Форум Физика Магии :: Многомерная матрица [8]

Не зарегистрирован!

Сергей Иванович, большое спасибо за разьяснения. При секции нашей УАН, открыт журнал "Космонавтика", я там отв. секретарь и научный редактор раздела "физика космоса".
В данном разделе предполагается публиковать работы по квантовой космологии, если у Вас есть материалы, присылайте их на адрес редакции "Темпоралогии" (мы пока не определились с адресом эл. почты).
Д.Давиденко.

Advanced Member

С.И. Доронин
Цитата:

Получается модель 8-кубитной Вселенной с 7 тонкими уровнями квантового ореола.

С количеством уровней не в точно так, и вообще не уверена, подходит ли мой пример под то, о чем вы говорите, но в общем так.
Имеется пакет матриц 8х8 с единичками в одних клеточках и ноликами во всех остальных. Единичками обозначены равновероятные на этом срезе реальности события. Ноликами - события на этом уровне невероятные.

Нет ни одной пары матриц, где бы единички стояли в одних и тех же клеточках. Естественно, положение пустых клеточек (точек пустоты) может быть одинаковым. Переход с одного уровня на другой осуществляется через точки пустоты.
Сможет ли помочь супероператорный формализм, если я «нахожусь» в некоторой клеточке с единичкой на самом нижнем уровне, а мне надо попасть в заданную клеточку с единичкой на несколько уровней выше? Т.е. что и как необходимо сделать, чтобы невероятное на первом шаге событие, стало 100% вероятным?
Что нужно, чтобы четко прописать весь путь?
Чего не хватает в условиях задачи?
Спасибо.

Администратор

April

Нужно знать задачу. Сами по себе матрицы ничего не говорят, если они не привязаны к конкретной задаче. Причем задача должна быть поставлена достаточно корректно, чтобы можно было воспользоваться формализмом и получить решение. Постановка задачи очень существенна, и сделать это непросто, часто этот этап занимает больше времени, чем само решение.

Advanced Member

С.И. Доронин
Цитата:

Нужно знать задачу. Сами по себе матрицы ничего не говорят, если они не привязаны к конкретной задаче. Причем задача должна быть поставлена достаточно корректно, чтобы можно было воспользоваться формализмом и получить решение. Постановка задачи очень существенна, и сделать это непросто, часто этот этап занимает больше времени, чем само решение.

Матрицы привязаны к конкретной задаче. Иначе, извините, это было бы не нужно и не интересно.
Конечно, если вы считаете, что все слишком сложно, то я вам верю.
Спасибо.

Администратор

April

Я говорю о том, что мне нужно знать задачу, чтобы хоть что-то сказать

.

Advanced Member

С.И. Доронин
Цитата:

Я говорю о том, что мне нужно знать задачу, чтобы хоть что-то сказать .

Что я могла, то рассказала про задачу. И не приходит в голову, какие еще подробности могут быть вам полезны. По этому и спрашиваю: а что, что еще нужно, чтобы, ну бог с ним, с решением, чтобы сделать постановку задачи?
Не подумайте чего, я все понимаю - и про постановку задачи, и про формализацию..

(Отредактировано автором: 20 Октября, 2006 - 11:07:08)

Администратор

Мне непонятно, что стоит за матрицами, что они описывают? Откуда они возникают, по какому правилу расставляются нули и единицы в каждой матрице, почему матриц несколько и т.п.

Не зарегистрирован!

Сергей Иванович, я внимательно перечитал Ваши ответы и у меня возникли еще вопросы.
И первый вопрос связан с терминами чистое и смешанное состояние. Я всегда считал, что чистое состояние квантовой системы (относительно какой-то выбранной величины, например, энергии, а более точно относительно полного набора величин) это состояние, в котором измерение этой величины приводит всегда к одному и тому же результату. Это означает, что система находится в состоянии с четко заданным уровнем энергии. Смешанное состояние это просто суперпозиция чистых (базисных состояний). Измерение величин из полного набора приводит к разным результатам, но они все будут иметь значения какого-то чистого (базисного) состояния. Вероятность выпадения того или иного базисного состояния при измерении будет определяться квадратом модулей коэффициентов разложения исходной волновой функции по волновым функциям чистого состояния. В связи с этим мне не понятно почему на сфере Блоха все состояния чистые. Если исходить из того как я понимаю этот термин, то чистыми состояниями будут только состояния на полюсах, а все остальные состояния на сфере будут смешанными. Или я чего-то не понимаю?
Второй вопрос. Чем отличаются состояния на экваторе сферы Блоха друг от друга кроме фазы? Насколько я знаю фаза волновой функции не наблюдаемая величина и поэтому несущественна.
Третий вопрос.
Насколько я понимаю, матрица плотности не описывает квантовую систему как таковую. Это есть описание квантовой системы со всевозможными ее путями эволюции. Поэтому понятно, что в этом случае нельзя системе приписать какую-нибудь конкретную волновую функцию. Однако, зафиксировав какой-то момент времени, мы обнаружим, что система находится в одном из состояний, описываемых конкретной волновой функцией. Я правильно рассуждаю?
Продолжу свои рассуждения дальше. Теперь мы благодаря матрице плотности имеем множество путей эволюции квантовой системы. Если рассмотреть каждый путь системы в отдельности мы получим, что квантовая система на этом пути имеет в каждый момент времени волновую функцию, меняющуюся со временем. Далее рассматривая интерференцию этих путей, мы приходим к алгоритму Фейнмана эволюции системы. Так или нет?
Далее. Мы не имея возможности измерять состояние системы сколь угодно часто, вводим понятие квантовых переходов из одного состояния системы в другое. Время пребывания системы в состоянии от одного перехода до другого и есть хроноквант?
Надеюсь что рассуждения мои правильные. Очень жду на них критику.
А теперь сам вопрос. Я все-таки не понял почему же такие состояния (хотя называть их состояниями, по-моему, немного некорректно) лежат внутри сферы Блоха. (Как говорил Дирак это не вопрос, а утверждение)
Д.Давиденко.

Администратор

Д.Давиденко

Цитата:

Я всегда считал, что чистое состояние квантовой системы (относительно какой-то выбранной величины, например, энергии, а более точно относительно полного набора величин) это состояние, в котором измерение этой величины приводит всегда к одному и тому же результату. Это означает, что система находится в состоянии с четко заданным уровнем энергии. Смешанное состояние это просто суперпозиция чистых (базисных состояний).

Нет, неверно. Суперпозиция чистых состояний есть тоже чистое состояние. См., например: http://slovari.yandex.ru/art.xml?art=bse/00089/74100.htm
«Суперпозиция волновых функций (т. е. их сумма с произвольными комплексными коэффициентами) также описывает Ч. с. системы.»
Там же, по ссылке «смешанное состояние» http://slovari.yandex.ru/art.xml?art=bse/00072/18400.htm можно прочитать:
«Смесь состояний, смешанное состояние, состояние квантовомеханической системы, которое, в отличие от чистого состояния, не описывается волновой функцией.»

Это основное отличие смешанного состояния от чистого – описывается оно или нет вектором состояния (волновой функцией).

Возможно, некоторые недоразумения возникают потому, что в КМ есть два вида суперпозиции, поскольку «накладываться» друг на друга могут, либо векторы состояния, либо матрицы плотности. Первая суперпозиция называется когерентной, вторая – некогерентной.

Смешанное состояние можно рассматривать как некогерентную суперпозицию чистых состояний, но складываются в этом случае матрицы плотности (т.е. проекторы, а не сами векторы состояния), простой пример: ρ= 1/2|0><0|+1/2|1><1|. Это смешанное состояние – оно не может быть записано в виде вектора состояния. Проекторы |0><0| и |1><1| – это две матрицы плотности для чистых состояний |0> и |1> соответственно.

В случае когерентной суперпозиции, когда складываются векторы состояния (а не матрицы плотности), состояние остается чистым, пример: |ψ>=1/√2|0>+1/√2|1>.

Цитата:

В связи с этим мне не понятно почему на сфере Блоха все состояния чистые. Если исходить из того как я понимаю этот термин, то чистыми состояниями будут только состояния на полюсах, а все остальные состояния на сфере будут смешанными. Или я чего-то не понимаю?

Видимо, это следствие неверного понимания того, что такое чистое состояние. Множество точек на сфере Блоха – всё это чистые состояния для вектора |ψ>=a|0>+b|1>, где a и b комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки |a|²+|b|²=1. Различным значениям a и b соответствуют свои точки на сфере, и чистые классические состояния (когда нет суперпозиции) имею место только на полюсах, когда a=1 (b=0), либо b=1 (a=0).

Цитата:

Второй вопрос. Чем отличаются состояния на экваторе сферы Блоха друг от друга кроме фазы? Насколько я знаю фаза волновой функции не наблюдаемая величина и поэтому несущественна.

Для внешнего наблюдателя они ничем не отличаются. Вы правы, на результат измерения фаза не влияет.

Цитата:

Третий вопрос.
Насколько я понимаю, матрица плотности не описывает квантовую систему как таковую.

Не понял, матрица плотности описывает систему именно «как таковую». Сейчас уже существую методы, которые позволяют непосредственно проверить правильность описания. Это так называемая томография состояния, которая позволяет получить информацию о системе в форме матрицы плотности: см., например, A. G. White, D. F. V. James, Ph. H. Eberhard, and P. G. Kwiat, Phys. Rev. Lett. 83, 3103 (1999); D. F.V. James, P.G. Kwiat, W. J. Munro, and A.G. White, Phys. Rev. A 64, 052312 (2001), в свободном доступе http://arxiv.org/abs/quant-ph/0103121 ; R. T. Thew, K. Nemoto, A. G. White, W. J. Munro, Phys. Rev. A 66, 012303 (2002), в свободном доступе http://arxiv.org/abs/quant-ph/0201052 и др.

Цитата:

Это есть описание квантовой системы со всевозможными ее путями эволюции.

Эволюция задается отдельным оператором, который связывает две матрицы плотности: первая соответствует начальному состоянию системы, а вторая – ее конечному состоянию. В результате эволюции системы (что описывается действием оператора) одна матрица плотности (начальное состояние) переходит в другую (конечное состояние).
Например, начальная матрица плотности ρ(0) в результате эволюции системы под действием гамильтониана H изменяется, и в момент времени t будет равна:

ρ(t) = e^–iHt ρ(0) e^iHt.

Цитата:

Поэтому понятно, что в этом случае нельзя системе приписать какую-нибудь конкретную волновую функцию.

Здесь я уже перестаю Вас понимать. Но если говорить о динамике замкнутой системы, тогда то, что было сказано выше, относится и к вектору состояния (волновой функции), тогда эволюция описывается еще проще:

|Ψ(t)> = e^–iHt |Ψ(0)>.

Если это выражение записать в виде проектора, то мы получим предыдущее уравнение для эволюции матрицы плотности. Динамику чистого состояния можно описывать, и так, и так, а вот для смешанного состояния последнее уравнение уже не запишешь (поскольку нет вектора состояния), но уравнение для матрицы плотности будет по-прежнему работать.

Цитата:

Мы не имея возможности измерять состояние системы сколь угодно часто, вводим понятие квантовых переходов из одного состояния системы в другое. Время пребывания системы в состоянии от одного перехода до другого и есть хроноквант?

Зачем ее так часто измерять? Мы и без измерения можем сказать в каком состоянии будет находиться система в тот или иной момент времени (решая уравнения, которые приведены выше). А методами томографии состояния можем себя проверить, и убедиться, что состояние будет именно таким. О каких переходах идет речь? Унитарная эволюция замкнутой системы непрерывна, вектор состояния просто перемещается по сфере Блоха, и система постоянно (непрерывно) переходит из одного состояния в другое.

Цитата:

А теперь сам вопрос. Я все-таки не понял почему же такие состояния (хотя называть их состояниями, по-моему, немного некорректно) лежат внутри сферы Блоха.

Внутри сферы Блоха лежат смешанные состояния, которые не могут быть описаны вектором состояния, например, это открытые системы, которые взаимодействуют со своим окружением.

Администратор

Если быть более точным, в приведенных выше выражениях в показателе экспоненты нужно еще поделить на постоянную Планка (перечеркнутую) ћ. Кстати, эти выражения – общие решения уравнения Шредингера (для вектора состояния или волновой функции) и уравнения Лиувилля- фон Неймана (для матрицы плотности).

Не зарегистрирован!

Многоуважаемый Сергей Иванович!
Созрел для новых вопросов и если Вы не против, то задам парочку.
Во-первых. Какой физический смысл содежится в произвольном смешанном состоянии ρ=a|0><0|+b|1><1|?
Во-вторых. Что представляет собой состояние в центре сферы Блоха?
Д.Давиденко

Администратор

Д.Давиденко

Цитата:

Какой физический смысл содержится в произвольном смешанном состоянии ρ=a|0><0|+b|1><1|?

Если быть более точным, то произвольное смешанное состояние включает все четыре элемента матрицы, а Вы написали только два диагональных. Более общий случай смешанного состояния двухуровневой системы:

ρ=p|0><0|+с|0><1|+c*|1><0|+(1–p)|1><1|.

Вместо a и b я только написал р и (1–р) - вероятности основных состояний (0≤р≤1), чтобы не путать с амплитудами a и b, которые в векторе состояния.
В таком виде матрица плотности охватывает всю сферу Блоха, точнее весь шар, включая внутреннюю область. Если говорить только о смешанных состояниях, то нужно отсюда исключить состояния чистые, т.е. те, для которых ρ²= ρ (поверхность сферы Блоха).

То выражение, которое приводите Вы, охватывает только часть смешанных состояний, а именно классические смеси, т.е. когда нет корреляций между базисными состояниями (внедиагональные элементы равны нулю). Это точки на оси Z для сферы Блоха (на оси квантования), это только классический домен реальности.

С физической точки матрица плотности классической смеси

ρ=p|0><0| + (1–p)|1><1| (1)

описывает состояние двухуровневой системы, которое получается в результате декогеренции кубита окружением. Можно достаточно строго показать, что в результате взаимодействия с окружением, которое имеет много различных степеней свободы, внедиагональные элементы матрицы плотности исходной замкнутой системы становятся бесконечно малыми. Т.е. если у нас есть исходный кубит в замкнутом состоянии, (он тогда описывается вектором состояния, и матрица плотности равна проектору ρ=|ψ><ψ|, в матрице могут присутствовать недиагональные элементы), то в результате декогеренции макроскопическим окружением (напр. при измерении классическим прибором) состояние кубита будет описываться выражением (1), где р=|a|², (1-p)=|b|², здесь a и b – амплитуды из исходного вектора состояния.

Но не только это. Если наш кубит с самого начала входил в состав более сложной системы (несколько кубитов), то тут ситуация сложнее. Дело в том, что в многосоставных системах, как говорит КМ, даже полное знание состояния всех отдельных подсистем не поможет нам понять, в каком исходном состоянии находится вся система. Т.е. нужно исходить из всей системы, нужно знать ее состояние, тогда будет понятен физический смыл матриц, которые описывают подсистемы. Попробую пояснить этот момент на самом простом примере для системы из двух кубитов А и В. Одна и та же матрица плотности типа (1) описывает состояние отдельных кубитов в двух совершенно разных случаях:

1) исходная система находится в максимально смешанном состоянии

ρ_AB=1/4|00><00| + 1/4|01><01| + 1/4|10><10| + 1/4|11><11|

это диагональная матрица, она не может быть записана в виде вектора состояния.

2) два кубита находятся в максимально-запутанном состоянии

ρ_AB=1/2|00><00| + 1/2|00><11| + 1/2|11><00| + 1/2|11><11|.

Это чистое состояние (хорошо известное кэт- состояние типа шредингеровского кота) и для него можно записать вектор состояния |ψ>=1√2 ( |00>+|11> ).

И в том, и в другом случае матрицы плотности отдельных кубитов A и B получаются взятием частичного следа и они равны

ρ_А= ρ_B=1/2|0><0| + 1/2|1><1|.

Т.е. имею вид (1). Но ситуации принципиально различны – в первом случае исходное состояние сепарабельное и его можно разложить на независимые части (факторизовать, представить в виде тензорного произведения подсистем), т.е. выполняется равенство ρ_AB= ρ_AДρ_B. Во втором случае состояние несепарабельное, такое разложение на независимые подсистемы сделать невозможно.

Таким образом, несмотря на то, что внешний вид матриц плотности отдельных кубитов в нашем примере одинаков, их физический смысл совершенно различен – они отражают абсолютно разные ситуации. Одинаковый вид матриц объясняется достаточно просто – и в том и в другом случае при измерении состояния отдельных кубитов мы получим одинаковый результат.

Замечу, что здесь я говорил о квантовой теории, а не о статистической физике – я не касаюсь так называемой статистической (ансамблевой) интерпретации КМ. В ней предполагается, что состояния типа (1) характеризуют не саму частицу (кубит), а некоторый ансамбль классических состояний. Там полагается примерно следующее – допустим, у нас есть 100 частиц, из них 30 находится в состоянии |0> и 70 в состоянии |1>, тогда матрица плотности ρ=0.3|0><0| + 0.7|1><1| характеризует этот ансамбль и показывает вероятности результатов измерений, выполняемых над одной частицей. Но это (имхо) не КМ, а статистика. В квантовой теории вектор состояния (или матрица плотности) характеризует состояние самой частицы, а не какого-то ансамбля. Хотя сейчас все еще довольно часто встречается такое статистическое толкование КМ (с подачи Эйнштейна

). Но при таком подходе невозможно понять, что такое несепарабельное (запутанное) состояние, и не опишешь кубиты, а их квантовые корреляции уже работают в квантовом компьютинге. Можно сказать, что последние практические результаты квантовой теории опровергают ансамблевую интерпретацию КМ. Естественно, я допускаю, что в каких-то случаях такое статистическое описание ансамбля состояний может быть полезным, но это не квантовая теория, а скорее, статистическая физика.

Цитата:

Во-вторых. Что представляет собой состояние в центре сферы Блоха?

Центр сферы Блоха, это точка, которая соответствует той самой матрице плотности, о которой я писал выше: ρ=1/2|0><0| + 1/2|1><1|.
Об этом сказано, напр. у Прескилла:
Preskill J., Lecture Notes, http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph219/#lecture, chapter 2, p. 29.

More generally, the point at the center of the Bloch ball is the sum of any two antipodal points on the sphere – preparing either |↑> or |↓> each occurring with probability 1/2 will generate ρ= ½1.