С.И. Доронин
|
| Администратор |
 |
 |
| Дата рег-ции: Сент. 2004 : |
| Всего записей: 1106 : |
| Покинул форум. |
|
|
 |
 |
 |
|
Pipa затронула интересную тему про “многомерные матрицы” по ссылкам на пост Гадюки (gadyuka): http://www.livejournal.com/users/gadyuka/94255.html и на свой пост: http://www.nagualism.ru/ef3/Forum7/html/e79.html
Я немного прокомментирую. Мне, кажется, в общих чертах понятно, что из себя представляет многомерная матрица, описанная Гадюкой. Если кратко, то это набор матриц вероятностей перехода, где k-й слой (“срез”) такой многомерной матрицы – это матрица вероятностей переходов на k-ом шаге эволюции начального состояния. Это стохастические матрицы, как уже отметила Pipa.
Попытаюсь пояснить более подробно. Для начала немного теории.
Неотрицательная квадратная матрица Q, в которой все строчные суммы равны 1, называется стохастической, по той причине, что каждую строку можно рассматривать как распределение вероятностей на дискретном вероятностном пространстве из n событий.
Стохастические матрицы обладают одним важным свойством. Если взять вектор, составленный из всех единиц, т.е. u=(1, 1, …,1), то матрица Q будет стохастической, если выполняется равенство Qu=u.
Т.е. неотрицательная матрица Q будет стохастической тогда, и только тогда, когда она имеет собственное значение 1, с правым собственным вектором, задаваемым в виде u=(1, 1, …,1).
Такие матрицы возникают в классической физике, когда рассматривается следующая задача. Рассмотрим физическую систему (классическую), которая может быть полностью описана n различными состояниями. Обозначим эти состояния через
s1, s2, s3, …, sn ………(1)
В каждый момент времени система может находиться в одном из этих состояний si, абсолютная вероятность которого равна рi. Очевидно, что ∑рi=1.
Вектор, составленный из вероятностей рi всех состояний (1) называется вектором вероятности. Я буду рассматривать его как вектор-столбец.
С течением времени система переходит последовательно из одного состояния в другое. Каждый такой переход называется шагом процесса.
Предполагается также, что для любых i, j=1, 2, …, n мы можем определить условную вероятность qij( k| k-1) того, что на шаге k система переходит в состояние si, после того, как на шаге k-1 она находилась в состоянии sj. Согласно теории вероятности, мы тогда будем иметь:
рi(k) = ∑nj=1 qij(k | k-1) рj(k–1),
или в матричном виде
рk= Q(k, k-1) рk-1 …………(2)
Здесь матрица Q(k, k-1) состоит из элементов qij( k| k-1).
Так как система должна перейти в одно из n состояний на шаге k после того, как она была на шаге k–1 в состоянии sj, то
∑ni=1 qij(k | k-1)=1.
Матрица Q(k, k-1) – столбцовая стохастическая, т.к. все столбцовые суммы у нее равны 1. Это матрица, транспонированная к строчной стохастической матрице. Иногда поступают наоборот, рассматривают переход системы от i к j. Тогда получается обычная стохастическая матрица (строчная). Но я привык рассматривать матрицы как операторы, действующие на вектор-столбец (как в уравнении (2)), когда матрица стоит слева от вектора, на который она действует. А в случае перехода i в j и строчной стохастической матрицы Q, матричный вид уравнения (2) получается другой – вектор-строка умножается справа на матрицу.
Можно делать, и так, и так, без разницы, в любом случае матрица Q(k, k-1) называется матрицей вероятностей перехода за один шаг от k-1 к k.
Чтобы получить многомерную матрицу, о которой, по-видимому, говорит Гадюка, можно поставить задачу следующим образом. Пусть известно некоторое исходное состояние системы si (одно из полного набора состояний (1)), это будет вектор вероятности р0 с единицей на i-ом месте и нулями на остальных местах. Нужно найти вектор вероятности через k шагов процесса смены состояний. Из (2) мы получаем:
рk= Q(k, k-1) Q(k-1, k-2) … Q(1, 0) р0. …………(3)
Т.е. результирующее состояние (вектор вероятности) мы получаем последовательным действием отдельных матриц переходов Q на исходное состояние. Это можно представить в виде действия многомерной матрицы переходов, когда мы последовательно “шагаем” по ее отдельным “срезам”.
Все, описанное выше, известно как цепь Маркова. Для цепей Маркова вероятность в момент времени k попасть в состояние si, зависит только от того, в каком состоянии находился процесс в момент k–1. Иначе говоря, при фиксированном "настоящем" "будущее" не зависит от "прошлого". Такая независимость "будущего" от "прошлого" при фиксированном "настоящем" называется марковским свойством.
Если матрица переходов Q одна и та же на каждом шаге, то цепь Маркова называется однородной, и тогда выражение (3) упрощается:
рk= Qk р0.
Т.е. многомерная матрица на каждом “срезе” получается простым возведением в соответствующую степень исходной матрицы Q.
Если говорить о “вилках” и “ветвлении реальности”, о которых упоминает Гадюка, то иногда, для описания эволюции цепи Маркова вместо явного выписывания матрицы Q используют граф, вершинами которого являются состояния цепи, а стрелка, идущая из состояния sj в состояние si с числом qij над ней, показывает вероятность этого перехода. В том случае, когда qij=0, соответствующая стрелка не проводится.
Ну а теперь самое интересное, чем собственно меня и привлекла “многомерная матрица” Гадюки  Она упоминает "точки пустоты", как она пишет: “ячейки, на которые не замкнуто ни одного вектора вероятности”, и при этом “из "точки пустоты" можно выйти в любую другую точку матрицы. иначе говоря, при выходе из этой точки ты независима от баланса системы - напротив, он зависим от твоего решения.”
Мне это сразу напомнило о суперпозиционных состояниях. У Гадюки я увидел интуитивно верную попытку перейти от классической физики к квантовой теории .
Немного поясню. Как я уже говорил, описанные выше цепи Маркова применяются в классической физике, и набор состояний (1) не предусматривает возможность существования нелокальных суперпозиционных состояний, когда система может одновременно находиться в двух и более ортогональных (несовместимых с классической точки зрения) состояниях.
В то же время принцип суперпозиции в квантовой механике утверждает, что если система может находиться в некоторых состояниях (пусть это будут состояния из набора (1)), то она может находиться в состояниях, которые получаются одновременным “наложением” двух или более состояний из этого набора. Т.е. с точки зрения квантовой теории набор состояний (1) можно существенно расширить, дополнив его суперпозиционными состояниями.
С классической точки зрения, действительно, это будут “пустые ячейки”, на которые не замкнуто ни одного вектора вероятности, поскольку классическим путем попасть в эти состояния невозможно (нужен процесс рекогеренции). А вот с точки зрения квантовой теории они не будут уже пустыми, а будут иметь вполне конкретный физический смысл. И из этих суперпозиционных состояний, как и пишет Гадюка, действительно, можно выйти в любую другую точку матрицы, “проявив” в процессе декогеренции из суперпозиции то или иное классическое состояние.
Таким образом, квантовая теория способна не только наполнить эти "точки пустоты" физическим содержанием, но и количественно описывает физические процессы, которые позволяют работать с этими “точками” .
Про “многомерные матрицы” в квантовой теории и супероператорный формализм я могу продолжить….
|
|
