Форум Физика Магии ::

Администратор

Утверждение о двуединой природе человека хорошо известно в религиозных и эзотерических учениях. Человек дуален, и помимо тварного, тленного тела, имеет также и вечный бессмертный дух. Часто также встречаются утверждения о двойственной природе всех окружающих тел. О том, что все объекты имеют некий “шаблон” – наряду с их плотной составляющей, существуют "идеальные формы" или "идеи", "образы" тех или иных тел. Можно ли эту двойственную природу всех систем увидеть в квантовомеханическом описании? Оказывается можно, и довольно просто.
В терминах квантовой теории эту задачу можно сформулировать следующим образом: можно ли произвольную матрицу плотности разложить на две составляющие, одна из которых постоянна и не зависит ни от каких параметров (типа вечная и неизменная), а вторая – динамическая составляющая, может от параметров зависеть.
И действительно, такое разложение хорошо известно в квантовой теории. Я напомню, что в терминах матрицы плотности описываются любые системы, как замкнутые (чистые состояния), так и открытые, взаимодействующие со своим окружением (смешанные состояния). Напомню также, что все матрицы плотности эрмитовы.

Начнем с самого простого случая двухуровневой системы (напр. кубит).
В матричном анализе доказывается утверждение, что всякую эрмитову матрицу 2*2 можно однозначно записать в виде вещественной линейной комбинации единичной матрицы и трех матриц с нулевым следом (так называемых матриц Паули), в частности любая матрица плотности 2*2 представляется в виде

ρ =1/2(Е+ασ_x + βσ_y + γσ_z ), ………(1)

где Е – единичная матрица, α , β , γ – вещественные числа, а σ_x σ_y и σ_z – матрицы Паули:

0 1……0 –i ……1 0
1 0……i 0 ……...0 -1

Этот результат для матриц 2*2 является частным случаем хорошо известного в квантовой теории общего утверждения, что любая матрица плотности произвольной размерности может быть записана [1] в виде

ρ_ε = (1 – ε) M_d + ε ρ₁ , ……(2)

где d=2^N – размерность гильбертова пространства системы, состоящей из N подсистем; M_d=1_d /d –максимально смешанное состояние (нормализованная единичная матрица плотности, след которой равен 1 ); 1_d – единичная матрица размерностью d; ρ₁ –произвольная матрица плотности; ε – вещественный параметр (0≤ ε ≤1).

В форме (2) часто анализируют динамику псевдочистого состояния [2], когда ρ ₁ =|ψ><ψ|.

ρ_ε = (1 – ε) M_d + ε|ψ><ψ|. ……(3)

Выражение (2) можно переписать в виде

ρ_ε = M_d + ε (ρ₁ – M_d), ……(4)

т.е. любая матрица плотности может быть представлена в виде суммы матрицы максимально смешанного состояния M_d (с единичным следом) и матрицы с нулевым следом (ρ₁ – M_d) напомню, что след у ρ₁ тоже равен единице.

Таким образом, состояние произвольной системы имеет двуединую природу, содержит в своей структуре две качественно различные составляющие – одна часть неизменная, вечная (максимально смешанное состояние), и вторая часть динамическая (если система динамическая, параметр ε может быть функцией времени, например).

Максимально смешанное состояние – это набор потенциальных состояний, которые она может реализовать, “проявить” в виде объективных элементов реальности, в виде наблюдаемых, “тварных” величин. А динамическая часть, отвечает за сам процесс “проявления”.

Рассмотрим более подробно, что такое максимально смешанное состояние.
Наверное, будет легче понять на примере кубита. Только для начала мы запишем вектор состояния кубита |ψ>=a|0> + b|1> в виде матрицы плотности. Этот вектор состояния зависит от четырех вещественных параметров (a и b – комплексные числа). Число параметров можно уменьшить до двух, воспользовавшись двумя дополнительными условиями, налагаемыми на вектор состояния – условием нормировки |a|²+|b|²=1, и одним из постулатов квантовой механики, согласно которому состояния не меняются, если их умножить на фазовый множитель exp(±iφ), т.е. например, состояния |0> и exp(iφ)|0> тождественны. Это следствие того факта, что модуль комплексной экспоненты равен единице.

Таким образом, необходимо лишь два независимых вещественных параметра, чтобы однозначно задать вектор состояния кубита. Обычно в качестве таких параметра выбирают два угла θ и φ , которые однозначно определяют точку на сфере Блоха.
В этом случае a= exp(–iφ/2)cos(θ/2) и b= exp(iφ/2)sin(θ/2), а вектор состояния записывается в виде [Прескилл, Гл.2, стр.10]

|ψ> = exp(–iφ/2)cos(θ/2)|0> + exp(iφ/2)sin(θ/2)|1>……. (5)

Матрица плотности тогда равна [Прескилл, Гл.2, стр.20]

½ 0 …+… ½ cosθ _ e^–iφsinθ ………(6)
0 ½ ……e^iφsinθ _ –½ cosθ

Нам еще пригодится вектор состояния

|ψ> = cos(θ/2)|0> + sin(θ/2)|1>……. (7)

И соответствующая ему матрица плотности:

½ 0 …+… ½ cosθ _ sinθ ………(8)
0 ½ … …sinθ _ –½ cosθ

Можно заметить, что (5) получается из (7) унитарным преобразованием U=

e^–iφ/2 _ 0
0 _ e^iφ/2

т.е. чистым вращением вектора состояния (7), которое характеризуется параметром φ. Несложно определить, в чем состоит физическое отличие векторов состояния (5) и (7). Они связаны соотношением |ψ>^rot=U|ψ>, которое означает переход между неподвижной и вращающейся системой координат. Т.е. вектор (7) мы записали для внутреннего состояния системы, он описывает то, что происходит с точки зрения самой системы. Система “чувствует”, что она переходит из одного состояния в другое, и никаких других изменений для нее не существует. Это вид “изнутри” системы. В этом случае ее вектор состояния характеризуется лишь одним вещественным параметром θ. Можно предположить, что это собственное внутреннее время системы, т.е. параметр, с которым меняется внутреннее состояние системы.
А состояние (5) описывает эволюцию системы в лабораторной (неподвижной) системе координат, связанной с внешним наблюдателем. Это вид “снаружи”. Можно пояснить еще следующим образом. При эволюции системы, вектор состояния, при любом его положении, остается для самой системы осью квантования. Но для внешнего наблюдателя, со своей системой отсчета, и выбранной уже им осью квантования (обычно за нее принимают ось z) вектор состояния будет перемещаться по сфере Блоха и поворачиваться на угол φ.

Максимально смешанное состояние определяет две важные характеристики системы. Во-первых, оно определяет центр сферы Блоха, т.е. точку, равную среднему значению от суммы диаметрально противоположных точек, в которых вектор состояния “протыкает” сферу Блоха в любом из своих положений [Прескилл, Гл.2 стр.29], это ядро, центр системы, из которого выходит сам вектор состояния. Во-вторых, максимально смешанное состояние задает ось квантования, поскольку составляет на этой оси постоянный и неизменный отрезок между двумя (для кубита) точками. Переходя в систему отсчета, связанную с вектором состояния (во вращающуюся систему координат), этот вектор становится осью внутреннего мира системы, на которую с равной вероятностью, с равной возможностью реализации “нанизаны” все допустимые состояния системы. В нашем простейшем случае это два допустимых состояния, которые всегда остаются в распоряжении системы, в каком бы положении не находился вектор состояния. Но они существуют только как потенциальные возможности, а конкретная реализация той или иной альтернативы зависит уже от динамической части матрицы плотности.

В общем, для любой системы, например для Универсума, максимально смешанное состояние составляет “Ось Мира”, а динамическая часть матрицы плотности – это “Мировое Яйцо”, это то, что окружает ось мира.

Если рассматривать кубит в качестве элементарного сознания, то его внутреннюю “ось мира”, т.е. матрицу плотности

½ 0……(9)
0 ½

можно назвать простейшей духовной монадой элементарного сознания, поскольку это “неуничтожимая” часть сознания.

Замечу, что ядром духовной структуры, монадой, может “наделить” только система, находящаяся в пространстве состояний большей размерности. Так матрица плотности (9) получается, если мы возьмем частичный след по одной из подсистем максимально запутанного двухсоставного чистого состояния (любого из четырех так называемых беловских состояний). Можно сказать, что подсистемы получают “дары Духа”, набор своих допустимых состояний, от большей системы, частью которой они являются. Подсистемы “по образу и подобию” исходной системы наделяются допустимыми состояниями в пространстве состояний меньшей размерности.
Или, если сказать несколько иначе, матрица плотности (9) не является чистым состоянием, она не может существовать в виде замкнутой системы, она может являться только частью большой системы, причем находится с этой системой в нелокальном максимально запутанном состоянии.

Итак, одна часть – это вечное, неуничтожимое “ядро”, существующее вне времени и пространства, – а другая часть – ее плотное “тело”, материальная оболочка, посредством которой система реализует то или иное потенциальное состояние своего ядра, своего духа, а при наличии окружения может с ним взаимодействовать, что также сказывается на состоянии ядра.

Динамическая часть матрицы плотности отвечает за наличие материальной “оболочки”, формирование пространственно временного континуума и энергетических потоков вокруг неуничтожимого духовного ядра описываемого единичной матрицей.

Уже на этом простом модельном примере можно увидеть единство двух качественно различных составляющих системы, ее двойственную природу. Если говорить о сознании, это единство духа и тела в системе, обладающей сознанием. Одновременно, это и сотворение деятельным сознанием “тварной” реальности.

Замечу, что любое чистое состояние всегда имеет только одно ненулевое собственное значение, равное единице. Ни одна замкнутая система не может иметь других собственных значений, и единица здесь означает само существование системы, как Единицы.
В этом отношении собственное значение, равное минус единице – это нечто неприемлемое, “мерзкое” для системы – это отрицание ее духовной сути, это посягательство на самое ценное – духовное ядро системы, на пространство ее возможных состояний. Да и не может замкнутая система, как единое целое, иметь отрицательное собственное значение, как было оно положительной Единицей, так и останется. А вот для структурных частей системы такая возможность появляется. Динамическая часть матрица плотности (8), т.е. матрица

½ cosθ _ sinθ ………(10)
sinθ _ –½ cosθ

характеризуется именно этим свойством, она имеет два собственных значения +1 и –1.

Наличие двух собственных значений, одно из которых равно минус единице означает, что матрица описывает состояние, которое имеет двойственную природу, единство и борьбу противоположностей, поскольку отрицательное собственное значение это не просто что-то плохое, негативное, – это абсолютная противоположность, несовместимость с исходным состоянием, это его полное отрицание. Таким образом, в аспекте сознания, о котором мы пытаемся вести речь, можно сказать, что формирование материальной оболочки системы сопровождается появлением двух нравственных начал, лежащих в основе тварного мира – Добра и Зла.

Что такое “зло” можно попытаться понять на более простом примере. Предположим, что у нас есть чисто классическое стационарное состояние, описываемое вектором |ψ> =|0>. Ему соответствует матрица плотности
1 0
0 0
которая, как и все остальные, может быть представлена в виде суммы матрицы, пропорциональной единичной, и матрицы с нулевым следом:

½ 0…+…½ 0 ………(11)
0 ½ … …0 –½

Одно из собственных значений второй матрицы, равное –1, “уничтожает” одно из допустимых состояний “ядра” системы. При этом как бы обедняется “душа” системы, уничтожается ее часть, в данном случае половина, а вторая половина “огрубляется” до материального, “телесного”, классического состояния. Если бы в последней матрице было два таких отрицательных собственных значения, то получился бы тождественный ноль, исходное состояние вообще перестало бы существовать, системы бы просто не было, как таковой.

В матрице (10) собственные значения +1 и –1 периодически меняются местами, т.е. периодически “уничтожается” то или другое потенциальное состояние “ядра” системы, а второе переходит в классическое “тварное” состояние.

Мы еще не говорили о “несознательных” объектах. Что такое для них “вечная” часть состояния, описываемая матрицей плотности максимально-смешанного состояния? Я полагаю, что это и есть то, что называется "идеей", "идеальным образом" объекта. Становится понятным, почему физике, в том числе и классической, удается правильно описывать окружающий мир (в рамках применимости теорий). Ответ, согласно предыдущим рассуждениям, получается очень интересный – потому что практически вся физика имеет дело исключительно с "идеями" реальных объектов! Т.е. она оперирует “вечными” и неизменными категориями объектов. Как известно, с точки зрения квантовой теории вся классическая физика имеет дело с диагональными матрицами плотности. То же самое относится к понятию статистического ансамбля и вероятностной интерпретации квантовой механики. Напомню, что в свое время, для вычисления средних значений физических величин Гиббс и Больцман вместо временного усреднения в рамках одной системы, предложили рассматривать среднее по ансамблю, среднее по совокупности большого числа соответствующим образом разупорядоченных систем. Они предложили мысленную конструкцию из совокупности систем, когда каждое допустимое состояние данной (одной) системы представлено в ансамбле отдельной системой, находящейся в стационарном состоянии. Каждая система из ансамбля является мысленной копией реальной системы в одном из допустимых ее состояний.
Т.е. ансамбль – это и есть в прямом смысле мысленная конструкция, идея объекта, когда вместо реальной системы рассматривается ее идеальный прообраз как набор всех потенциально-допустимых состояний системы. А это и есть “ось мира” этой системы, это матрица максимально-смешанного состояния.

И если системы, обладающие сознанием, на фундаментальном уровне в нелокальном состоянии могут существовать только как частички Духа (Мирового Разума), то объекты, не обладающие сознанием – только как "идеи". В общем, все сводится к квантовой информации.

Опять вернемся к сознанию. Не обязательно состояния, описываемые матрицами плотности, должны быть “материальными” с точки зрения классической физики. Например, такими состояниями является набор наших потенциальных мыслей и эмоций, и реализация одного из этих допустимых состояний (появление у нас какой-то конкретной мысли или чувства), сопровождается возникновением объективных элементов реальности, соответствующих этим мыслям и чувствам. Эти возникающие элементы реальности не наблюдаемы классическими приборами, но, тем не менее, они существуют объективно и могут взаимодействовать с аналогичными структурами, эманациями, “сгенерированными” другими людьми.

Еще один вопрос можно затронуть – каким образом развивается сознание, может ли, например, элементарное сознание, рассматриваемое как чистое состояние, как замкнутая система, без внешнего окружения развивать “изнутри” свое сознание. Я считаю, что может, и представление кубита в виде матрицы плотности может помочь ответить на этот вопрос. Анализ матрицы плотности говорит о том, что вектор состояния кубита можно разложить на два других вектора, вращающихся уже вокруг двух других центров. Попробую изобразить в виде схемы:

Получается, что элементарное сознание в качестве “зародышей” содержит в себе сознание двух других подсистем, уже есть два других “ядра”, потенциальных центров сознания. Каждое из них, в свою очередь, может разделиться на два и т.д. Т.е. элементарное сознание, в принципе, может изнутри “делиться” до бесконечности, наращивая свое пространство состояний.

Кубитной модели элементарного сознания может еще помочь теория квантовых вычислений. Сейчас уже определен класс унитарных операций, с помощью которых выполняются логические операции при квантовых вычислениях. По сути, все логические операции сводятся к вращению вектора состояния кубита, его движению по сфере Блоха. Т.е. для того, чтобы наше элементарное сознание (наш кубит) стал умным, он должен уметь выполнять несколько основных логических операций, с помощью которых можно выполнить уже любую последовательность “рассуждений”. Поскольку сознание было раньше определено как способность реализовывать допустимые состояния, то в рамках этого определения кубит имеет возможность стать “разумным”, реализуя последовательности основных логических операций (вращая в определенной последовательности вектор состояния по сфере Блоха).

Ссылки
[1] S.L. Braunstein et al., Phys. Rev. Lett. 83, 1054 (1999).
[2] N. Linden and S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 87, 047901 (2001).