Квантовый Портал

Прошу помощи в решении такого вопроса:
классическая задачка: частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины. Решения есть в Интернете во множестве, например,
http://teachmen.csu.ru/work/lectureSQ/
http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1174320&uri=page4.html
http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_2_Quant_ther/Chapter_10/Chapter10.htm

Решение уравнения Шрёдингера я не обсуждаю, не в этом дело, интересен итог решения. Он говорит, что частица на втором уровне энергии (n=2) имеет функцию распределения в форме двух горбов с нулевыми точками (обозначены красным) по краям и в середине.

Я не понимаю вот что. Если частица находится, например, слева от центральной нулевой точки (между точками L и M), то как она переходит в правую половину отрезка? Ведь согласно тому же решению, вероятность пребывания частицы в середине отрезка, в точке M, равна 0, частице там бывать запрещено. Ведь частица не может слева от точки исчезнуть, а справа появится, это нарушение закона сохранения массы. Должен остаться только один горб, или слева или справа, а не два.
Как понять это решение?

мдяа...
 рубленное рагу из частицы, однако ;D

а о чем волновая функция, собственно говоря, говорит?
и ваще, что она такое?
 что такое волновое и корпускулярное представление? - ась?
 кванты почитай для начала ;)
а то и в дурку угодить можно с такими раздумьями...

15 раз график посмотрели -ого
ладно , не глядя  :D , вопрос то на самом деле непростой
можно сказать про стоячую волну , шарик на пружинках в яме - при резонансе
н=2 открываем яму , а он как кошка либо там либо там
но переход волны через ноль без ур-ний максвелла чо то навскидку и не объясню  :)

Прежде всего следует обратить внимание, что задача о поведении частицы в прямоугольной бесконечной яме сформулирована в одномерном срезе, т.е., волновая функция является функцией x, но не y и z.

Реальное пространство является трехмерным. В данном же случае рассматривается математическая модель. Каким боком данная модель может иметь отношение к реальности. Представте, что потенциальная яма, "выкопанная" от стенки x=0 до стенки x=X1, это на самом деле траншея, которая тянется от y=-бесконечность до y=+бесконечность. Тогда волновая функция будет однородной по координате y.

Данное предложение не должно очень напрягать читателя. Вспомните интерференционные эксперименты на N-щелевом экране, протянутом вдоль оси x. Сами щели - это узкие прорези, которые тянутся от  y=-бесконечность до y=+бесконечность. Именно это позволяет рассматривать интерференцию, как явление, которое можно представить в полоскости x,z  и не учитывать еще рассеяние в направлении y.

Теперь по поводу траншеи, имеющей ширину X1 и протянутой по оси y.
В частности, такая траншея может выполнять функцию волновода для электромагнитных волн, если ее стенки являются идеально-зеркальными. В данном случае оговаривается, что потенциал является бесконечным.
Теперь, если обратиться к теории волноводов, в волноводе могут быть возбуждены волны высшего порядка - n=2, 3, ..... 
Для примера, здесь я показываю рисунок wave2.jpg
Условно, здесь изображено поле волны (красным цветом),  порядка n=2, существуещее в этой траншее. В средней части этой траншеи, распределение поля повторяет ту самую волновую функцию, вычисленную в одномерном случае для  n=2. Только на краях траншеи наблюдается ее искажение. Впрочем, при решении в двумерном случае, мы получили бы это самое распределение.

Теперь по поводу частицы с массой, поведение которой должно подчиняться тому, что дает волновая механика. Прежде всего, частица имеет отличнуй от нуля импульс P_x, но вдоль оси y ее импульс равен нулю - P_y=0. Отсюда следует, что длина волны по оси y бесконечна, т.е., lambda_y = 2 pi h / P_y = бесконечность.
Здесь pi=3.14, h - постоянная Планка.
Таким образом, частица размазана по всей длине траншеи - она здесь и там. Как такое может быть, если P_y=0. Это есть один из удивительных признаков квантовой механики. По сути, это - следствие принципа неопределенности delta P_y * delta y >= h. Так что, если delta P_y = 0,
то delta y ~ бесконечность.

Так что, частица осуществляет квантовое туннелирование вдоль траншеи, как это говорит квантовая механика (смотри красные полевые линии на рисунке wave2.jpg). Слово туннелирование я употребил, для того чтобы подчеркнуть, что это не является простым блужданием по оси y, поскольку, как было замечено выше, P_y=0.

Здесь, как можно догадаться, волновое решение вдоль траншеи (красные полевые линии) представляет собой тор - простой тор, сильно вытянутый по оси y.

Для случая n=3 топологическим образом волнового решения является восьмерка сильно вытянутая с левого и правого бока.

Частица тунеллирует по ручьям, задаваемым такими топологическими объектами. Это тот самый образ цастицы и пилот-волны, отстаиваемый Луи де Бройлем. Но как только частица зафиксирована детектором в каком-либо месте этой траншеи, данный топологические объект, представляющий волновую функцию, исчезает (коллапсирует).


Резюме:

 реально мы имеем дело с трехмерным физическим пространством состояний. Иногда теоретическое упрощение задачи позволяет ее свести до одномерного пространства. Но в этом случае поведение квантового объекта в оставшихся пространстивах должно быть однородным, трансляционно инвариантым.

С уважением Валерий

valeriy

имхо...
 автора темы не удовлетворили решения, представленные в инете, сами по себе, потому как там - именно решения и объяснение решений, а ему не хватает понимания: почему предполагается именно такое решение...
 
советую автору темы в этом плане почитать лекции Фейнмана, том не помню, но там речь идет о том, что такое решение, как оно зависит от модели, как выбор модели зависит от граничных/начальных условий и что такое ваще моделирование в плане решения задач...
ну и, конечно, разобраться как волновое и корпускулярное представления повязаны с моделированием...

еще можно не просто представлять процесс механистически, но довериться своему воображению, не загоняя его в жесткие рамки собственных представлений... и тогда можно отследить реальный процесс в картинка, если оч захотеть :)

   Валерий в своем ответе все правильно сказал, но на вопрос не ответил. И даже более того - попытался проблему замазать.
   То, что проблема тоннельного перехода формулируется в одномерном варианте - это лишь наглядности ради, а вовсе не потому, что частица обходит барьер по другой координате, что в проекции на ось X не видно. Если Валерий действительно так считает, то это еще хуже, чем честно признаться в наличии парадокса.
   В том-то и парадокс, что области пространства, где пси-функция отлична от нуля, вовсе не обязательно должны быть связными. Причем это касается не только задачи, урезанной до одномерного варианта, но и полноразмерного варианта.
   Я когда-то на этом форуме уже приводила теоретические формы электронных орбиталей в атоме. И теперь просто повторю ту картинку:
(http://quantmag.ppole.ru/ris/3d-orbital.jpg)
   Вот та синенькая гантелька на рисунке - относится к ОДНОЙ и той же пси-функции! И тот разрыв, который имеется между верхней и нижней половиной, - вполне реальный. По крайней мере, теоретическая формула для этой орбитали в самом центре этой конструкции тождественна нулю. И несмотря на то, что другого пути, кроме как через эту точку, между верхней и нижней половинками гантельки нет, один и тот же электрон может быть обнаружен как в верхней, так и в нижней части гантели.
   Парадокс, позволяющей квантовому объекту "перескакивать безжизненное пространство" и в  самом деле имеет место в реальности, хотя Andante в своем вопросе путает плотность вероятности и путь по которому движется частица. Все-таки плотность вероятности есть нечто другое. Вероятность вполне позволяет происходить двум исходам, минуя промежуточные формы. Или запрещать какое-то "серединное" состояние. В то время как путь и в самом деле бывает только непрерывным. Смешивание этих понятий как раз и приводит к парадоксу телепортации. Например, брошенной монетке разрешается выпадать орлом или решкой, но запрещается ложиться на ребро. В этом случае орел и решка оказываются тоже разделены областью запрещенного состояния, делающей переход из одного состояния в другое дискретным.

Да Пипа,
твой пример более красочен и нагляден, чем тот одномерный случай, который привел Andante. Но вопрос, который поднимает Andante, полагаю, затрагивает глубокие пласты квантовой механики, чем это может показаться с первого взгляда. Вопрос не в том, почему такие решения дает квантовая механика, а в том, как понять смысл этих решений. Даже ученые, стоящие у колыбели квантовой механики, признаются, что решения мы получаем правильные, а что за этим стоит, не всегда можем определенно ответить.

Давай заменим картинки, показанные Andante, и обратимся к красочной картине, предложенной Пипой. Как я понал Andante, вопрос в том, как и каким образом частица перетекает из нижней синей капли в верхнюю и обратно. Сказать, что в этом и проявляется чудесная магия квантового объекта - это не сказать ни чего. Да я привел пример из радиофизики волноводов, чтобы показать, что могут существовать обходные пути. Согласен с Пипой, это не всегда так. Могут быть и несвязные объкты, в которых так же возможен переход из одной области в другую.
Но как?

Пример Пипы - две, не связанные между собой, синие капли. На самом деле по рисунку видно, что система имеет две потенциальные ямы - одна при z>0 и другая при z<0. Между ними горб, который является достаточно высоким, чтобы разорвать капли. При низком горбе, между каплями оставалась бы синяя перемычка. И вся конфигурация напоминала бы гантель. По мере того как горб повышается, перемычка становится тоньше и тоньше, пока не происходит разрыв. Разрыв не означает, что здесь функция полностью исчезает. На самом деле в этом месте она становится мнимой. Да мнимость приводит к тому, что переход через эту перемычку становится затруднительным, но он не исчезает окончательно. Мнимость волновой функции означает, что в этой области наблюдается экспоненциальное затухание. Но как бы она не затухала, пусть незначительный шлейф, но достигнет той области, где опять появляется реальность. Здесь все та же аналогия с радиоволной. Если на пути стоит металлическая преграда, то волна дальше преграды не пройдет (это - аналог бесконечно-высокого барьера). Но ести эта преграда слишком тонкая, то часть, пусть даже очень слабая, может просочиться (толщина стенки в этом случае должна быть тоньше скин-слоя - слой, на который может "погрузиться" электормагнитная волна в металлическую поверхность).

Да, это уже в чистом виде туннельный эффект.
Мнимость функции, возникающая в области, где ранее существовала синяя перемычка, создает чрезмерные препятствия для прохождения частицы из верхней капли в нижнюю (и наоборот), но не запрещает переходы окончательно. Чтобы возник "железный" запрет, мнимость должна обратиться в бесконечность. Это эквивалентно появлению в области перемычки бесконечно-высокого потенциального барьера.

С уважением, Валерий

 в тему http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1225296288/0

   Строго говоря там не разрыв, а нулевое значение. Кроме того, если там нуль, то, значит, и мнимой составляющей там тоже нет. Ведь рисунок относится к плотности вероятности, которая равна квадрату МОДУЛЯ пси-функции. А если модуль комплексного числа равен нулю, то в нем и мнимая часть тоже равна нулю. Помните, как модуль вычисляется? - Путем умножения на комплексно-сопряженное. Т.е. квадрат_модуля(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a²+b². А сумма квадратов может быть равна нулю только тогда, когда оба из них ему равны. Так что ваше объяснение через якобы присутствующую мнимую составляющую никак не катит. 


   Имеете в виду, что вода дырочку найдет? :) И не надейтесь! Там в этом месте ... расположено ядро атома! А уж сквозь через него электрону никак не просочиться.
http://www.winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3d/3dzz-wave-fn.swf
http://www.winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3d/wave-fn-zz.html
(на том рисунке еще кнопку "show nodal structure" полезно нажать).

   Вообще-то квантовый объект типично ведет себя  в потенциальной яме, как волна, а как частица проявляет себя на свободе (и то не всегда). Поэтому вся эта гантелька - СТОЯЧАЯ (стационарная) волна. И здесь говорить о месте нахождения электрона в данный момент времени неправомерно. А раз нет места, то нет и траектории!
   Парадокс тунелирования порожден классическими представлениями о частице, жестко локализованной в данный момент времени в строго определенном месте. Отсюда и растут ожидания, что у нее есть траектория движения. А из этого ожидания вытекает удивление способностью прохождения через место, где частица быть не может. Считайте лучше в этом случае частицу волной - парадокс и рассеется. Получится, что она так размазана в пространстве, что ее на две половинки разделило :). Кстати там еще поясок был желтенький, так в этом пояске тоже она! :)

Pipa

напомню, вопрос прозвучал так:

Люба, Пипа не отклонилась от вопроса, поставленного Andante.
Вот он: Я не понимаю вот что. Если частица находится, например, слева от центральной нулевой точки (между точками L и M), то как она переходит в правую половину отрезка?

Только в отличие от одномерного распределения, носящего скорее схоластический характер, Пипа предлагает рассмотреть более живой пример с сайта http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/ .

На этом сайте представляется хоршая возможность посмотреть как вид волновой функции любой орбитали от 1s до 7g, так и электронную плотность выбранной орбиталь. Картинки эффектные.
Электронная плотность, плотность вероятности, показывает, что частица так размазана в пространстве. И с заданной вероятностью она может быть обнаружена в любой из этих областей.

Да, Пипа, ты правильно замечаешь - бессмысленно говорить о нахождении частицы где-нибудь в указанных областях и она блуждает, последовательно посещая все эти области. Она всюду и ее нигде нет. Только факт регистрации в какой-то области пространства материализует эту сущность. По сути, ты отстаиваешь воззрения Копенгагеновской школы. Согласно этим воззрениям, волновая функция есть нечто большее, чем только математическая функция. Она исчезает (коллапсирует) только в момент регистрации частицы.

Строгое следование воззрениям Копенгагеновской школы приводит к утверждению, что такие измеряемые переменные, как то импульс, масса, заряд, и пр., являются лейблами, так же как и капельки конденсата, образуемого по ходу пролета частицы через камеру Вильсона.
И в этом смысле Копенгагеновские воззрения не без изъянов.
Не зря же ведь в пику этой школе возник еще ряд других интерпретаций.
По общим пунктам они совпадают, но различаются в деталях, в которых, как ходят слухи, прячется дьявол. Одной из таких деталей является туннелирование - частица может проникнуть в область, запрещенная наложенным большим потенциалом.

С уважением Валерий

Ты будешь смеяться,но этот портал посвящен как раз такой "другой интерпретации" - нелокальной теории.  ;D ;D В рамках которой вопроса про частицы вообще не может возникнуть,они представляют собой декогеренцию окружением нелокальной квантовой информации.  ;)

пусть человек поймет конкретную одномерную задачу... а не конфигурации орбиталек в атомах...
 в таком красивом виде легче запоминается, чем понимается...

Это круто загнуто - они (частицы) представляют собой декогеренцию окружением нелокальной квантовой информации.  Andante, я так полагаю, выпадает в осадок. Учитывая то, что Люба пытается за уши притянуть участников к исходной одномерной задачке, а не замурятся сложными орбиталями в атомах, подобное утверждение поднимает еще больше вопросов, чем тот, который задал Andante.
Что значит нелокальная кватнтовая информация в приложении частицы в бесконечно-глубокой потенциальной яме? Соотносится она как-нибудь к волновой функции и каким образом? Что означает декогеренция окружением? Это - верификация (проверка состояния) частицы в этой яме? Если уж загнуто такое предожение, желательно расшифровать термины, чтобы у участников не возникало каких-либо неверных толкований.

Следуя наказу Любы, предлагается модель, описывающая существование волновых мод на гитарной струне. Это - одномерная модель. Вторая мода n=2 - это одна волна, укладывающаяся на струне с закрепленными концами. Волновое движение есть. А с чем можно соотнести частицу?
Пусть детектор - это камертон. В безвоздушном пространстве реакция камертона на колебания струны возможна в том случае, если он непосредственно соприкасается со стуной. Факт регистрации частицы - показания камертона. В средней части струны показания нулевые, поскольку здесь имеет место узел волны (n=2). В местах пучностей показания максимальны. Экспериментатор говорит вот зарегистрирована частица с импульсом  ~ h/2L (h - постоянная Планка, L - длина струны).

Очевидно, в данном эксперименте экспериментатор всегда будет регистрировать наличие колебаний, когда подносит камертон к участкам пучностей волн. В отличие от квантовой модели, когда существует вероятность Р регистрации частицы и вероятность 1-Р, что попытка регистрации потерпит фиаско.

Однако, в случае эксперимента со струной можно заметить, что в данном состоянии существует гигантское множестов однотипных частиц, имеющих одну и ту же энергию и один и тот же импульс. Это бозоны - частицы со спином 0. В одном и том же состоянии их может существовать сколь угодно много. И при регистрации экспериментатор отбирает только часть этих бозонов, достаточных для возбуждения камертона.

Можно конечно, приложить камертон очень плотно к струне и тем самым полностью гасить колебания. Это будет эквивалентно коллапсу волновой функции. В зависимость от того, где прикладывается камертон - в первой половине волны (первая пучность) или во второй половине (вторая пучность) экспериментатор заявляет, что частица обнаружена в области между L и M или в области между M и R, см. рисунок Andante.

Таким образом волна - это колебания струны. А частица - это показания камертона, т.е., результат отбора у колеблющейся струны части энергии.
В случае квантовых объектов энергия отбирается квантами. И такие кванты могут соотноситься с частицами, переносящими эту энергию.
Если это бозе-частицы (частицы с целым спином) они могут оьразовывать бозе-конденсаты. И при регистрации может иметь место частичный отбор энергии. Хотелось бы знать, что могло бы означать в данном случае фраза нелокальная квантовая информация?

С уважением, Валерий

Нелокальное состояние системы - ее нахождение в квантовой суперпозиции за границами классического пространства-времени. Когда некоторое количество информации о такой системе,скажем частице,записывается в окружении,происходит "декогеренция" - проявление частицы
из нелокального состояния в ввиде классического о ней представления. Как корпускулы или волны.  ;)
Редукция волновой функции по отношению к квантовым объектам это уже устаревшие представления.  ;D Более подробно о декогеренции читай в первой главе книги Заречного "Квантово-мистическая картина мира" - "Знаменитый эксперемент",где основные понятия нелокальной теории проиллюстрированы на простых примерах двухщелевого эксперемента и описания опыта Венского университета по декогеренции молекулы фуллерена... http://www.ppole.ru/b_kv_ogl.htm

 :o

а вы представьте, что человеку надо сдать эту задачку под зачет или на коллоквиуме... ::)
иии? :-\

ОК,
некоторе время мне также предстоит выпасть в осадок, для того чтобы ознакомиться с содержанием книги Заречного "Квантово-мистическая картина мира".
Валерий

По моей ссылке она почему-то не открывается.  ;) Как альтернатива - книга СИДа "Квантовая магия". http://quantmag.ppole.ru/QuantumMagic/Doronin1/cont.html
Она не такая наглядная,но с более проработанными математичесими моделями,описывающими систему в нелокальном состоянии...

Сайт Заречного почему-то сейчас не работает, но его книгу можно найти на нашем сайте по ссылке:
http://quantmag.ppole.ru/QuantumMagic/Zarechny1/index.html

Спасибо,
я нашел книгу и прочитал почти треть. Книга интересная.
Поднимает проблемы, захватывающие не только квантовую механику, но уходящие глубоко к мистическим феноменам. Красной нитью является попытка показать глубокую связь всех этих феноменов с обнаруженными принципами квантовой механики. Продолжаю читать дальше. Книга на самом деле интересная, так как она пытается показать единый стержень, лежащий в основе выше названных феноменов.

Однако в основе научного мышления была всегда попытка объяснить  результаты наблюдаемого эксперимента с привлечением понятных образов. Как заметила Люба - а вы представьте, что человеку надо сдать эту задачку под зачет или на коллоквиуме. Представляю, если этот человек заявит, что "в рамках данной задачи вопроса про частицы вообще не может возникнуть,они представляют собой декогеренцию окружением нелокальной квантовой информации." и сошлется при этом на монографию Заречного. Конечно, он продемонстрирует свою высокую эрудированность. Но думаю, понимания происходящего в одномерной потенциальной ямы он не покажет. Почему? Да потому что надо ясно (на пальцах) объяснить, как ведет себя частица, когда волновая функция обращается в нуль в средней части потенциальной ямы.

Предлагаю, в этой связи, рассмотреть задачу о блуждании пьяного человека в большом городе. Извиняюсь за несколько неприятный образ, но такая задача рассматривается в теории вероятностей. Мы не будем здесь расписывать Марковские цепи таких блужданий, но допустим, вычислили плотность вероятности Р₁ обнаружения этого пьянчужки в момент времени t в окрестности точки r1, т.е. с вероятностью Р1{delta t}{delta r1} ПМГ запеленговал его в момент времени t в окрестности точки r1 и отправил в мед вытрезвитель. ПМГ (Патрульная Милицейская Группа) здесь может приниматься как детектор.

Но пусть будет в этом же городе еще один пьянчужка, который в это же самое время блуждает в какой-то другой части города. Плотность вероятности обнаружения его в окрестности точки r2 есть Р₂.

Надо заметить, эти два субъекта блуждают по городу независимо друг от  друга и вероятность их встречи бесконечно мала. Более того, можно заметить, что их совмещение в одной точке и в одно и то же время не возможно. Можно сказать, что эти субъекты проявляют признаки Ферми частиц. Случайная их встреча (соображение на двоих) - это не есть совмещение, но скорее представляет аналог Куперовской пары.

Общая плотность вероятности Р (нормированная на единицу) независимых субъектов представляется через сумму  плотностей вероятностей Р₁ и Р₂.

И так, их блуждание полностью не коррелированно.
Ну а что было бы, если эти субъекты наделяются признаками квантовых объектов. Они уже не пьянчужки а их поведение приобретает признаки коррелированности - квантовой коррелированности  (это будет видно из дальнейшего). Теперь положения их в городе описываются не плотностями вероятностей, но их амплитудами, а₁ и а₂.

Амплитуда вероятности а₁ пропорциональна корню квадратному от плотности вероятности Р₁.  Более того, плотность вероятности Р1 - это не просто квадрат амплитуды вероятности а1, но произведение а1 на ее комплексно-сопряженную величину а₁^*.
Иными словами, амплитуда вероятности равна квадратному корню от плотности вероятности Р₁, помноженному на фазовый множитель

      exp(- i(k r)+iwt).

Здесь i - мнимая единица, а k и w - волновой вектор и частота. Смысл этих параметров заключается в том, что субъектам предписывается ходить в городе с вполне определенной скоростью и придерживаться определенного темпа пересечения улиц. Очевидно, пьяный игрок с такой задачей не справится. Здесь нужен достаточно дисциплинированный исполнитель, но которому позволено принимать самостоятельные решения, что выражается в наличии множителя "корень квадратный от Р₁".

Таким образом, в случае двух игроков имеются две амплитуды вероятности

   sqrt( Р₁ )* exp(- i( (k r₁) + wt)),

   sqrt Р₂ )* exp(- i( (k r₂) + wt)).

Здесь sqrt( x ) означает корень квадратный от х.
Из этих представлений следует, что оба участника (каждый находится в окрестности точек r₁ и r₂ в один и тот же момент времени t) имеют одинаковую скорость передвижения и одинаковый темп. И эта одинакововость не зависит от того, как далеко они друг от друга находятся.

Совместная амплитуда вероятности - сумма этих двух выражений

 sqrt( Р₁ )* exp(- i( (k r₁) + wt)) +
 sqrt( Р₂ )* exp(- i( (k r₂) + wt)).

А плотность вероятности обнаружения этих игроков в окрестности точек r₁ и r₂ вычисляется как

 (sqrt( Р₁ )* exp( i( (k r₁) + wt)) +
  sqrt( Р₂ )* exp( i( (k r₂) + wt)))
*
 (sqrt( Р₁ )* exp(- i( (k r₁) + wt)) +
  sqrt( Р₂ )* exp(- i( (k r₂) + wt)))

Следует обратить внимание, что здесь в первых двух строчках мнимая единица i входит с положительным знаком, а во вторых двух строчках она имеет отрицательный знак.

Беря произведение мы находим

Р₁ + Р₂ + 2 sqrt( Р₁ Р₂ )*cos(phi₁-phi₂)

Здесь

 phi₁-phi₂ =
 ((k r₁) + wt) - ((k r₂) + wt) =
 (k r₁) - (k r₂) =
  (k (r₁ -r₂) )

представляет фазовый множитель, обусловленный различием во взаимном местоположении в городе. Здесь длина волны  lambda=1/k (величина, обратная волновому числу k) задает естественную масштабную единицу в городе, и в зависимости от этой единицы фазовый множитель {delta phi} = phi₁-phi₂ может принимать значения в интервале от 0 до 2 pi. Таким образом, фазовый множитель выполняет роль калибратора, универсального на всей городской площади. Именно этот множитель «запутывает» этих двух игроков.  Можно видеть, в зависимости от значений фазового множителя {delta phi} = phi₁-phi₂ мы будем получать результаты, заданные в интервале между Р₁ + Р₂ + 2 sqrt( Р₁ Р₂ ) и Р₁ + Р₂ - 2 sqrt( Р₁ Р₂ ).
Множитель 2 sqrt( Р₁ Р₂ )*cos(phi₁-phi₂) есть интерференционный множитель. В данном случае он говорит о том, в какой степени, синфазно или противофазно, действуют оба игрока, находящиеся в окрестностях точек r₁ и r₂. 

Следует заметить, что плотность вероятности – величина, которая может быть оценена в результате множественной серии испытаний. По одному единичному измерению мы не можем сказать что-либо определенного о плотности вероятности. Чтобы эта множественная серия испытаний давала корректный результат, мы должны быть уверены, что каждый раз волновой вектор  k и частота w  являются одними и теми же – испытания с монохроматическими игроками.

Давайте начнем спаивать игроков. Это эквивалентно нагреванию системы. В этом случае волновые числа и частоты будут принимать разные значения  (из-за нагревания возникнет разброс в этих значениях).  В результате плотность вероятности будет

Р₁ + Р₂ + 2 sqrt( Р₁ Р₂ )*  < cos(phi₁-phi₂) >

Усредненное значение < cos(phi₁-phi₂) > , при достаточно высоком уровне опьянения, обращается в нуль.Так что третий член выпадает и мы получаем Р₁ + Р₂ – независимые плотности вероятностей складываются.
Это тот самый случай, когда два, вдрызг пьяных, участника блуждают по городу, не подчиняясь тем правилам, которые приняты в данном городе. Отсюда мождо сделать очень важный вывод, что волновой вектор и частота задают те самые правила передвижения по городу. И в таком случае они являются характеристиками городской среды. По сути, это прерогатива Гамильтониана (Лагранжиана), описывающего данную систему. Но это уже далеко нас уведет от «пальцевых» объяснений. Ограничимся только утверждением, что поведение дисциплинированных игроков описывается некоторой функцией, учитывающей как состояния игроков, так и состояния городской среды.

Продолжение следует, с уважением, Валерий

Пусть через город проходит автобан с очень насыщенным автомобильным движением в обе стороны. Автобан делит город на две приблизительно равные части. И пешеходу перейти через него не представляется возможным. Пипа может радоваться - вот случай, когда игрок не имеет возможность перейти из одной половины города в другую (будем полагать, что любые подземные или надземные переходы по непонятным причинам отсутствуют). Да в таком случае не представляется возможным туннельный переход в ту или иную сторону, и каждый игрок, будучи засланным в город, навсегда остается в той половине, куда он попал. ПМГ (наш детектор) будет забирать игрока или в первой половине города или во второй, в зависимости от того, куда его занесла судьба. Но как было ранее отмечено, плотность вероятности может быть оценена только по множественной серии испытаний (от одного подбрасывания монеты экспериментатор не может сделать однозначный вывод, что выпадения орла и орешки имеют равные шансы). Множественные испытания показывают, что игроки будут обнаруживаться с равной вероятностью, как в правой половине города, так и в левой.

Обратите внимание, здесь даже не обсуждается вопрос, являются ли игроки дисциплинированные, т.е., строго подчиняются городским правилам, или они в стельку пьяные. Важно, что существует разделительная черта, автобан, запрещающий игрокам переходить из одной части города в другую.

Однако в стельку пьяные игроки будут примерно равномерно расползаться по правой и левой частям города. И вероятность их обнаружения будет равномерно распределена по всему городу, за исключением автобана (здесь полагается, что автобан отделен высокой сеткой от похожих частей).

Что касается дисциплинированных игроков, в данном случае наличие фазового множителя exp(- i(k r)+iwt) вносит нюансы в их поведение, как на границах города, так и вблизи автобана. По сути, мы должны учитывать краевые условия (как это делается при решении соответствующих дифференциальных уравнений). В данном случае краевые условия как должен вести себя фазовый множитель при приближении к краю города и к автобану. В результате, это определит и поведение плотности вероятности в пределах города, на его окраинах и вблизи автобана.

С уважением, Валерий

Ну что могу сказать? Всё верно, всё правильно, всё как всегда:  «чтобы обсуждение или спор не были пустопорожними, необходимо всем его участникам сначала убедиться, что каждый из них под одним и тем же понятием, словом подразумевает одно и то же». Лучше не скажешь. А я забыл дать определение волновой функции, здесь и возникли основные непонятности. Виноват, не спорю, исправляюсь:
В Википедии нашел определение, вот оно:
«волновая функция Пси(х1,х2,…,хn,t) зависит от координат (или обобщенных координат) системы и, в общем случае от времени, и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля Abs(Пси(х1,х2,…,хn,t))^2 представлял собой плотность вероятности (для дискретных спектров просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами x1=x01, x2=x02,…,xn=x0n в момент времени t.»
Это определение я считаю правильным, оно совпадает с моим пониманием волновой функции, полученным на занятиях по квантам, думаю, спорить с ним никто не будет. Поэтому, считаю, первое дело сделал.
Второе. Лучше всех поняла мой вопрос Pipa. Однако, и она не полностью. На самом деле всё гораздо хуже. Попробую объяснить, точнее задам тот же вопрос подробнее. Заранее прошу прощения: моё изложение может кому-то показаться наставительным, но на самом деле я вынужден говорить очень подробно для того, чтобы не быть снова неправильно понятым. Я, как в школе, даю очень развёрнутое решение, чтобы были, в случае чего, видны все ошибки в рассуждениях.
Сначала уточню.
Если на некотором отрезке (задача одномерная) волновая функция всюду равна нулю Пси(x1…xn)=0, то и плотность (по расстоянию, потому что ответ задачи от времени не зависит) вероятности обнаружить там объект, который описывает функция, равна Abs(Пси(x1…xn))^2=0. Чтобы из плотности получить вероятность, надо её умножить на расстояние. Умножая нулевую плотность на любую длину отрезка, всегда получим 0. То есть, если на отрезке волновая функция везде равна 0, то и вероятность обнаружить там объект тоже равна точно 0. Если вероятность 0, то это значит что волновая функция запрещает объекту пребывать на этом отрезке. Другими словами, такая волновая функция гарантирует, что на отрезке объект не появляется совсем. Никогда. Ни разу за 10^100 лет. Таков смысл вероятности – это количество нужных случаев за интервал времени. Если вероятность 0, то количество нужных случаев (здесь – попадания объекта в отрезок) тоже 0 за любой интервал времени. Кажется, спорить никто не будет?
Теперь ближе к нашей задаче.
В задаче таких нулевых отрезков нет, зато есть точки L, M, R, в которых функция Пси обращается в 0. Надо узнать как ведёт себя объект в этих точках. Можно было бы поступить как обычно делают в мат. анализе – разбить окрестности точек на малые отрезки, устремить их количество к бесконечности и т.д., но я сделаю проще. В точке L объект не бывает, потому что там начинается бесконечно высокий потенциальный барьер. Этот факт функция Пси выражает тем, что справа от точки L Пси убывает справа налево, становясь сколь угодно малой, и в т. L обращается в нуль. Так же Пси ведёт себя и справа от точки M, значит, этим функция Пси показывает, что в точке M объекту тоже запрещено бывать. Те же рассуждения и для пары точек R и M.
Таким образом, решением уравнения Шрёдингера получена функция Пси, которая объявляет, что в середине отрезка, в точке M, объект, поведение которого она описывает, не бывает. Однако, та же самая функция Пси показывает, что объект бывает и слева и справа от точки M на одномерном отрезке. Как он переходит через точку M? Непонятно. Исчезает в никуда слева и снова появляется из ниоткуда справа? Это нарушение закона сохранения вещества. Я вижу что ответ задачи противоречит сам себе.
Здесь, на форуме, были сделаны две попытки объяснить это противоречие. Начну с той, что проще.
Pipa объясняет это всё туннелированием. Но туннельный эффект это прохождение объекта там, куда по классическим представлениям он не может попасть, например, энергетический барьер конечной высоты его не пускает. Однако, всё же, это ПРОХОЖДЕНИЕ, движение, наличие объекта. А в точке M объект должен исчезнуть совсем, а не «просочиться», туннелировать. Это, мне кажется, не объяснение, а просто неправильное использование термина «туннелирование». "Перескакивать безжизненное пространство" это как? Исчезнуть-появиться или двигаться непрерывно? Я здесь не понял.
Второе объяснение с использованием корпускулярно-волнового дуализма. “Вообще-то квантовый объект типично ведет себя  в потенциальной яме, как волна, а как частица проявляет себя на свободе”. Вообще-то, в ссылке http://teachmen.csu.ru/work/lectureSQ/ , которую я давал в начале, разговор идёт именно о частице, а теперь неявно оказывается что это волна. Ну, ладно, допустим что это всё так и посмотрим что получится.
Чтобы не повторять прежних ошибок, я прикладываю определение корпускулярно-волнового дуализма, взятое из Википедии.
Что же, мы выяснили что быть частицей объект в яме не может, тогда ему пришлось бы полностью исчезать в средней точке чтобы бывать в обоих половинах отрезка. Значит, он является волной. То есть он - его масса, его заряды и иные свойства - «размазаны» по отрезку неким неравномерным образом. Что из этого следует?
1. Получаются две (n) несвязные области распределенных зарядов. Эти области изменяют поле в «свободной» части отрезка, где нет барьера. Значит, условия задачи меняются и её надо решать дальше, полученные «горбы» это, оказывается, лишь промежуточный результат? Распределённые заряды начнут взаимодействовать и изменять картинку, получится вторая итерация, за ней следующая и… будет ли конец калейдоскопу?
2. В яме конечной глубины получаются похожие ответы. Размер ямы не ограничен, он может быть и 1000 км. Тогда, распределённый по яме объект, например электрон, будет находиться сразу на всей её протяженности. Если обстрелять его быстрыми электронами, то эти «снаряды» выбьют из ямы электрон целиком или «брызги» распределённой «электронной жидкости»?
Кусок металла это тоже потенциальная яма со стенками конечной высоты. Там электроны оказываются распределены, вообще говоря, тоже по всему куску. Но при обстреле быстрыми частицами из металла не вылетают «брызги» или куски электронов, только электроны целиком. Явление фотоэффекта исследовано очень хорошо, так что если бы там появлялись дробные части электронов, то их заметили бы. Таких нет. В характеристическом рентгеновском излучении не видно спектров «долей» электронов, пересыпающихся между энергетическими уровнями ямы, которой является металлический электрод-мишень. Вопрос: как распределённый по целому куску металла электрон успевает «сжаться» за короткое время взаимодействия куска металла с обстреливающей частицей, чтобы вылететь целым? Какая получается скорость такого «сжатия»? По-моему, если взять длинный кусок, то эта скорость может превысить скорость света. Тоже не годится такое предположение.
Так что, получается, предположение о том что объект в яме уже не частица, а распределён неким волнообразным способом, тоже оказывается негодным. Наш объект и ни частица и ни волна; ни материальная точка, ни распределение по пространству. Ни то, ни другое. Получается, дуализм тоже не может объяснить полученный ответ.
Тогда что может?

Кстати, Люба заметила «рубленное рагу из частицы, однако». Именно так и я это вижу. Тогда давайте без всякого коллайдера и ТэВ (на создание высокого, почти бесконечного, потенциального барьера надо не так уж много энергии) шинковать частицы на любое количество кусочков и смотреть что у них там внутри? Мне особенно интересно что произойдёт с электрическим зарядом, например, того же протона?
Кто поставит эксперимент? Отдаю идею бесплатно, назовите только в соавтором ;)

Кстати , а почему бы и не частица?
частица вообще четырёхмерный объект и у неё степени свободы -
пространственная , временная , вф никак не зависит от скорости  8)
движение вообще св-во только пр-ва , что отражается в принципе
 относительности .
в терминах состояний ещё проще

сид , вы хоть отметтесь , чо нам самим что ле Доронжиан составлять  ;)

неку
"частица вообще четырёхмерный объект и у неё степени свободы -
пространственная , временная"
Верно, 4-х-мерный. По условию задачи пространственных координат всего одна вместо трёх, а в полученном решении ВФ не зависит от времени, таким образом, остаётся только одна пространственная координата. И в этой ОДНОЙ координате разрыв в середине, который частице преодолевать запрещено.

"Кстати , а почему бы и не частица?"
Выше я написал почему.

Andante
так Вам нужно понять решение конкретной задачи или...?
- решение конкретной абстрактной задачи - это одно, а строение материи, точнее: доступное человекам представление о строении материи - сапсэм иное :-\
Вы не корректно поставили задачу ::)

на данный момент критерием представления о строении материи, впрочем... как и прежде, является тот энергоуровень, который доступен в экспериментальных условиях, потому как теоретические рассчеты считаются только направлением для экспериментов, но ни как не решением поставленных задач :-[

касаемо рубленного рагу, так экспериментами оно подтверждено, и каких только названий этим осколкам не дадено, но... опять же, не все зарегистрированы экспериментально - технический прогресс хромает, а может границы диапазонов не пущают ::)
 

Andante


Именно так :), и я согласен со словами Фока, которые Вы приводите в приатаченном файле. Только это далеко уже не «современная трактовка», а представления полувековой давности :). В настоящее время есть значительное продвижение в понимании физического процесса (декогеренции), который ведет к появлению у систем классических черт (волны или частицы), и той исходной «первичной субстанции» (несепарабельного состояния) из которой образуется материя (в виде поля или вещества).
Свои соображения относительно волновой функции я приводил в книге http://quantmag.ppole.ru/QuantumMagic/Doronin1/26.html

-"вот вы поёте про жидкий стул , а я дома посмотрел ,у меня стулья твёрдые"
-"господи , почему я маленьким не умер "

зависит , просто именно его мы нагло дискретизируем , почему то  это вы не считаете парадоксом . догадайтесь с н раз
и подумайте , именно здесь ортогональный поворот сознания
речь идёт о степенях свободы
пространственных координат всегда одна, ещё временная , и какие то ещё 2
могли бы мы их корректно выразить , уже давно проквантовали бы ото
частица описывается -1 точкой в пр-ве -полного- описания
если мы описываем 4мерную точку 4степенями свободы ,
приплетать какое то движение то же самое , что ковыряние в носу васи пупкина в соседней галактике
 в качестве бонуса некий Д.Павлов интересно рассмотрел комплексность
  http://www.scientific.ru/dforum/altern/1228637586

весьма значимо P.S. по той же ссылочке:



о чем постоянно здесь напоминаю ::)
именно собственные открытия расширяют представления, а вот копирайты не дают ни чего нового...

Давайте еще раз взглянем на рисунок Andante.
Здесь я красным цветом написовал производную волновой функции по х (градиент волновой функции)

{d psi}/{d x} = i k psi

Здесь k - волновой вектор, а v = h k /m - скорость частицы. h - послоянная Планка, m - масса частицы.

Как видно из рисунка, модуль скорости максимален в трех точках - на краях ямы и в ее центре. На краях ямы имеет место упругое отражение частицы от бесконечно-высоких стенок ямы. В центре ямы такой стенки нет. Здесь имеет место пролет частицы из одной области в другую с максимально возможной скоростью. Это - туннельный переход. И наоборот, в окрестности зон a и b  скорость частицы замедляется до нуля. Она в этих зонах как бы приостанавливается "в раздумье".

Аналогичное поведение демонстрируют и качели. Качели в верхних точках приостанавливаются и меняют свое движение на обратное. А в нижней точке прскакивают ее с максимально-возможной скоростью.

Можно возразить, качели - это классические объект, а частица - квантовый.
Правильно. Чтобы наблюдать движение качелей, нам их достаточно осветить уличным фонарем. А чтобы наблюдать частицу, мы вынуждены рассеивать на ней квантовые объекты с такими же примерно энергиями и импульсами, как и у самой частицы.

Представте, что для наблюдения движения качелей мы вынуждены были бы использовать пушку Заречного (см. по этому поводу его монографию "Квантово-мистическая картина мира"). И по результатам рассеяния ядер судить о положении качелей. Очевидно, после такого измерения от качелей ничего не осталось бы. Как говорят физики, результат измерения приводит к коллапсу качелей.

С уважением, Валерий

Извиняюсь, забыл прицепить рисунок, Валерий

"теоретические рассчеты считаются только направлением для экспериментов, но ни как не решением поставленных задач"
То есть, уравнение Шрёдингера принципиально никак не решит задачу движения частицы в яме? Незачем было и начинать? Это новость. А за что я тогда "отлично" по квантАм получил в универе?

Для valeriy
"Здесь имеет место пролет частицы из одной области в другую с максимально возможной скоростью. Это - туннельный переход."
Чтобы тебя понять мне надо знать что ты называешь "туннельным переходом". Дай, пожалуйста, определение или расскажи своими словами.

Для С.И. Доронина
"Только это далеко уже не «современная трактовка», а представления полувековой давности"
То есть, и университетский курс квантовой физики является устаревшим? Значит, он не соответствует действительности? Я правильно понял?

нуу... :)
 квантЫ можно знать, а можно - сдать  ::)
почувствуйте разницу ;D

кста, задачку то Вы поняли? или как ;)

"кста, задачку то Вы поняли?"

Как же я её пойму, если никто толком не объясняет?

значится...
Вы квАнты сдали, а не познали... :-\
мои Вам соболезнования...

В точке М (см. рис. в ответе #30) вероятность обнаружения частицы равна нулю. То-есть, в этой точке отсутствует возможность обнаружить частицу. С другой стороны, в этой же точке модуль скорости частицы максимален. Следовательно частица проскакивает эту точку из левой, разрешенной, области в правую, разрешенную, область и обратно с максимально-дозволенной скоростью. Это и есть туннельный переход через запрещенную точку М.
Представь себе, что в точке М расположен фиктивный барьер с бесконечной высотой, запрещающий частице локализацию в этой точке. Ты возразишь, а как же быть с локализациями в эпсилон-окрестности этой точки? Высота фиктивного барьера экспоненциально спадает по мере того, как наблюдатель отдаляется от точки М.

С уважением Валерий

PS    дорогой Andante на данном форуме обсуждаются, как я понимаю, преимущественно эзотерические феномены, их связь с квантовой механикой, с квантовой информацией. Почитай, по этому поводу, книгу С.И. Доронина "Квантовая магия". Задачка же, предложенная тобой, есть только повод поговорить о квантовой механике на простом примере.

 

чтобы говорить об эзотерических феноменах, их связи с квантовой механикой, с квантовой информацией, надо понять, а не сдать, КМ и КИ :)
иначе нет смысла говорить... :-\

Любови:
"значится...Вы квАнты сдали, а не познали... "
Если Вы их объяснить не можете, то и Вы таковы же.

"мои Вам соболезнования..."
Взаимно.

Valeriy
"В точке М...вероятность обнаружения частицы равна нулю. То-есть, в этой точке отсутствует возможность обнаружить частицу. ... частица проскакивает эту точку".
Слово "проскакивает" имеет смысл "мимо" ("в обход", "огородами")? Частица (таки частица, а не волна или дуализм) не появляется в этой точке? Слева от точки, как угодно близко к ней, частица бывает, справа так же, а в самой точке разрыв? Частица исчезает в никуда, а потом снова появляется? Я правильно понял? Именно это и называется "туннельный переход"?

Valeriy
"дорогой Andante на данном форуме обсуждаются, как я понимаю, преимущественно эзотерические феномены, их связь с квантовой механикой, с квантовой информацией. "
Это такой намёк что я здесь веду недозволенные, неполиткорректные речи? И мне бы надо это прекратить? Или я неправильно понимаю иносказания?

Всем
Интересно, а ведь суть моих вопросов увидела только Pipa, остальные, мне кажется, даже не поняли вопроса. А ответов и вовсе нет.
Ау, уважаемые ветераны форума, кто-либо может объяснить мне суть моих заблуждений и разрешить противоречие или предпочитаете отмолчаться на неудобные вопросы?

Вам не достало моих объяснений?
увы, понять за Вас  я просто физически не могу :'(
расхожее заблуждение: если ученик не понял - плох учитель, но отчего-то у хорошего учителя далеко не все ходят в отличниках :-\
потому, возникает вопрос: хорош ли Ваш ::)
ежели Вы сдали на отлично, ни чего при этом не поняв...
одна моя однокурсница самокритично говаривала, что она преподает то, что не понимает...
а преподавала она физику, правда... в институте геодезии и картографии... :-[
бывает... :o

а Пипа предоставила Вам картинки орбиталей... на Вашу задачку похожи они лишь отчасти... а изучают их в курсе общей химии... как мне помнится, на первом курсе 8)

Для Любовь
"Вам не достало моих объяснений?"
Каких объяснений? Я их не вижу.

Для Vlat
Ну, если ты понял "нечто большее", "накопил ОБЩУЮ базу знаний" и т.д., то тебе не составит труда объяснить в чём моя ошибка? Пожалуйста, очень жду!

   Ответ тоже не корректен, ибо в противном случае можно было бы спросить: "если не перемещается, то где же она находится?". Какой смысл было бы описывать положение частицы вероятностной моделью, если бы она все время находилась на одном и том же месте, не перемещаясь?


   Да, это так, но не снимает вопроса Andante. Ведь тест на частицу мы можем сделать не один раз, а несколько. Если в один раз мы ее обнаружили в одной из частей пространства, а другой раз в другой, то приходится признать, что она все-таки смогла переместиться, минуя ту область, а которой она НИКОГДА НЕ ПОЯВЛЯЕТСЯ :). Это именно тот парадокс, о котором вопрошает Andante.

   Кроме того, напряженность электрического поля вокруг этого феномена такова, будто бы частица буквально размазалось в пространстве, одновременно присутствуя во всех областях, где она может быть обнаружена. Об этом, в частности, свидетельствует достаточно жесткая геометрия молекул, когда одна половинка "восьмерки" образует химическую связь с другим атомом, а другая такой работой не загружена.

повторюсь...
1. задача про одномерную потенциальную яму и частицу в ней...
при чем тут химия и геометрия молекул?
2. задача решается в квантовой физике, а не в классической...


а как Вы кванты то сдать умудрились :o да еще на отл?

Для тех, кому непонятна связь между между формой распределения плотности вероятности и геометрией молекул.

   Здесь дело в том, что углы между химическими связями в молекулах определяются исключительно расположением пространстве тех "восьмерок" или "гантелей", которые представляют собой распределение электронной плотности в атоме. Собственно и красочная картинка 3d_z² орбитали является одним из таких распределений для атома с незавершенной d-оболочкой.
   Химические связи "растут" как раз в том направлении, куда торчат "лепестки" электронной плотности. Например, в молекуле воды угол между обеими водородами составляет 104.5 угловых градуса (водороды держат голубенькая и желтенькая "восьмерки"):
(http://quantmag.ppole.ru/ris/molekwater2.jpg)
   Здесь мы наблюдаем все те же "гантельки", только они уже заняты работой - "держат за ручку" протоны. Причем держат настолько крепко, что требуется очень большая энергия, для того, чтобы хотя бы несильно сжать или раздвинуть этот угол. Величина потребной для этого энергии легко рассчитывается исходя из резонансной частоты соответствующего колебания (ножничное деформационное), и приходится на зону ближнего инфракрасного диапазона. Будь молекула воды размером с кулак, то вряд ли бы нашлись в мире такие тиски, в которых можно было бы согнуть водородные связи.
   Все это свидетельствует о том, что распределение электронной плотности (а в общем случае это относится к любой квантовой частице) не математическая фикция, а вполне реальный факт. Причем, здесь мы имеем не только вероятность обнаружения электрона в пространстве, но и вполне реальную форму электрического поля, проявляющего свои свойства более, чем наглядно.
   С вопросом Andante это связано еще и тем, что если бы электрон "загорал" в противоположной части распределения, то соответствующий протон, которого он должен "держать на ручку", потерялся бы. В то время как этот протон еще труднее оторвать, чем отогнуть от другого. Кроме того, методами протонного магнитного резонанса (ПМР), в части которого С.Доронин большой спец, легко показать, что электронная плотность вблизи протона постоянная, а не колеблется, как если бы электрон время от времени улетал на другую сторону.

еще раз повторяю...
в условие задачи ни про атом ни про протон речи не идет - рассматривается бесконечная потенциальная яма, более того для простоты решения рассматривается одномерный случай...
задача из курса квантов...

Andante - Каких объяснений? Я их не вижу.

Любовь - а как Вы кванты то сдать умудрились  да еще на отл?

А, так это Вы мне кванты читали 15 лет назад? Не признал, не признал.

Для Pipa
Если электрон "туннелирует" из одной гантели в другую не исчезая, то с какой скоростью происходит этот перенос массы? Получается надо разделить ненулевое расстояние на нулевой интервал времени? Тоже как-то оно "не так"...

   Это так только в теоретическом случае, если понимать частицу, как материальную точку. А ведь скорее всего это не так. Вместо частицы может быть "волновой пакет", которые выглядит компактно только тогда, когда он относительно автономен.
   Сам Шредингер был, по сути, волновик. Т.е. предпочитал рассматривать такие явления с волновой точки зрения. Ведь всё началось с того, что он подверг сомнению, что при излучении электрон мгновенно  ПЕРЕСКАКИВАЕТ с одной орбиты на другую. В своей статье (там где выводится уравнение Шредингера) он указывает на то, что изменение формы волны может происходить НЕПРЕРЫВНО, и это "значительно более удовлетворительно, чем представление о перескакивающем электроне" (точная цитата).
   Фактически, уравнение Шредингера - это волновое уравнение. И лишь только поклонники корпускул трактуют его как вероятность нахождения абстрактной точечной частицы в точке пространства. Но никто ведь не ловил частицу в конкретной точке потенциальной ямы! Понимаете? Такова лишь формальная интерпретация уравнения. Поэтому я и напираю не на формализм решения, а на физический СМЫСЛ. А смысл нам раскрывается не на пути решения уравнения, а именно в тех реальных ситуациях, которые я приводила.
   Вы совершенно правы в том, что любая математическая модель должна анализироваться на физический смысл по крайней мере в точках нуля, изменения знака и точках разрыва. Поэтому ваш вопрос не только правомерен, то является именно тем, который должен возникать у физика.
   Возможна и такая трактовка, что в точках нуля "частица" просто не определяется :). Типа того, что она там бывает только "проездом" :), но в этом месте ни с чем не взаимодействует. Как в пословице "пока я ем, то глух и нем". Монетка ведь тоже никогда не выпадает на ребро, а только на орел или решку. Т.е. в состоянии "ребро" она тоже бывает, но, как и в нашем случае, поймать ее в этом состоянии не представляется возможным. Так и получается нулевой "провал" между двумя состояниями, в которых одна и та же монетка может пребывать равновероятно при серии бросков. 
   По идее пси-функцию надо не в квадрат возводить, а перемножать пси-функцию "частицы" на пси-функцию того, что с ней взаимодействует (умножать надо на комплексно-сопряженное, но это не принципиально). Вот только тогда мы узнаем, произойдет взаимодействие или нет. А когда мы пытаемся рассматривать абстрактный случай "готовности к взаимодействию" с_тем_не_знаю_с_чем, то приходится прибегать к таким ухищрениям, как вычислять взаимодействие себя с собой. Отсюда и берется тот самый дурацкий :) квадрат модуля.
   В физическом смысле взаимодействие выглядит как СОВПАДЕНИЕ ФАЗ обоих взаимодействующих "сущностей". Если фазы никогда не совпадают, то они никогда и не взаимодействуют. Ведь не падает же электрон на ядро, и атом нельзя разрядить как конденсатор. С этой точки зрения сущность ведет себя как волна, а не как частица. В конце концов, понимание электрона как некоторого поля находится в отношениях эквивалентности с представлением о "плотности вероятности". Только тогда эту плотность надо понимать не как возможность выловить частицу в точке пространства, а именно в полевом смысле, как плотность электрического поля в данной точке. Ведь в случае, например, магнита мы не решаем дилеммы, по какой траектории движется северный полюс :). А в отношении к (элементарному) электрическому заряду такую задачу мы почему-то пытаемся решать. А ведь если бы электрон и в самом деле был локализован только в одной точке, то мы не могли бы обнаружить его на расстоянии. А мы его обнаруживаем по его электрическому полю. Так может он и есть это самое электрическое поле, а тот генератор поля, который мы пытаемся обнаружить в центре, на самом деле не существует?
   Впрочем, вы вправе не задумываться обо всем об этом, а подходить к вопросу формально как к задачке на "кванты" - найти "официальный" ответ и на этом успокоиться.

задачка на электростатику  ;)
виртуальный имеет нулевую частоту

Для Pipa
1 Спасибо что не перестаёте мне отвечать  :)
2 Я всё же не понял вот этого: в точках нуля "частица" просто не определяется . Типа того, что она там бывает только "проездом". Она не может там быть, уравнение это запрещает! Совсем не может, ни проездом ни на ПМЖ. Вот в чём дело.
3 Если это не частица, а волновой пакет, то, например, первая боровская орбита с разной вероятностью распределена, говоря строго, по всей Вселенной. Значит, я понимаю, что и волна распределена так же? А ведь волна это масса и чтобы распределиться по всему пространству с постоянно уменьшающейся, но ненулевой плотностью, она, масса не должна квантоваться, потому что всегда найдётся такая точка (маленькая область пространства), в которой масса должна быть меньше любой наперёд заданной величины. Это распределение по всей Вселенной само по себе невероятно, но даже если это допустить, то как эта массивная волна так быстро схлопывается в компактный пакет при ионизации атома?

Что касается "официального" ответа, то я его получил будучи студентом 16 лет назад. А сейчас я сам для себя хочу разобраться.

а за 16 лет не удосужились :o

при таком раскладе можно и иначе поговорить...
Вас устроит объяснение в терминах проекция на 3-х мерное пространство ::)
так вот как проекция зона не обязательно должна быть сплошной...
 на энергиях, соответствующих 3-мерному простанству частица просто в этих местах будет "выпадать в осадок"...

   Я думаю, что следует отличать смысл слов "бывает" и "определяется". Т.е. полагаю, что частица может "бывать" в таком состоянии (и в том числе расположена в пространстве), в котором ее обнаружить нельзя :). Дело в том, что "обнаружение" является ДИСКРЕТНОЙ величиной. Т.к. допускает только два крайних значения - "определяется" и "не определяется", а в промежуточных состояниях быть не может.
   При этом мы попадаем в одну из стандартных для нашего мира ситуаций, когда ПРИЧИНА является непрерывной величиной, а СЛЕДСТВИЕ - дискретной. До тех пор, пока существуют в мире дискретные состояния, мы будем искать им причины. И такие причины зачастую могут иметь непрерывный характер.
   Например, возьмем электрическое реле. Его контакты либо замкнуты, либо разомкнуты - т.е. выход реле является дискетной величиной. Однако ток в катушке этого реле (который своим магнитным полем притягивает якорь, замыкающий контакт) - имеет непрерывный характер. Из-за этого при увеличении тока в катушке до некоторого порога, якорь "примагничивается" к сердечнику и замкнет контакты. Аналогично процесс идет при понижении величины тока - там тоже при пересечении порога (в общем случае другого, т.к. реле обладают ярко выраженным гистерезисом) сердечник "отпустит" якорь и контакты разомкнутся.
   Подобных примеров  можно привести множество. Например, до какого-то тока плавкий предохранитель выдерживает, а потом сгорает. При этом он либо проводит ток, либо его не проводит, но в промежуточном состоянии быть не может.   
   Такого рода принудительная дискретизация встречается в природе очень часто, будучи обусловлена существованием некоторых барьеров (например, энергетических). Из-за этого наблюдается качественный скачок при преодолении такого барьера. Вот этот самый скачок и составляет суть эффекта дискретизации.
   В нашем случае акт обнаружения тоже является дискретной величиной, т.к. промежуточного значения не допускает. Из-за этого тут тоже получается эффект "округления", когда до определенного предела мы наблюдаем ноль, а выше его - единичку. Это происходит из-за того, что в данном случае имеет место АКТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, а не банальное нахождение частицы в точке. Строго говоря, в одной точке она никогда не бывает, а представляет собой некий волновой сгусток (пакет), плотный в центре и разряженный на периферии. Тоже самое придется сказать и о детекторе. Вот и получается как у прохожих на улице - люди сталкиваются между собой только тогда, когда столкновение происходит лоб в лоб. А если зацепили друг друга боком, то это не считается - каждый продолжит свой путь, как ни в чем ни бывало.
   Если мы начнем исследовать поведение вблизи самого порога "под микроскопом", то можем обнаружить у реле явление дребезга, когда при пороговом токе контакты стучат, как зубы :). Вот это уже область вероятности. В этом диапазоне с увеличением тока характер дребезга непрерывно (!) меняется - время пребывания контактов в замкнутом состоянии растет, а время пребывания в разомкнутом - падает. Образуется своего рода "поле вероятности", подобное распределению в пространстве пси-функции. Точно так же, как отбивают свою дробь контакты, обнаружение частицы тоже становится неустойчивым - то одна определяется в этом месте, а то не определятся. Т.е. наш детектор, призванный обнаруживать частицу, будет вести себя, как дребезжащий контакт реле.
   Взаимодействия на квантовом уровне почти всегда "дребезжат", из-за чего их положение в пространстве (как и некоторые другие характеристики) описываются вероятностной функцией, а не булевой. Контакты реле никуда не пропадают, даже тогда, когда они не замкнуты. Точно так же никуда не пропадает и наша частица, когда детектор ее не обнаруживает. Т.е. то "переходное" состоянии (там где пси-функция равна твердому нулю) частица "бочком" все-таки проходит, только детектор ее в этом месте никогда не обнаруживает, т.к. "в лоб" с ней там столкнуться ему не удается.
   Я уже раньше приводила пример в подбрасыванием монетки, которая не детектируется в положении "на ребре", хотя она в этом положении, несомненно, бывает. Вот и здесь, скорее всего, такая же ситуация. Ну нет в этом месте нашего волнового пакета "пучности" - вот детектор и не видит его в упор, принимая за пустое место. Что-то подобное бывает в море во время тайфуна - кругом волны до небес, а на крохотном пятачке в центре - полный штиль. Это не значит, что тайфун обошел то место стороной - оно тоже ему принадлежит, но вода там неподвижна, т.к. здесь нулевая равнодействующая тех сил, которые бушуют на периферии.


   А масса и не квантуется :). Всё происходит примерно так, как вы сказали: объект размазывается, чуть ли не по всему пространству. Тем не менее, скорость взаимодействия в нашем мире ограничена скоростью света. Поэтому, когда мы начинаем перемещать этот объект (а точнее - придавать ему ускорение), то его тормозит (в смысле сопротивляется) как раз то, что его тело размыто. Ему буквально приходится вытаскивать части своего тела из окружающего пространства как корни из земли, и именно из-за этого такой объект не удается разогнать до скорости света. Не объект представляет собой массу, а сам эффект массивности состоит в ИНЕРЦИИ, связанной с тем, что объекту приходится подтягивать свои удаленные тылы. Будь объект не размазанным, а сосредоточенным одном месте, то у него не было бы инерции, а значит и массы. Фотоны и нейтрино как раз из числа последних.

P.S. В сообщении приведены мои личные интерпретации, а потому не стоит считать, что я излагала позицию науки на этот счет.

Пипа пишет:
, "бочком" и проходит в дамки :o

Пипа, не кажется ли тебе, что наш "отличник с 16 летним стажем в КМ" является отличным экземпляром в коллекцию Quantum Angel из раздела Эзотерика?

А теперь я обращаюсь к Пипе, нашему специалисту по КМ:

Полагаем, волновая функция - математический объект (не наблюдаемый в эксперименте). Может быть измерена, только частично, плотность вероятности - квадрат волновой функции (точнее произведение волновой функции на ее комлексное сопряжение). И так же, следует проводить длительную серию испытаний. Как при подбрасывании монеты - из единичного испытания мы не можем сделать вывод, что появление герба или решки равно 0.5. Но даже в длительной серии испытаний можно говорить только о частоте появления герба или решки, но не о вероятности. Вероятность - есть результат проведения, строго говоря, бесконечного числа испытаний.

А теперь представим, что частица, подобно блохе, скачет по всей зоне разрешенных состояний (это две области, расположенные слева и справа от так-называемой запрещенной точки М, точки где плотность вероятности обнаружения обращается в нуль). Что значит скачет? Ее движения описываются волновым уравнением, согласно которому, скорость ее движения представляется градиентом от волновой функции. Но на самом деле эта скорость просто ее среднее. А реально, из-за флуктуаций вакуума, существет некоторая неопределенность. Именно в этом смысле можно говорить, что частица скачет. Только в те моменты когда она "замирает" в предвении очередного скачка, только в этот момент ее можно зафиксировать прибором. В момент скачка она "не видна". И следовательно в те моменты, когда она перескакивает через точку М, она также исчезает из поля зрения. Это в некотором роде эквивалентно подбрасыванию монеты. Пока она вертится в подброшенной фазе, мы не видим ни герба ни решки. И только в моменты приземления может быть зафиксировано какое-то одно положение.
Таким образом, флуктуации вакуума вносят неопределенность в движения частица. А как же решения волнового уравнеоия? Они позволяют оценить только вероятностные ее состояния.

Для того чтобы попасть ко мне в коллекцию,надо иметь определенный образ мышления.  ;D Широкий охват смыслового поля.  :P

   Ничуть не кажется. Человек, который замечает противоречия там, где другие проходят мимо, и пытается с ними разобраться - не может быть экспонатом эзотерической коллекции. Скорее на роль таких экспонатов претендуют ура-патриоты "Квантовой Парадигмы", которым, даже не разбираясь в квантово-механической премудрости, все абсолютно ясно - квантовая физика в лице Доронина подтвердила бытие их Бога и потустороннего мира. И теперь они с чистой совестью могут ему молиться. Вместо Библии - книга Доронина. А что не понимают они того, что там написано - не велика печаль - чем туманнее книга, тем сильнее чувство приобщения к таинству. Что еще таким людям надо для счастья?
   

   Не такой уж я специалист в этом деле. Если нужен специалист, обращайтесь к Доронину.


   Думаю, что тут не стоит заниматься буквоедством. Называть это вероятностью можно, не смотря на ваше верное замечание о том, что в серии испытаний мы можем получить не вероятность, а только математическое ожидание. Тем не менее, не оставляет сомнений обстоятельство, что этот процесс вероятностный. Сомневаться можно лишь в точности определения этой вероятности. Т.е. вероятность здесь все равно имеет место, несмотря на то, что оценивают ее по ограниченной выборке. А потому допустимо говорить, что герб и решка у монеты выпадают с определенной вероятностью. Вот только приводить величину этой вероятности приходится с оговорками на допустимую погрешность измерения. Однако точно такая же картина существует в физике повсеместно, поскольку ни одно физическое измерение невозможно произвести с абсолютной точностью.     
  Кроме того, приходится взглянуть в глаза той правде, что в действительности никаких повторных испытаний, а уж тем более серий из испытаний с улавливанием частицы не производятся. Ведь поймав частицу однажды, вы ее фактически убиваете в старом качестве. Ведь вы уже не можете ее запустить на старую траекторию движения точно с того же места, в котором поймали. Поэтому квантовое уравнение волны дает действительно вероятность, ибо она рассчитывается там из чисто теоретических соображений, а не посредством серии экспериментов по улавливанию. Точно так же, как когда говорят, что вероятность вытащить туза пик из колоды в 52 карты равна 1/52, поскольку такой туз там один. Эта вероятность абсолютно точная, т.к. точно также рассчитана на модели, а не получена в экспериментах с реальной колодой засаленных карт :). 


   Мне не кажется ваша модель правдоподобной. Я это представляю совершенно по другому. Представьте себе единственный автобус, движущийся с ПОСТОЯННОЙ скоростью по маршруту, имеющему форму восьмерки. Если скорость автобуса V, а длина пути S, то вероятное время ожидания автобуса на остановке будет равно S/V/2, т.е. половине времени, потребного для прохождения всего маршрута. Если повезло - автобус подойдет сразу, а если не повезло (автобус ушел из под самого носа), то придется ждать все S/V часов. Вот в среднем и получается половина.
   Такое среднее время ожидания (которое можно при желании пересчитать на вероятность появления автобуса) будет наблюдаться во всех точках маршрута, кроме ... центра восьмерки – там, где пути маршрута перекрещиваются. В этой точке автобус появляется вдвое чаще, потому, что проходит эту точку дважды за время полного маршрута. В этой точке появление автобуса более вероятно, чем в других, несмотря на то, что движется он с одной и той же скоростью.
    Всё дело в маршруте! Если сделать маршрут, как у цветка ромашки о двенадцати лепестках, то в ее центре автобус будет появляться уже не вдвое чаще, а в 12 раз чаще, чем на периферии.
    А теперь представим себе, что это не автобус, а пчела роится возле своего улья. Причем летает так быстро, что за полетом ее мы уследить не успеваем, а лишь пытаемся ловить ее сачком, размером с ... напёрсток :). И здесь, представьте себе, вероятность поймать ее у самого летка будет гораздо выше, чем в километре от улья. Несмотря на то, что пчела улетает от улья и на еще большие расстояния. Здесь тоже все маршруты пчелы за медом сходятся вблизи летка, из-за чего "плотность вероятности" пчелы там будет выше.
    Теперь представим чисто теоретический случай, как если бы пчела жила на два улья, расположеные в километре друг от друга. Собрав нектар, она несла бы его поочередно то в первый улей, то во второй, по очереди. Тогда бы мы своим наперстком могли отлавливать пчелу возле каждого улья, но поймать ее посредине между ульями не могли.
    Чтобы оценить вероятность поймать пчелу между ульями проведем прикидочный расчет. Объем всего пространства, куда пчела в принципе может залететь, по порядку около 10 кубических километров, а объем нашего наперстка - 1 кубический сантиметр. Делим второе на первое и получаем 10^-18. Смотрите какая изчезающе малая вероятность получилась! Но такая вероятность была бы только тогда, когда бы пчела РАВНОМЕРНО бывала во всех точках этого пространства. Однако, как было продемонстрировано выше, пчела чаще бывает у летка, чем в середине между ульями. Если предположить, что вероятность нахождения пчелы падает пропорционально квадрату расстояния от летка, то оценка нашей вероятности окажется еще, по меньшей мере, в квадрат меньше. Вероятность поимки пчелы наперстком в центральной точке между ульями подбирается к такой цифре, которая делает поимку практически невозможной. А если изобразить плотность вероятности на графике, то получим волнообразную картину - вблизи ульев будет наблюдаться всплеск, а посредине между ними провал.     
    В отличие от пчелы наша частица еще мельче размером, и потому ловим мы ее уже не наперстком, а чем-то неизмеримо меньшим. Из-за этого попытки ее поймать там, где она бывает редко, становится настолько мала, что практически от нуля ничем не отличается.
    Кроме того, волновое уравнение это не уравнение движение частицы, а нечто вроде условия стационарности. При этом мы исходим из предположения о том, что вероятность пропорциональна "устойчивости" положения. От этого неустойчивые (нестационарные) траектории полагаются невероятными. Ровно по той же самой причине "ребро" не рассматривается как альтернатива "орлу" и "решке". К сожаление ничего кроме условия стационарности у нас нет, т.к. траектория движения частицы нам неизвестна. Поэтому в модели с пси-функцией центральная точка будет иметь не приблизительный, а точный нуль. Но этот нуль отражает процесс моделирования вероятности, но не траекторию движения частицы. Т.е. в центре она все-таки изредка пролетает, но наша модель не может учесть этот факт.


   Думаю, что флуктуации вакуума тут ни при чем, поскольку неопределенность в движении частицы абсолютна - т.е. мы СОВЕРШЕННО не знаем, как она движется! Волновое уравнение - не есть уравнение движения, а лишь математическое выражение для вычисления плотности вероятности, которая зависит от замысловатой и полностью непредсказуемой траектории движения частицы. Можно лишь с относительной достоверностью утверждать, что у этой частицы есть свои "любимые" траектории (маршруты), благодаря чему в одних местах она явно встречается чаще, чем в других. В определенном смысле, эти любимые маршруты частицы сродни вашим любимым Бомовским траекториям :). И поэтому вероятность нахождения частицы выше там, где эти траектории пролегают гуще. Что-то типа автомобильных дорог, сеть которых гуще в черте города, чем в среднем по стране. Оттого-то там машины и встречаются чаще :). По этим причинам, зависимость скорости движения частицы от градиента волновой функции представляется мне неверным утверждением.

сие вполне достоверное заявление...
потому и исключает предыдущий абзац как ложный 8)

понимаете ли, Пипочка...
 КМ можно в некотором приближении объяснить на пальцах - на классических моделях...
но это не значит, что эти объяснения могут в полной мере объяснить КМ...
 потому КМ - это таки не классическая физика, а КМ...
чтобы понять КМ, надо не побояться включить ощущалки иные, чем органы чувств физ. тела, и помнить, что полученные на них ощущения не стоит протаскивать через упомянутые органы, потому... как в результате такого действа будут получены проекции тех истинных для той ипостаси ощущений на физ.план, органы чувств сработают как дешифраторы... прессующие пространство в плоскость...
а от пространства останется только интуиция, которую еще надо понять - как к полученной плоскости приставить :-\

полагаете, осознание сингулярности было для меня просто? - пришлось испытать не хилый дискомфорт, переделывая себя...
 как Русалочке, которой оч нужно было ходить по суше...
ментальные боли не слабше...

Это замечательно. Это геройство. И каков же результат? Что проку от твоих усилий, если ничего путного наружу выделить из себя не можешь? Кроме как фразы из транса, упоминаемой Лемом: "Мазуки в скипидаре присевают"..

А то ты, как трутень, все под себя гребешь, а в культурал выдаешь фуфло типа -


И что ты этим сказала? Кому в чем помогла? Что надо быть умненьким и благоразумненьким? Так ты у нас будешь тогда Главным Буратино...  ;D

то что фуфло для Вас, уважаемый, кому-то может оказаться полезным 8)
а Буратинкой быть не зазорно...
собственно, именно ими мы и являемся в непознанном :P

Пипа пишет:

С этими утверждениями я согласен - волновое уравнение вычисляет амплитуды вероятностей и фазовые сдвиги (они ответственны за интерференционные эффекты). Поэтому, когда мы вычисляем плотность вероятности, то там, где она дает нуль, это не означает, что частица не проскакивает данную точку. Это вычисление дает математическое ожидание обнаружить частицу в данной точке. Но есть еще дисперсия, которая показывает величину разброса достоверности вокруг этой точки.

Ну а на счет флуктуаций вакуума, как не имеющих отношения к квантово-механической системы, ты немного не права. Фейнмановские интегралы по путям эти флуктуации даже очень учитывают. Дисперсия, упомянутая выше, по сути, представляет оценку вклада всевозможных отклонений от пути, оцениваемого математическим ожиданием.

Для Pipa
Аналогия с пчёлами симпатичная ) Вот на ней я и попробую объясниться.
Пусть потенциальная яма это поляна в лесу, на которой летает пчёла-электрон. Поляна длиной 1 км и шириной 3 см, считаем, одномерная. Посередине поляны мы натягиваем целлофановую плёнку, она по сравнению с длиной поляны тонкая. Уравнение Шрёдингера заявляет, что сквозь плёнку пчёла не пролетает, однако, это же уравнение добавляет, что пчела, всё же, появляется с обоих сторон плёнки с равной вероятностью. Как? Непонятно. Невозможно! Очевидно, пчелой это объяснить не удаётся.
Если взять вместо пчелы звуковую волну, которая без потерь бегает в воздухе поляны, тогда да, можно себе представить что эта волна без ограничений делится на любое количество частей и эти части отражаются эхом и от леса и от плёнки. Это ещё куда ни шло. Однако, сразу возникает вопрос а волной в какой среде является электрон? В мировом эфире? Так его давно «отменили» релятивисты. И здесь нет ответа.
Если предположить что электрон-волна это не колебания эфира, а некая волна, некое волнообразное распространение некой «вещи в себе», тогда вместо звуковой волны в воздухе надо заполнить поляну туманом. Туман будет являться аналогией электрона, «размазанного» по яме, плотность тумана это функция Пси. Но и в яме конечной глубины ситуация получится принципиально такая же. Ямой конечной глубины для электрона является, например, кусок металла. Электрон распределён, говоря строго, по всему куску, потому что так распределена его Пси-функция. В любой части балки есть «кусочек» электрона. Тогда пусть есть стальная балка длиной 10 м. К торцу балки на расстояние 1 мм я поднёс каплю радиоактивного вещества и в случайный, непредсказуемый момент времени из капли вылетает, например, нейтрон со скоростью порядка 10^7 м/с, который выбивает с поверхности балки в окружающее пространство первый попавшийся ему на пути электрон. За время взаимодействия, очевидно, та часть «размазанного» электрона, которая находилась в этот момент на дальнем конце балки, не успеет прилететь к ближнему концу, потому что для этого ей надо преодолеть скорость света. Тогда как «размазанный» по всей балке электрон успевает собраться в точку за пределами балки? И, заодно, что это за упругая сила его «сворачивает»? Снова я не вижу объяснения.