Форум Физика Магии :: Физика на пальцах. [4]

Super Member

Mike
Цитата:

А величинные закорючки к энтому привинтить можно ?

2 май майн... надо либо граничные условия знать, либо счетчик из около считаемого соорудить, чтобы наблюдатель не в счет шел

но опять же с размерностью от фонаря...

Администратор

April
Цитата:

Это я хотела подвести вас к теме о порядке выстраивания событий, смены состояний. Мне это интересно. И мне хочется поговорить об этом с вами, но грамотно.

Я помню о Вашем интересе к ПМ (пасьянсу Медичи) и ЦС (цепочкам событий)

, и в тему “Ицзин” на аворде я заглядывал (правда, не вникал). Я уже предлагал Вам создать здесь отдельную тему под это дело

…

Попытаюсь ответить на ранее заданные вопросы.

Цитата:

Исключительно распределения вероятности или распределения любой скалярной величины? К примеру, энергия - скалярная величина, и ей соответствует матрица плотности распределения энергии?

Матрица плотности содержит вероятности состояний. Если речь идет о физике, то из вектора состояния (матрицы плотности) можно получить все физические величины (динамические переменные), которые используются при классическом описании системы. Величины не только скалярные, но и векторные (энергию, координаты, импульсы и т.д.), а также функции от этих величин. В КМ динамическим переменным системы (физическим величинам) ставятся в соответствие линейные самосопряженные операторы. Это один из основных постулатов КМ: соответствие оператор – физическая величина.

Вектор состояния и матрица плотности может использоваться в более общем случае, когда речь идет не о физике, а скажем о текстовых сообщениях (и любой другой информации), этот подход используется в квантовой теории информации.
Часто используется стандартный базис – базис из чисел в двоичной системе: 000…00, 000…01, 000…10, 000…11, и т.д.
Как это делается в компьютерах, и любую информацию можно записать в этом двоичном базисе.
Этот базис применяется и в физике, например, в случае спиновых степеней свободы каждая позиция соответствует двум возможным состояниям одного спина во внешнем магнитном поле (0-спин вверх, 1-спин вниз).

Сумма диагональных элементов (след) матрицы плотности равен 1. Это соответствует тому условию, что при измерении (декогеренции), система будет находиться в некотором конкретном состоянии, одном из собственных состояний системы. Т.е. сумма вероятностей собственных состояний равна единице, и реализуется одно из этих состояний.

В квантовой теории информации, например, когда пересылается некоторое сообщение, то возможны искажения, и получатель может получить не то, что было послано (вместо одной буквы – другая). Матрица плотности в этом случае (ее диагональные элементы) характеризует все возможные варианты таких искажений и их вероятности, а “приемник” прочитает один из этих вариантов. Т.е. будет реализован один из этих вариантов с соответствующей вероятностью, а сумма вероятностей (след матрицы плотности) равна единице.

Цитата:

Цитата:
>Например, по касательной к линии уровня в данной точке скалярная величина совсем не меняется>

Можно сказать, что градиент энергии = 0?

Да, вдоль линий (поверхностей) одного уровня градиент равен нулю, скалярная величина на них не меняется.

Цитата:

Как соотносятся друг с другом "вектор состояния" и "градиент энергии"? Это одно и то же?
…
С объемами как раз вопросов не возникает.
Вопросы возникают, если говорить в терминах состояний системы, частей системы, суперпозиции состояний и т.п.

Сначала нужно задать энергию, как функцию состояния. Сделать это можно и в общем случае, формально, не привязываясь к физике.
Например, как это делает Киттель (я упоминал об этом в статье по нагуализму: http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL142004/p4301.html ) через “спиновый избыток” (удвоенную разность между числом нулей и единиц в векторе состояния в двоичном базисе).
Можно, еще проще – как число единиц в векторе состояния. Например, состояние из всех нулей |000…00> принять за минимальное значение энергии, тогда ортогональное ему состояние из всех единиц – состояние с максимальным значением энергии. А энергию для всех промежуточных состояний определять числом единиц, т.е. энергия состояния |01100> равна 2, для состояния |10110> равна 3 и т.д. Здесь можно подумать о нормировке, о том, как удобнее ввести энергию, но суть остается – нужно как-то связать число нулей и единиц в векторе состоянии с количественным значением энергии.

Такое определение энергии имеет и некоторый физический смысл, например, в случае передачи информации по каналу с шумом, для “переворота” (искажения) одного символа требуется меньше энергии внешнего воздействия (шума), чем для “переворота” двух и более символов.

После этого можно говорить и о градиенте энергии. Так, если есть два локальных объекта в исходном состоянии |000…00> (один из них) и |111…11> - другой (каждое из этих состояний сепарабельное), и они приходят во взаимодействие, то градиент энергии между ними будет максимальный (перепад энергии максимально-возможный, т.к. одна подсистема находится в состоянии с минимальной энергией, а другая – с максимально-возможной энергией). Возникает поток энергии, который приводит всю систему в равновесие, и она перейдет, например, в нелокальное суперпозиционное состояние 1/sqrt(2)(|000…00> + |111…11> ) – это состояние несепарабельное, максимально запутанное и нелокальное. В квантовой теории оно называется кэт (cat)- состояние (в память о шредингеровском коте, который находится в состоянии “ни жив, ни мертв”

)

Цитата:

Наш пример, Универсуум, состоящий из 2х частей. Каждая часть может находиться в одном из n-количества своих состояний. Если мы начертим матрицу, где по строкам укажем состояния части А, по столбцам - состояния части Б, то что можно указать в ячейках этой матрицы ? Суперпозицию прежних состояний? Значение кв.запутанности части А и части Б? Значение градиента энергии, соответствующее этому новому состоянию?

Матрица плотности строится не так, – в строках не состояния части А, и в столбцах не состояния части Б. Сложно уже говорить, попробую пояснить на примере.
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей (А и Б), каждая из которых может находиться в двух состояниях 0 и 1. Вектор типа |01> означает, что подсистема А находится в состоянии 0 (пусть, она на первом месте), а подсистема Б – в состоянии 1.
Если система замкнута (чистое состояние), то мы для нее можем записать вектор состояния, например, в стандартном базисе:

|Ф>=a|00> + b|01> +c|10> +d|11>, ................ (1)

где a, b, c, d – в общем случае комплексные числа (амплитуды), и выполняется условие нормировки |a|²+ |b|²+ |c|²+ |d|²=1.

Вектор состояния (1) описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел, т.е. a, b, c, d могут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.
Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |Ф><Ф| (вектор-столбец (1) нужно умножить на комплексно-сопряженную строку). Это матрица 4*4 и по диагонали в ней стоят |a|², |b|², |c|², |d|² – это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00>, |01>, |10>, |11>. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, т.е. информация о градиентах содержится в этих элементах.

Состояние (1) может быть максимально запутанным, например, одно из них:

|Ф>=1/sqrt(2)(|00> + |11> ). ............. (2)

Матрица плотности в этом случае равна:

½ 0 0 ½
0 0 0 0 ................. (3)
0 0 0 0
½ 0 0 ½

Т.е. система с равной вероятностью (1/2) находится в состояниях |00> и |11> (кот ни жив, ни мертв) – это диагональные элементы. И корреляции между этими состояниями максимальны (недиагональные элементы). При измерении этого нелокального состояния (при декогеренции) мы получим одно из двух классических локальных (сепарабельных) состояний |00>, или |11> с равной вероятностью.

Если система незамкнута (открытая), то это смешанное состояние, тогда она не описывается вектором состояния, но по-прежнему ее можно описать матрицей плотности.
Например, максимально-смешанное состояние:

¼ 0 0 0
0 ¼ 0 0
0 0 ¼ 0
0 0 0 ¼

Его уже нельзя записать в виде вектора состояния (1). В этом случае нет корреляций между состояниями |00> |01> |10> |11>, и при измерении мы можем получить любое из этих состояний с равной вероятностью ¼.

Замечу, что матрица плотности такого вида получается, если мы хотим описать состояние одной из подсистем, например А в случае максимально-запутанного состояния, например, (2). Т.е. если мы возьмем частичный след по подсистеме Б и получим частичную матрицу плотности размерностью 2*2, которая описывает подсистему А, то эта матрица плотности будет соответствовать максимально-смешанному состоянию и будет иметь вид:

½ 0
0 ½

Подсистема А с равной вероятностью (1/2) может находиться в состоянии |0> или |1>.

Цитата:

Когда мы говорим - "состояние системы" - что мы имеем в виду? Меру кв.запутанности и значение градиента энергии, соответстующий этой запутанности?

В зависимости от контекста. Речь может идти о состоянии, полученном в результате измерения (декогеренции), т.е. об одном из реализованных собственных состояний системы. Или речь идет об исходном состоянии, т.е. о векторе состояния (матрице плотности), тогда по структуре матрицы плотности можно сказать о кв.запутанности и о корреляциях (в частности, о градиентах энергии). В простых случаях, например, для матрицы плотности типа (3) (когда ½ стоят по четырем углам, а остальные нули) сразу можно сказать, что это максимально-запутанное кэт-состояние.