Помогите понять частицу в потенциальной яме

[Andante]

Прошу помощи в решении такого вопроса:
классическая задачка: частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины. Решения есть в Интернете во множестве, например,
http://teachmen.csu.ru/work/lectureSQ/
http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1174320&uri=page4.html
http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_2_Quant_ther/Chapter_10/Chapter10.htm

Решение уравнения Шрёдингера я не обсуждаю, не в этом дело, интересен итог решения. Он говорит, что частица на втором уровне энергии (n=2) имеет функцию распределения в форме двух горбов с нулевыми точками (обозначены красным) по краям и в середине.

Я не понимаю вот что. Если частица находится, например, слева от центральной нулевой точки (между точками L и M), то как она переходит в правую половину отрезка? Ведь согласно тому же решению, вероятность пребывания частицы в середине отрезка, в точке M, равна 0, частице там бывать запрещено. Ведь частица не может слева от точки исчезнуть, а справа появится, это нарушение закона сохранения массы. Должен остаться только один горб, или слева или справа, а не два.
Как понять это решение?

[Любовь]

мдяа...
 рубленное рагу из частицы, однако

а о чем волновая функция, собственно говоря, говорит?
и ваще, что она такое?
 что такое волновое и корпускулярное представление? - ась?
 кванты почитай для начала
а то и в дурку угодить можно с такими раздумьями...

[неку]

15 раз график посмотрели -ого
ладно , не глядя  , вопрос то на самом деле непростой
можно сказать про стоячую волну , шарик на пружинках в яме - при резонансе
н=2 открываем яму , а он как кошка либо там либо там
но переход волны через ноль без ур-ний максвелла чо то навскидку и не объясню 

[valeriy]

Прежде всего следует обратить внимание, что задача о поведении частицы в прямоугольной бесконечной яме сформулирована в одномерном срезе, т.е., волновая функция является функцией x, но не y и z.

Реальное пространство является трехмерным. В данном же случае рассматривается математическая модель. Каким боком данная модель может иметь отношение к реальности. Представте, что потенциальная яма, "выкопанная" от стенки x=0 до стенки x=X1, это на самом деле траншея, которая тянется от y=-бесконечность до y=+бесконечность. Тогда волновая функция будет однородной по координате y.

Данное предложение не должно очень напрягать читателя. Вспомните интерференционные эксперименты на N-щелевом экране, протянутом вдоль оси x. Сами щели - это узкие прорези, которые тянутся от  y=-бесконечность до y=+бесконечность. Именно это позволяет рассматривать интерференцию, как явление, которое можно представить в полоскости x,z  и не учитывать еще рассеяние в направлении y.

Теперь по поводу траншеи, имеющей ширину X1 и протянутой по оси y.
В частности, такая траншея может выполнять функцию волновода для электромагнитных волн, если ее стенки являются идеально-зеркальными. В данном случае оговаривается, что потенциал является бесконечным.
Теперь, если обратиться к теории волноводов, в волноводе могут быть возбуждены волны высшего порядка - n=2, 3, ..... 
Для примера, здесь я показываю рисунок wave2.jpg
Условно, здесь изображено поле волны (красным цветом),  порядка n=2, существуещее в этой траншее. В средней части этой траншеи, распределение поля повторяет ту самую волновую функцию, вычисленную в одномерном случае для  n=2. Только на краях траншеи наблюдается ее искажение. Впрочем, при решении в двумерном случае, мы получили бы это самое распределение.

Теперь по поводу частицы с массой, поведение которой должно подчиняться тому, что дает волновая механика. Прежде всего, частица имеет отличнуй от нуля импульс P_x, но вдоль оси y ее импульс равен нулю - P_y=0. Отсюда следует, что длина волны по оси y бесконечна, т.е., lambda_y = 2 pi h / P_y = бесконечность.
Здесь pi=3.14, h - постоянная Планка.
Таким образом, частица размазана по всей длине траншеи - она здесь и там. Как такое может быть, если P_y=0. Это есть один из удивительных признаков квантовой механики. По сути, это - следствие принципа неопределенности delta P_y * delta y >= h. Так что, если delta P_y = 0,
то delta y ~ бесконечность.

Так что, частица осуществляет квантовое туннелирование вдоль траншеи, как это говорит квантовая механика (смотри красные полевые линии на рисунке wave2.jpg). Слово туннелирование я употребил, для того чтобы подчеркнуть, что это не является простым блужданием по оси y, поскольку, как было замечено выше, P_y=0.

Здесь, как можно догадаться, волновое решение вдоль траншеи (красные полевые линии) представляет собой тор - простой тор, сильно вытянутый по оси y.

Для случая n=3 топологическим образом волнового решения является восьмерка сильно вытянутая с левого и правого бока.

Частица тунеллирует по ручьям, задаваемым такими топологическими объектами. Это тот самый образ цастицы и пилот-волны, отстаиваемый Луи де Бройлем. Но как только частица зафиксирована детектором в каком-либо месте этой траншеи, данный топологические объект, представляющий волновую функцию, исчезает (коллапсирует).


Резюме:

 реально мы имеем дело с трехмерным физическим пространством состояний. Иногда теоретическое упрощение задачи позволяет ее свести до одномерного пространства. Но в этом случае поведение квантового объекта в оставшихся пространстивах должно быть однородным, трансляционно инвариантым.

С уважением Валерий

[Любовь]

valeriy

имхо...
 автора темы не удовлетворили решения, представленные в инете, сами по себе, потому как там - именно решения и объяснение решений, а ему не хватает понимания: почему предполагается именно такое решение...
 
советую автору темы в этом плане почитать лекции Фейнмана, том не помню, но там речь идет о том, что такое решение, как оно зависит от модели, как выбор модели зависит от граничных/начальных условий и что такое ваще моделирование в плане решения задач...
ну и, конечно, разобраться как волновое и корпускулярное представления повязаны с моделированием...

еще можно не просто представлять процесс механистически, но довериться своему воображению, не загоняя его в жесткие рамки собственных представлений... и тогда можно отследить реальный процесс в картинка, если оч захотеть

[Pipa]

реально мы имеем дело с трехмерным физическим пространством состояний. Иногда теоретическое упрощение задачи позволяет ее свести до одномерного пространства. Но в этом случае поведение квантового объекта в оставшихся пространстивах должно быть однородным, трансляционно инвариантым.

   Валерий в своем ответе все правильно сказал, но на вопрос не ответил. И даже более того - попытался проблему замазать.
   То, что проблема тоннельного перехода формулируется в одномерном варианте - это лишь наглядности ради, а вовсе не потому, что частица обходит барьер по другой координате, что в проекции на ось X не видно. Если Валерий действительно так считает, то это еще хуже, чем честно признаться в наличии парадокса.
   В том-то и парадокс, что области пространства, где пси-функция отлична от нуля, вовсе не обязательно должны быть связными. Причем это касается не только задачи, урезанной до одномерного варианта, но и полноразмерного варианта.
   Я когда-то на этом форуме уже приводила теоретические формы электронных орбиталей в атоме. И теперь просто повторю ту картинку:

   Вот та синенькая гантелька на рисунке - относится к ОДНОЙ и той же пси-функции! И тот разрыв, который имеется между верхней и нижней половиной, - вполне реальный. По крайней мере, теоретическая формула для этой орбитали в самом центре этой конструкции тождественна нулю. И несмотря на то, что другого пути, кроме как через эту точку, между верхней и нижней половинками гантельки нет, один и тот же электрон может быть обнаружен как в верхней, так и в нижней части гантели.
   Парадокс, позволяющей квантовому объекту "перескакивать безжизненное пространство" и в  самом деле имеет место в реальности, хотя Andante в своем вопросе путает плотность вероятности и путь по которому движется частица. Все-таки плотность вероятности есть нечто другое. Вероятность вполне позволяет происходить двум исходам, минуя промежуточные формы. Или запрещать какое-то "серединное" состояние. В то время как путь и в самом деле бывает только непрерывным. Смешивание этих понятий как раз и приводит к парадоксу телепортации. Например, брошенной монетке разрешается выпадать орлом или решкой, но запрещается ложиться на ребро. В этом случае орел и решка оказываются тоже разделены областью запрещенного состояния, делающей переход из одного состояния в другое дискретным.

[valeriy]

Да Пипа,
твой пример более красочен и нагляден, чем тот одномерный случай, который привел Andante. Но вопрос, который поднимает Andante, полагаю, затрагивает глубокие пласты квантовой механики, чем это может показаться с первого взгляда. Вопрос не в том, почему такие решения дает квантовая механика, а в том, как понять смысл этих решений. Даже ученые, стоящие у колыбели квантовой механики, признаются, что решения мы получаем правильные, а что за этим стоит, не всегда можем определенно ответить.

Давай заменим картинки, показанные Andante, и обратимся к красочной картине, предложенной Пипой. Как я понал Andante, вопрос в том, как и каким образом частица перетекает из нижней синей капли в верхнюю и обратно. Сказать, что в этом и проявляется чудесная магия квантового объекта - это не сказать ни чего. Да я привел пример из радиофизики волноводов, чтобы показать, что могут существовать обходные пути. Согласен с Пипой, это не всегда так. Могут быть и несвязные объкты, в которых так же возможен переход из одной области в другую.
Но как?

Пример Пипы - две, не связанные между собой, синие капли. На самом деле по рисунку видно, что система имеет две потенциальные ямы - одна при z>0 и другая при z<0. Между ними горб, который является достаточно высоким, чтобы разорвать капли. При низком горбе, между каплями оставалась бы синяя перемычка. И вся конфигурация напоминала бы гантель. По мере того как горб повышается, перемычка становится тоньше и тоньше, пока не происходит разрыв. Разрыв не означает, что здесь функция полностью исчезает. На самом деле в этом месте она становится мнимой. Да мнимость приводит к тому, что переход через эту перемычку становится затруднительным, но он не исчезает окончательно. Мнимость волновой функции означает, что в этой области наблюдается экспоненциальное затухание. Но как бы она не затухала, пусть незначительный шлейф, но достигнет той области, где опять появляется реальность. Здесь все та же аналогия с радиоволной. Если на пути стоит металлическая преграда, то волна дальше преграды не пройдет (это - аналог бесконечно-высокого барьера). Но ести эта преграда слишком тонкая, то часть, пусть даже очень слабая, может просочиться (толщина стенки в этом случае должна быть тоньше скин-слоя - слой, на который может "погрузиться" электормагнитная волна в металлическую поверхность).

Да, это уже в чистом виде туннельный эффект.
Мнимость функции, возникающая в области, где ранее существовала синяя перемычка, создает чрезмерные препятствия для прохождения частицы из верхней капли в нижнюю (и наоборот), но не запрещает переходы окончательно. Чтобы возник "железный" запрет, мнимость должна обратиться в бесконечность. Это эквивалентно появлению в области перемычки бесконечно-высокого потенциального барьера.

С уважением, Валерий

[неку]

 в тему http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1225296288/0

[Pipa]

По мере того как горб повышается, перемычка становится тоньше и тоньше, пока не происходит разрыв. Разрыв не означает, что здесь функция полностью исчезает. На самом деле в этом месте она становится мнимой. Да мнимость приводит к тому, что переход через эту перемычку становится затруднительным, но он не исчезает окончательно. Мнимость волновой функции означает, что в этой области наблюдается экспоненциальное затухание.
...
Мнимость функции, возникающая в области, где ранее существовала синяя перемычка, создает чрезмерные препятствия для прохождения частицы из верхней капли в нижнюю (и наоборот), но не запрещает переходы окончательно. Чтобы возник "железный" запрет, мнимость должна обратиться в бесконечность. Это эквивалентно появлению в области перемычки бесконечно-высокого потенциального барьера.

   Строго говоря там не разрыв, а нулевое значение. Кроме того, если там нуль, то, значит, и мнимой составляющей там тоже нет. Ведь рисунок относится к плотности вероятности, которая равна квадрату МОДУЛЯ пси-функции. А если модуль комплексного числа равен нулю, то в нем и мнимая часть тоже равна нулю. Помните, как модуль вычисляется? - Путем умножения на комплексно-сопряженное. Т.е. квадрат_модуля(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a²+b². А сумма квадратов может быть равна нулю только тогда, когда оба из них ему равны. Так что ваше объяснение через якобы присутствующую мнимую составляющую никак не катит. 

Но как бы она не затухала, пусть незначительный шлейф, но достигнет той области, где опять появляется реальность.

   Имеете в виду, что вода дырочку найдет? И не надейтесь! Там в этом месте ... расположено ядро атома! А уж сквозь через него электрону никак не просочиться.
<a href="http://www.winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3d/3dzz-wave-fn.swf" target="_blank">http://www.winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3d/3dzz-wave-fn.swf</a>
http://www.winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3d/wave-fn-zz.html
(на том рисунке еще кнопку "show nodal structure" полезно нажать).

   Вообще-то квантовый объект типично ведет себя  в потенциальной яме, как волна, а как частица проявляет себя на свободе (и то не всегда). Поэтому вся эта гантелька - СТОЯЧАЯ (стационарная) волна. И здесь говорить о месте нахождения электрона в данный момент времени неправомерно. А раз нет места, то нет и траектории!
   Парадокс тунелирования порожден классическими представлениями о частице, жестко локализованной в данный момент времени в строго определенном месте. Отсюда и растут ожидания, что у нее есть траектория движения. А из этого ожидания вытекает удивление способностью прохождения через место, где частица быть не может. Считайте лучше в этом случае частицу волной - парадокс и рассеется. Получится, что она так размазана в пространстве, что ее на две половинки разделило . Кстати там еще поясок был желтенький, так в этом пояске тоже она!

[Любовь]

Pipa

напомню, вопрос прозвучал так:

Прошу помощи в решении такого вопроса:
классическая задачка: частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины. Решения есть в Интернете во множестве, например,
http://teachmen.csu.ru/work/lectureSQ/
http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1174320&uri=page4.html
http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_2_Quant_ther/Chapter_10/Chapter10.htm

[valeriy]

Люба, Пипа не отклонилась от вопроса, поставленного Andante.
Вот он: Я не понимаю вот что. Если частица находится, например, слева от центральной нулевой точки (между точками L и M), то как она переходит в правую половину отрезка?

Только в отличие от одномерного распределения, носящего скорее схоластический характер, Пипа предлагает рассмотреть более живой пример с сайта http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/ .

На этом сайте представляется хоршая возможность посмотреть как вид волновой функции любой орбитали от 1s до 7g, так и электронную плотность выбранной орбиталь. Картинки эффектные.
Электронная плотность, плотность вероятности, показывает, что частица так размазана в пространстве. И с заданной вероятностью она может быть обнаружена в любой из этих областей.

Да, Пипа, ты правильно замечаешь - бессмысленно говорить о нахождении частицы где-нибудь в указанных областях и она блуждает, последовательно посещая все эти области. Она всюду и ее нигде нет. Только факт регистрации в какой-то области пространства материализует эту сущность. По сути, ты отстаиваешь воззрения Копенгагеновской школы. Согласно этим воззрениям, волновая функция есть нечто большее, чем только математическая функция. Она исчезает (коллапсирует) только в момент регистрации частицы.

Строгое следование воззрениям Копенгагеновской школы приводит к утверждению, что такие измеряемые переменные, как то импульс, масса, заряд, и пр., являются лейблами, так же как и капельки конденсата, образуемого по ходу пролета частицы через камеру Вильсона.
И в этом смысле Копенгагеновские воззрения не без изъянов.
Не зря же ведь в пику этой школе возник еще ряд других интерпретаций.
По общим пунктам они совпадают, но различаются в деталях, в которых, как ходят слухи, прячется дьявол. Одной из таких деталей является туннелирование - частица может проникнуть в область, запрещенная наложенным большим потенциалом.

С уважением Валерий

[Quangel]

Не зря же ведь в пику этой школе возник еще ряд других интерпретаций.

Ты будешь смеяться,но этот портал посвящен как раз такой "другой интерпретации" - нелокальной теории.  В рамках которой вопроса про частицы вообще не может возникнуть,они представляют собой декогеренцию окружением нелокальной квантовой информации. 

[Любовь]

Люба, Пипа не отклонилась от вопроса, поставленного Andante.
Вот он: Я не понимаю вот что. Если частица находится, например, слева от центральной нулевой точки (между точками L и M), то как она переходит в правую половину отрезка?

пусть человек поймет конкретную одномерную задачу... а не конфигурации орбиталек в атомах...
 в таком красивом виде легче запоминается, чем понимается...

[valeriy]

Это круто загнуто - они (частицы) представляют собой декогеренцию окружением нелокальной квантовой информации.  Andante, я так полагаю, выпадает в осадок. Учитывая то, что Люба пытается за уши притянуть участников к исходной одномерной задачке, а не замурятся сложными орбиталями в атомах, подобное утверждение поднимает еще больше вопросов, чем тот, который задал Andante.
Что значит нелокальная кватнтовая информация в приложении частицы в бесконечно-глубокой потенциальной яме? Соотносится она как-нибудь к волновой функции и каким образом? Что означает декогеренция окружением? Это - верификация (проверка состояния) частицы в этой яме? Если уж загнуто такое предожение, желательно расшифровать термины, чтобы у участников не возникало каких-либо неверных толкований.

Следуя наказу Любы, предлагается модель, описывающая существование волновых мод на гитарной струне. Это - одномерная модель. Вторая мода n=2 - это одна волна, укладывающаяся на струне с закрепленными концами. Волновое движение есть. А с чем можно соотнести частицу?
Пусть детектор - это камертон. В безвоздушном пространстве реакция камертона на колебания струны возможна в том случае, если он непосредственно соприкасается со стуной. Факт регистрации частицы - показания камертона. В средней части струны показания нулевые, поскольку здесь имеет место узел волны (n=2). В местах пучностей показания максимальны. Экспериментатор говорит вот зарегистрирована частица с импульсом  ~ h/2L (h - постоянная Планка, L - длина струны).

Очевидно, в данном эксперименте экспериментатор всегда будет регистрировать наличие колебаний, когда подносит камертон к участкам пучностей волн. В отличие от квантовой модели, когда существует вероятность Р регистрации частицы и вероятность 1-Р, что попытка регистрации потерпит фиаско.

Однако, в случае эксперимента со струной можно заметить, что в данном состоянии существует гигантское множестов однотипных частиц, имеющих одну и ту же энергию и один и тот же импульс. Это бозоны - частицы со спином 0. В одном и том же состоянии их может существовать сколь угодно много. И при регистрации экспериментатор отбирает только часть этих бозонов, достаточных для возбуждения камертона.

Можно конечно, приложить камертон очень плотно к струне и тем самым полностью гасить колебания. Это будет эквивалентно коллапсу волновой функции. В зависимость от того, где прикладывается камертон - в первой половине волны (первая пучность) или во второй половине (вторая пучность) экспериментатор заявляет, что частица обнаружена в области между L и M или в области между M и R, см. рисунок Andante.

Таким образом волна - это колебания струны. А частица - это показания камертона, т.е., результат отбора у колеблющейся струны части энергии.
В случае квантовых объектов энергия отбирается квантами. И такие кванты могут соотноситься с частицами, переносящими эту энергию.
Если это бозе-частицы (частицы с целым спином) они могут оьразовывать бозе-конденсаты. И при регистрации может иметь место частичный отбор энергии. Хотелось бы знать, что могло бы означать в данном случае фраза нелокальная квантовая информация?

С уважением, Валерий

[Quangel]

Это круто загнуто - они (частицы) представляют собой декогеренцию окружением нелокальной квантовой информации.  Andante, я так полагаю, выпадает в осадок. Учитывая то, что Люба пытается за уши притянуть участников к исходной одномерной задачке, а не замурятся сложными орбиталями в атомах, подобное утверждение поднимает еще больше вопросов, чем тот, который задал Andante.
Что значит нелокальная кватнтовая информация в приложении частицы в бесконечно-глубокой потенциальной яме? Соотносится она как-нибудь к волновой функции и каким образом? Что означает декогеренция окружением? Это - верификация (проверка состояния) частицы в этой яме? Если уж загнуто такое предожение, желательно расшифровать термины, чтобы у участников не возникало каких-либо неверных толкований.

Нелокальное состояние системы - ее нахождение в квантовой суперпозиции за границами классического пространства-времени. Когда некоторое количество информации о такой системе,скажем частице,записывается в окружении,происходит "декогеренция" - проявление частицы
из нелокального состояния в ввиде классического о ней представления. Как корпускулы или волны. 
Редукция волновой функции по отношению к квантовым объектам это уже устаревшие представления.  Более подробно о декогеренции читай в первой главе книги Заречного "Квантово-мистическая картина мира" - "Знаменитый эксперемент",где основные понятия нелокальной теории проиллюстрированы на простых примерах двухщелевого эксперемента и описания опыта Венского университета по декогеренции молекулы фуллерена... http://www.ppole.ru/b_kv_ogl.htm