше. Запускаем в неё 2 атома водорода (которые и будут являться далее системой), и производим измерение после первого магнита. Пусть при измерении оказалось так, что один из атомов отклонился вверх, а другой - вниз, из чего мы делаем вывод, что спины электронов в атомах после измерения - антипараллельны. Система при этом находится в чистом сепарабельном состоянии [0 0 1 0] (проектор которого равен [0 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 0]).

Затем Вы на секунду отвернулись, а я с помощью второго магнита свёл оба атома в один пучёк таким образом, чтобы они летели дальше гуськом друг за другом. При этом атомы друг с другом не взаимодействовали, спины их электронов не менялись и т.п. - то есть состояние системы по спиновой степени свободы осталось чистым.

Поставим у них на пути любой прибор, который умеет измерять спин электрона отдельного атома водорода. Атомы влетают в него друг за другом с некоторым интервалом. Как Вы теперь опишете систему и предскажете результат измерения - что покажет этот прибор: |01> или |10>?

(Будь я на Вашем месте, я описал бы её матрицей плотности как 1/2 [0 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 0], после чего пришёл бы к выводу, что результат измерения будет 50/50: или |01> или |10>).

[С.И. Доронин]

AlexDem

Многое зависит от того, как были приготовлены атомы. Если они из разных пучков, и были приготовлены независимо, то состояние будет смешанным, а не чистым. Если атомы из одного пучка, тогда состояние будет чистым, но в этом случае, я полагаю, неправильно говорить о том, что один атом отклоняется вверх, а другой вниз. Они оба одновременно летят по двум направлениям, распадаются на два волновых пакета. Состояние системы по спиновым степеням свободы при этом не меняется. Или, можно сказать иначе – разделение системы по пространственным координатам не изменяет спиновое состояние.

В этом отношении моя точка зрения близка той, что была изложена у В.Л. Янчилина в статье http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL312006/p1116.html , где он подробно говорит об опыте Штерна-Герлаха.

[AlexDem]

При регистрации частицы (при взаимодействии с классическим объектом) происходит редукция волновой функции, и частица оказывается либо вверху (вероятность |A₊|²), либо внизу (вероятность |A_-|²).

В той процедуре, которую я описал, измерительный прибор предусмотрен, так что после измерения мы получаем два атома в чистом состоянии - со спином электрона вверх и спином электрона вниз.

Многое зависит от того, как были приготовлены атомы. Если они из разных пучков, и были приготовлены независимо, то состояние будет смешанным, а не чистым.

В принципе, рассмотренная мной ситуация как раз соответствует тому, как если бы атомы были из разных пучков и приготовлены независимо. Можно тогда рассмотреть именно этот случай. Как мне представляется, Вы опираетесь на определение состояния пучка, данное, например, в Блум "Теория матрицы плотности и ее приложения":

Если возможно найти такую ориентацию установки в опыте Штерна - Герлаха, при которой данный пучок полностью пропускается, то говорят, что пучок находится в чистом спиновом состоянии.
<...>
Если известно, что состояние данного пучка является чистым, то совместное состояние всех частиц можно представить с помощью одного и того же вектора состояния.

То есть, чистым определяется такой пучёк, состояние которого задаётся в том же базисе, что и состояние каждой отдельной его частицы (a|0> + b|1>), а именно - когда состояние пучка описывается таким же вектором состояния, что и состояние каждой его частицы.

Я же задал состояние "пучка" из двух частиц в другом базисе: a|00> + b|01> + c|10> + d|11>. Это возможно сделать потому, что я знаю какая из частиц в каком месте находится (что не имеет обычно места в случае "толстого" пучка - хотя после измерения мы и знаем, что спин части электронов равен |0>, а другой части |1>, но мы не знаем распределения этих электронов в пространстве).

Мы ведь можем составить систему из двух независимых подсистем в чистых состояниях, верно? И тогда состояние этой полной системы тоже будет чистым и будет описываться тензорным произведением векторов подсистем. Что я и сделал. Вроде непонятных мест у меня здесь не осталось, и если я и не понимаю что-то, то никак не соображу - где именно.

[AlexDem]

Или, можно сказать иначе – разделение системы по пространственным координатам не изменяет спиновое состояние.

Не совсем так, по-моему, поскольку |0>|1> не равно |1>|0>, то есть состояние системы по спиновой степени свободы зависит от пространственного расположения подсистем (конечно, мы можем перейти к другому координатному пространству преобразованием T^-1PT, но тогда и результат получим в том пространстве. См. Гантмахер "Теория матриц", глава III, параграф 6 "Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя").