Форум Физика Магии :: Многомерная матрица

Администратор

Pipa затронула интересную тему про “многомерные матрицы” по ссылкам на пост Гадюки (gadyuka): http://www.livejournal.com/users/gadyuka/94255.html и на свой пост: http://www.nagualism.ru/ef3/Forum7/html/e79.html

Я немного прокомментирую. Мне, кажется, в общих чертах понятно, что из себя представляет многомерная матрица, описанная Гадюкой. Если кратко, то это набор матриц вероятностей перехода, где k-й слой (“срез”) такой многомерной матрицы – это матрица вероятностей переходов на k-ом шаге эволюции начального состояния. Это стохастические матрицы, как уже отметила Pipa.

Попытаюсь пояснить более подробно. Для начала немного теории.
Неотрицательная квадратная матрица Q, в которой все строчные суммы равны 1, называется стохастической, по той причине, что каждую строку можно рассматривать как распределение вероятностей на дискретном вероятностном пространстве из n событий.
Стохастические матрицы обладают одним важным свойством. Если взять вектор, составленный из всех единиц, т.е. u=(1, 1, …,1), то матрица Q будет стохастической, если выполняется равенство Qu=u.
Т.е. неотрицательная матрица Q будет стохастической тогда, и только тогда, когда она имеет собственное значение 1, с правым собственным вектором, задаваемым в виде u=(1, 1, …,1).

Такие матрицы возникают в классической физике, когда рассматривается следующая задача. Рассмотрим физическую систему (классическую), которая может быть полностью описана n различными состояниями. Обозначим эти состояния через

s₁, s₂, s₃, …, s_n ………(1)

В каждый момент времени система может находиться в одном из этих состояний s_i, абсолютная вероятность которого равна р_i. Очевидно, что ∑р_i=1.

Вектор, составленный из вероятностей р_i всех состояний (1) называется вектором вероятности. Я буду рассматривать его как вектор-столбец.

С течением времени система переходит последовательно из одного состояния в другое. Каждый такой переход называется шагом процесса.

Предполагается также, что для любых i, j=1, 2, …, n мы можем определить условную вероятность q_ij( k| k-1) того, что на шаге k система переходит в состояние s_i, после того, как на шаге k-1 она находилась в состоянии s_j. Согласно теории вероятности, мы тогда будем иметь:
р_i(k) = ∑ⁿ_j=1 q_ij(k | k-1) р_j(k–1),

или в матричном виде

р_k= Q(k, k-1) р_k-1 …………(2)

Здесь матрица Q(k, k-1) состоит из элементов q_ij( k| k-1).
Так как система должна перейти в одно из n состояний на шаге k после того, как она была на шаге k–1 в состоянии s_j, то

∑ⁿ_i=1 q_ij(k | k-1)=1.

Матрица Q(k, k-1) – столбцовая стохастическая, т.к. все столбцовые суммы у нее равны 1. Это матрица, транспонированная к строчной стохастической матрице. Иногда поступают наоборот, рассматривают переход системы от i к j. Тогда получается обычная стохастическая матрица (строчная). Но я привык рассматривать матрицы как операторы, действующие на вектор-столбец (как в уравнении (2)), когда матрица стоит слева от вектора, на который она действует. А в случае перехода i в j и строчной стохастической матрицы Q, матричный вид уравнения (2) получается другой – вектор-строка умножается справа на матрицу.
Можно делать, и так, и так, без разницы, в любом случае матрица Q(k, k-1) называется матрицей вероятностей перехода за один шаг от k-1 к k.

Чтобы получить многомерную матрицу, о которой, по-видимому, говорит Гадюка, можно поставить задачу следующим образом. Пусть известно некоторое исходное состояние системы s_i (одно из полного набора состояний (1)), это будет вектор вероятности р₀ с единицей на i-ом месте и нулями на остальных местах. Нужно найти вектор вероятности через k шагов процесса смены состояний. Из (2) мы получаем:

р_k= Q(k, k-1) Q(k-1, k-2) … Q(1, 0) р₀. …………(3)

Т.е. результирующее состояние (вектор вероятности) мы получаем последовательным действием отдельных матриц переходов Q на исходное состояние. Это можно представить в виде действия многомерной матрицы переходов, когда мы последовательно “шагаем” по ее отдельным “срезам”.

Все, описанное выше, известно как цепь Маркова. Для цепей Маркова вероятность в момент времени k попасть в состояние s_i, зависит только от того, в каком состоянии находился процесс в момент k–1. Иначе говоря, при фиксированном "настоящем" "будущее" не зависит от "прошлого". Такая независимость "будущего" от "прошлого" при фиксированном "настоящем" называется марковским свойством.

Если матрица переходов Q одна и та же на каждом шаге, то цепь Маркова называется однородной, и тогда выражение (3) упрощается:

р_k= Q^k р₀.

Т.е. многомерная матрица на каждом “срезе” получается простым возведением в соответствующую степень исходной матрицы Q.

Если говорить о “вилках” и “ветвлении реальности”, о которых упоминает Гадюка, то иногда, для описания эволюции цепи Маркова вместо явного выписывания матрицы Q используют граф, вершинами которого являются состояния цепи, а стрелка, идущая из состояния s_j в состояние s_i с числом q_ij над ней, показывает вероятность этого перехода. В том случае, когда q_ij=0, соответствующая стрелка не проводится.

Ну а теперь самое интересное, чем собственно меня и привлекла “многомерная матрица” Гадюки

Она упоминает "точки пустоты", как она пишет: “ячейки, на которые не замкнуто ни одного вектора вероятности”, и при этом “из "точки пустоты" можно выйти в любую другую точку матрицы. иначе говоря, при выходе из этой точки ты независима от баланса системы - напротив, он зависим от твоего решения.”
Мне это сразу напомнило о суперпозиционных состояниях. У Гадюки я увидел интуитивно верную попытку перейти от классической физики к квантовой теории

.

Немного поясню. Как я уже говорил, описанные выше цепи Маркова применяются в классической физике, и набор состояний (1) не предусматривает возможность существования нелокальных суперпозиционных состояний, когда система может одновременно находиться в двух и более ортогональных (несовместимых с классической точки зрения) состояниях.
В то же время принцип суперпозиции в квантовой механике утверждает, что если система может находиться в некоторых состояниях (пусть это будут состояния из набора (1)), то она может находиться в состояниях, которые получаются одновременным “наложением” двух или более состояний из этого набора. Т.е. с точки зрения квантовой теории набор состояний (1) можно существенно расширить, дополнив его суперпозиционными состояниями.
С классической точки зрения, действительно, это будут “пустые ячейки”, на которые не замкнуто ни одного вектора вероятности, поскольку классическим путем попасть в эти состояния невозможно (нужен процесс рекогеренции). А вот с точки зрения квантовой теории они не будут уже пустыми, а будут иметь вполне конкретный физический смысл. И из этих суперпозиционных состояний, как и пишет Гадюка, действительно, можно выйти в любую другую точку матрицы, “проявив” в процессе декогеренции из суперпозиции то или иное классическое состояние.
Таким образом, квантовая теория способна не только наполнить эти "точки пустоты" физическим содержанием, но и количественно описывает физические процессы, которые позволяют работать с этими “точками”

.

Про “многомерные матрицы” в квантовой теории и супероператорный формализм я могу продолжить….

Не зарегистрирован!

Многоуважаемый Сергей Иванович! Просим Вас продолжить данную тему!
INVERSOR

Не зарегистрирован!

Только я собрался выступить по теме - как исчез мой ник (пипа привет

), а в прошлую попытку исчезла тема

СИД меня как-нить можно восстановить?

Beaverage

Администратор

Beaverage, извиняюсь, не заметил, и в бэкапе ник тоже был “обнулен”. Я восстановил более ранний вариант.

Но я продолжу…

Попытаемся теперь решить задачу в более общем случае, когда в число состояний (1) могут входить суперпозиционные состояния, и при этом система может находиться в несепарабельном (запутанном) состоянии. Т.е. от классического описания системы перейдем к квантовому.
В этом случае мы получим уже не просто “многомерную матрицу”, как у Гадюки, в которую она практические “вручную” из полуклассических соображений добавляла “пустые ячейки”. Мы получим гораздо более крутую “суперматрицу”

, в которой “точки пустоты” появятся естественным образом и будут иметь физический смысл.

Для начала перекинем мостик от классического описания к квантовому, чтобы понять, какая между ними связь, и каким образом классическое описание входит в квантовое, оставаясь его частным случаем. Т.е. когда “многомерную матрицу” стохастического отображения можно рассматривать как частный случай “суперматрицы” (супероператора).

“Многомерную матрицу” в выражении (3) можно рассматривать как отображение, которое переводит исходное состояние системы (вектор вероятности) в конечное состояние. И в общем случае эволюцию любой классической системы можно описать стохастической матрицей Q (“многомерную матрицу” в (3) можно рассматривать как одну матрицу, перемножив все ее отдельные “срезы”).

Насчет связи классического и квантового описания эволюции системы, я тут нашел подходящую цитату в статье V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 90, 050401 (2003), попробую перевести:
«С классической точки зрения физическое состояние системы – это вектор в вещественном n-мерном линейном векторном пространстве, чьи элементы – различные вероятности классических состояний. Эволюция классической системы в самом общем случае определяется как стохастическое отображение, действующее на это векторное пространство. Квантовомеханическое состояние, с другой стороны, в общем случае выражается матрицей плотности, и его эволюция есть полностью положительное, сохраняющее след отображение, действующее на эту матрицу плотности.

Классическая физика при таком подходе становится предельным случаем квантовой механики, когда матрица плотности строго диагональна в одном и том же фиксированном базисе, и полностью положительное отображение тогда становится стохастическим отображением. Из этого следует, что квантовая эволюция системы имеет гораздо более сложный характер, по сравнению с ее классическим поведением, и достаточно проанализировать характеристики квантовых систем, чтобы из этих результатов, как частный случай получить классические характеристики систем, если ограничиться рассмотрением только диагональных элементов матрицы плотности.»

Таким образом, чтобы иметь возможность описывать эволюцию системы, которая может находиться в суперпозиционных состояниях, нам нужно от вектора вероятности перейти к матрице плотности, о которой мы недавно говорили

и рассматривать более общие отображения (положительные, сохраняющие след супероператоры, “суперматрицы”), частным случаем которых являются стохастические отображения Q.

В этом случае мы получаем возможность описывать не только эволюцию системы как классического объекта, но также процессы перехода системы из классического (локального) состояния в нелокальное квантовое, и обратно. Т.е. можно описывать процессы перехода в “точки пустоты”, а также выхода из них в любом классическом состоянии (в любой точке стохастической “многомерной матрицы”).

О том, что из себя представляют суперматрицы, я и хотел поговорить дальше, хотя бы в самых общих чертах.

Full Member

Спасибо большое, попытка №3
Надеюсь Пипа приглашала к мозговому штурму не только физиков

Похоже правила этой темы, заданные еще Гадюкой и поддержанные Пипой, предполагают дозировать выдаваемую инфу... тоже начну издалека - с невинных экспериментов по увеличению вероятности расклада пасьянса Solitaire, он же косынка, правила особо расписывать не буду, думаю все с ним знакомы или при желании могут ознакомиться - он входит в стандартный пакет программ виндоус... со стандартными же опциями - выкладка по 3 карты, что обеспечивает разновероятностный доступ к каждой из них, и с возможностью отмены одного хода, но не тогда, когда открывается новая карта, думаете и это уже большое допущение и в реале откатить наступившее событие невозможно - имхо это не совсем так, мне случалось рекогерировать события, зафиксированные лишь одним из каналов восприятия, скажем аудиальным (к технике я подойду позже), увиденное рекогерировать сложнее, т.к. визуальные канал наиболее значим для тоналя, но не невозможно.
Про разницу в целении диагностированных и недиагностированных заболеваний хорошо Чусов написал.
К сожалению у меня нет статистики по раскладу, но думаю с учетом человеческого фактора вероятность расклада довольно низкая, щас глянул в инете, кто-то специально этим запаривающийся добился в среднем 3х раскладов из 10... думаю средняя статистика гораздо хуже, я особо ни на что не претендую, но я добивался беспроигрышной серии из 4-5 раскладов подряд, и в среднем результаты повыше...
При этом я старался оставлять элемент игры, непредсказуемости - не запоминал расклад (только ключевые карты), не залезал вперед с отменой хода и даже матрицу вероятностей проверял только на развилках (не вилках Гадюки, которые скорее ловушки матрицы, об этом тоже как нибудь позже), т.е. когда есть выбор - одну карту (ветку) открыть или другую.
Не претендую на полноту раскрытия темы - только несколько ключевых моментов, к тому же достаточно субъективных, параллели с реалом проводить не буду, каждый сам в состоянии.
Первым ключом является четкое определение цели (целеполагание), формирование (невербальное ессно) намерения/интенции - в данном случае это полный расклад пасьянса. Это создает более стройное событийное древо с меньшим количеством ветвей, ведущим в тупик, игра без намерения имеет более кустистый вид, где вероятность переходов, не ведущих к цели, велика, и может привести к затяжной серии без выигрыша.
Вторым ключом является внимание, присутствие, нахождение в моменте сейчас, и все что входит в понятие безупречности - отрешенность, непривязанность к результату, существенное замедление или остановка ментального комментирования... стоит сказать себе - "классно карта пошла, щас разложу" как тут же заходишь в тупик, часто из-за того, что в упор не видишь очевидное

Вообще медленная проработка - ведет к лучшему результату, чем быстрое начало, которое почти всегда проигрывает...
Еще несколько моментов - перекос, преимущественная выкладка одной из мастей - тоже проигрышна, лучше ровное открытие всех мастей, на худой конец 2-х - одной черной, одной красной.

Потом допишу...

Full Member

расклад лучше заменить на раскладывание... А то не очень граммотно

Как я уже сказал, в течение игры я уже практически не вмешивался в матрицу вероятностей и только проверял вероятности на развилках - внешне одинаковых альтернативах, это сродни простой мантической техники для получения ответа да-нет - типа подбрасывания монетки или маятника и проч, я правда использовал собственную сенсорику... Естественно это хорошо работает когда разница в вероятностях раскладывания и нераскладывания пасьянса при открытии одной из карт/веток достаточно велика, в противном случае сенсорные сигналы сложнее интерпретировать.

Следующий шаг корректировка вероятностей, но об этом позже

Администратор

Я буду потихоньку продолжать. Скажу еще несколько вступительных слов.

Интерес к супероператорному формализму в квантовой теории возник не так давно, только в самые последние годы. Вызван он тем, что при работе над квантовым компьютером необходимо уметь количественно описывать эволюцию отдельных кубитов, связанных взаимодействиями с другими кубитами. Необходимо иметь математический формализм, способный описать динамику подсистемы, которая взаимодействует со своим окружением, и при этом нужно уметь описывать физический переход подсистемы (кубита) из квазичистого (квазизамкнутого) состояния в состояние смешанное (декогеренция) и обратно (рекогеренция). Т.е. нужно уметь описывать переходы кубитов в нелокальное суперпозиционное состояние по отдельным степеням свободы, напр. спиновым, (в терминологии Гадюки (имхо) – переходы в “точки пустоты”), а также процесс декогеренции кубитов в локальное классическое состояние (“проявление” в любой точке матрицы переходов).

Более того, нужно уметь описывать переход системы по заданному квантовому алгоритму из некоторого исходного (начального) состояния в заданное нелокальное состояние, манипуляции в этом состоянии с отдельными кубитами (и, следовательно, согласованным изменением состояния всей системы), и процесс измерения (декогеренции) при считывании результата. Нужно учитывать и количественно оценивать ошибки, возникающие в результате декогеренции внешним окружением, уметь их корректировать и т.д.

В общем, нужен достаточно мощный математический аппарат, который сейчас интенсивно развивается как обобщение теории квантовых измерений, начало которой было заложено еще фон Нейманом.

Сразу оговорюсь, что я не буду вести речь об унитарной эволюции чистого состояния (замкнутой системы), этот вопрос достаточно хорошо проработан в квантовой теории. Я попытаюсь затронуть вопрос об эволюции открытой системы (подсистемы), которая взаимодействует со своим окружением, и может переходить из чистого состояния в смешанное. Унитарная эволюция такой системы – лишь частный случай, когда нет взаимодействия с окружением (система замкнута).

Таким образом, мы попытаемся рассмотреть самую общую ситуацию, произвольную динамику системы, когда исходная матрица плотности (произвольная) переходит в другую матрицу плотности (также произвольно-заданную). Это отображение ρ→ρ' одной матрицы плотности в другую, как следствие эволюции состояния системы с учетом ее возможного взаимодействия с окружением.

С математической точки зрения данное отображение, такая общая динамика, в том числе любая физическая операция над системой, может быть описана "полностью положительным, сохраняющим след супероператором". Название это следует из основных свойств такого отображения (супероператора). Исходя из того, что в результате отображения мы все равно получаем матрицу плотности, можно сразу указать его основные свойства:
1) эрмитовость, поскольку любая матрица плотности эрмитова,
2) сохранение следа, т.к. след матрицы плотности всегда равен 1, т.е. не меняется в результате отображения,
3) неотрицательность, поскольку любая эрмитовая матрица имеет неотрицательные вещественные собственные значения.

Еще одно свойство супероператоров, которое часто сюда добавляют – линейность, но его можно пока оставить под вопросом. Как пишет Прескилл, это свойство обычно используют по привычке, чтобы не возникало противоречия с ансамблевой интерпретацией квантовой механики. Более подробно я писал об этом в теме «Солитоны» http://physmag.h1.ru/forum/topic.php?forum=1&topic=19&start=1#1109223400

Да, посмотреть теоретический материал по супероператорам, который сейчас дается в университетских курсах, можно в лекциях Прескилла, это 3 глава. Ссылка здесь http://physmag.h1.ru/library.html

Кроме этого, я подобрал материал из оригинальных статей, который здесь выложу.