Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Посмотрел результаты. Поразительно. Но следует очень сильно подумать - слишком впечатляющие результата, чтобы очень сильно насторожить. Заметил, что пересекаться траектории начинают после того, как отношение d к λ станет больше какого-то критического значения. Для d/λ=80 пересечения траекторий вообще становятся нормой.

PS1: отправил на е-мэйл повторно файл interference512.doc, в котором привел конечную формулу (12) к еще более ясному результату. Посмотрим, что даст новая весия программы, просчитывающая по этой формуле.

PS2: Пипа, могу я тебе выслать черновй вариант рукописи в журнал Квановая Магия, в которой изложены результаты по обнаружению Талбот эффекта. Следует подчеркнуть, только обнаружениеТалбот паттернов и ничего более.

[Pipa]

Только что выслал на твой е-мэйл файл interference512.doc

   Письмо получила.

Параметры a, b и фаза φ в данном выражении представлены формулами (2) и (5). Устраивает тебя такая роспись?

   Нет, меня это не совершенно не устраивает, поскольку я просила другого. Постараюсь объяснить свою просьбу еще раз.
   Для sigmaT вы когда-то дали такое определение (цитирую, как есть):

Теперь выпишем функцию комплексного параметра девиации:
   sigmaT = sigma0*(1 + i*hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0));
так что sigmaT зависит от t, а так же от трех параметров hP, mN и sigma0

  Отсюда следует, что величина sigmaT есть комплексное c+di. У него действтельная часть c=sigma0, а минимая d=sigma0*hP*t/(2*mN*sigma0*sigma0)). Однако пробема в том, что эта sigmaT всегда присутствует в знаменателях различных выражений, но никогда в числителе. Это заставляет меня делить на нее, теряя точность.
   Просьба моя состояла том, чтобы подобным образом определить не sigmaT, а обратную ей величину 1/sigmaT, а еще лучше обратную величину вот этого выражения:
1 + i*hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0
поскольку sigma0 могу и я сама поделить или умножить без проблем, т.к. она, в отличие от sigmaT, величина действилельная.
   Т.е. мой вопрос может быть переформулирован так: пусть выражение 1/(1 + i*hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0) представляет собой a+bi, чему тогда равны эти a и b, выраженные через те же hP, mN и пр.?
   Проблема в том, что деление комплексных чисел определено так:
(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(cc+dd) + i*(bc-ad)/(cc+dd)
Поскольку мы ищем обратную величину для c+di, то числитель у нас равен действительной единице, т.е. a=1, b=0. Следовательно обратная величина будет равна:  
1/(c+di)=c/(cc+dd) + i*(-d)/(cc+dd)
 Кроме того у нас еще и c=1. Выходит, что искомые a и b получаются такими:
1/sigmaT = a + bi,
где
a = 1/(1+dd)
b = -d/(1+dd)
К сожалению выражение для d весьма громоздко d = 1+hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0. При возведении в квадрат (dd) оно теряет знаки, катастрофически приближаясь к единице. В этом отчасти состоит проблема точности.

[Pipa]

   Мои изыкания по борьбе с погрешностью вычислений еще не окончены. И мне еще понадобится ваша помощь для понимания одного места в алгоритме, которое вызывает у меня большие сомнения. К сожалению, я не могу задать этот вопрос прямо сейчас, детально не изложив ситуацию. А это необходимо, т.к. взаимопонимание между нами оставляет желать лучшего. К сожалению, детальное изложение с рисунками потребует некоторого времени.

[valeriy]

Т.е. мой вопрос может быть переформулирован так: пусть выражение 1/(1 + i*hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0) представляет собой a+bi, чему тогда равны эти a и b, выраженные через те же hP, mN и пр.?

Это просто. Пусть для простоты

1/(1 + i*hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0) = 1/(1+i*X)

Здесь

X = hP*t/(2*mN* sigma0*sigma0

Приравняем  a+ib = 1/(1+i*X)
теперь умножим  второе выражение на комплексносопряженное (1-i*X) и поделим на него же

1/(1+i*X) *((1-i*X)/(1-i*X) = (1-i*X)/(1+X²)

Откуда находим

a = 1/(1+X²),   b = -X/(1+X²)

[Pipa]

   В прошлый раз я закончила на том, что исходный цикл в процедуре вычисления тангенциальной скорости Vx, мне удалось сильно сократить, тем самым на корню избавиться от дополнительных погрешностей вычисления.
   Изначально цикл суммирования по щелям выглядел так:

PSIsumm = nablaPSIsumm = 0
Цикл по всем щелям в фигурных скобках
{ x = расстояние до щели
   PSI = temp1 * exp((x*x)/temp2 + temp3)
   PSIsumm += PSI
   nablaPSIsumm += PSI * (x/2) / temp2
}
Vx = (h/m) * Мнимая_часть_от(nablaPSIsumm / PSIsumm)

где:
PSI – вычисляемое значение пси-функции
Знак += означает «добавление со знаком плюс» или «добавить к».
PSIsumm и nablaPSIsumm – суммы, накапливающие PSI и nablaPSI.
temp1, temp, temp2 – какие-то комплексные числа, вычисляемые вне цикла.

   Ранее выяснилось (о чем я подробно рассказала в предыдущем сообщении), что промежуточные множители temp1 и temp3 можно из этой процедуры исключить, поскольку они на отношение nablaPSIsumm / PSIsumm они не влияют, поскольку вносимые ими изменения попадают под сокращение. В результате был получен упрощенный алгоритм:

PSIsumm = nablaPSIsumm = 0
Цикл по всем щелям в фигурных скобках
{ x = расстояние до щели
   PSI = exp((x*x)/temp2)
   PSIsumm += PSI
   nablaPSIsumm += PSI * (x/2) / temp2
}
Vx = (h/m) * Мнимая_часть_от(nablaPSIsumm / PSIsumm)

здесь в цикле остался единственный комплексный делитель temp2, который численно равен произведению sigma0*sigmaT. Поскольку деление на комплексное число вещь нехорошая (сильно теряется точность), то я проявила интерес к вычислению обратной величины 1/sigmaT, которая будучи вычисленной с достаточной точностью, позволила бы заменить деление на комплексных чисел на умножение.
    Однако пока я не стану избавляться от деления, а поступлю гораздо проще – вынесу делитель за пределы цикла, поскольку он относится ко всей сумме nablaPSIsumm. Причем вынесу я его сразу с двойкой, на которую делят x:
 
PSIsumm = nablaPSIsumm = 0
Цикл по всем щелям в фигурных скобках
{ x = расстояние до щели
   PSI = exp((x*x)/temp2)
   PSIsumm += PSI
   nablaPSIsumm += PSI * x
}
Vx = (h/m) * 0.5 * Мнимая_часть_от(nablaPSIsumm / temp2 / PSIsumm)
Жирно показано, куда переместился делитель. Такая конструкция, хотя и не позволила полностью избавиться от деления на комплексное число, тем не менее, она хороша уже тем, что сумму nablaPSIsumm мы набираем без ошибок. А делению будет подвержена уже бОльшая величина, у которой вероятность уцелеть в знаменателе будет куда больше.
   Ну и, конечно же, стоит посмотреть на то, как это влияет на картинку бомовских траекторий.





Здесь вверху так картинка, на которой я остановилась в прошлый раз, с тем лишь отличием, что я дала траекториям разные цвета. А внизу картинка после вынесения делителя за пределы цикла.
   Видно, что синяя и циановая траектории, который в прошлый раз допустили пересечение, теперь «исправились». В том числе и синяя траектория, которая была первой, решившейся на этот отважный поступок . Однако лиловая линия по-прежнему продолжает оставаться в нарушителях. (Версия 1.18, которая так считает, лежит на старом месте).
   Сейчас я не столько добиваюсь доказать возможность пересечения траекторий, сколько хочу дать понять, насколько же мизерными могут быть изменения, круто приводящие к изменению направления траекторий.
   
   Еще одна интересная мысль, на которую наводит наша ситуация. Обратим внимание на отношение сумм nablaPSIsumm / PSIsumm, определяющее величину скорости Vx, \и посмотрим на что это похоже. А похоже оно на центр тяжести пси-функции! В самом деле, классическое выражение для центра тяжести функции таково:
ц.т. = Σ(x*F(x)) / Σ(F(x))
Т.е. отношение 1-го момента к нулевому (площади). Формула одна в одну с нашей! У нас роль 1-го момента играет nablaPSIsumm += x*PSI, суммирующая произведения с аргументом, а роль нулевого момента играет PSIsumm += PSI, которая просто суммирует значения функции.
   Наличие такой аналогии заставляет меня подвергнуть ревизии способ перебора величины x по щелям, поскольку он начинает противоречить открывшемуся здесь физическому смыслу. В сложившейся ситуации меня не покидает ощущение, что где я неверно это дело считаю. Поэтому я вынуждена вернуться к тому исходному документу, задающему этот алгоритм, и попросить дополнительных разъяснений в связи с открывшимися обстоятельствами. Цитирую первоисточник:

Теперь определим суммарную волновую функцию (работает принцип суперпозиции) в области (x,z), см. прицепленный рисунок.

while (n<=N)
{
   n += 1;
   PSIsumm = PSIsumm + PSI(t,x+n*d)
}

Очевидно, это вычислено в точке x, z = vZ*t. Здесь следует заметить, что t=z/vZ, так что время t может быть представлено через координату z.

     Меня интересует физический смысл величины x+n*d, где n принимает значения натурального ряда чисел. Как здесь указано, x – это координата точки, для которой я ищу скорость. Но почему же, к ней добавляются щелевые дистанции? Причем, почему-то только с одной стороны от этой точки. Откуда следует, что там есть щели?
   Возьму произвольный числовой пример, чтобы суть моего беспокойства стала яснее. Положим, что у нас 10 целей, расположенных в следующих точках:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.
Круглые целые числа выбраны мной для наглядности. Дистанция между щелями тут равна десяти d = 10. Теперь положим, что интересующая меня точка находится между 9-ой и 10-ой щелью, т.е. имеет координату 95. Согласно предложенному алгоритму, я должна суммировать значения PSI-функции в точках:
PSI(t, x+n*d), где x=95 и d=10
n=1     PSI(t, 105) 
n=2     PSI(t, 115) 
n=3     PSI(t, 125) 
n=4     PSI(t, 135) 
n=5     PSI(t, 145) 
n=6     PSI(t, 155) 
n=7     PSI(t, 165) 
n=8     PSI(t, 175) 
n=9     PSI(t, 185) 
n=10    PSI(t, 195)
И что же получается? Мне нужно вычислять и суммировать функцию в точках, лежащих далеко за пределами «ковра». Ведь на координате 100 расположена последняя щель, и дальше ничего нет. Так чего же мне считать пси-функцию в далеких от «поля битвы» точках, ничем не примечательных, когда как существуют куда как более примечательные точки?

[valeriy]

Пипа, давай начнем с начала.
Центр щели расположен в точке х₀. Волновой гауссов пакет, моделирующий излучение с этой щели, задается функцией

Ψ(x-x₀,z) ~ exp{-(x-x₀)²/4σσ^t}

(Я здесь не выписываю все выражение, чтобы не загромождать суть проблемы).

Теперь, пусть существует n=0,1,2, ... ,(N-1) щелей и дистанция между щелями есть d. Тогда мы должны просуммировать вклад от всех щелей, чтобы найти волновое поле в точке (x, z):

Ψ1(x,z) = Σ_n=0^N-1 Ψ(x-(n-N/2)d,z)

Обрати внимание, здесь под суммой математический центр x₀ заменен членом (n-N/2)d. Это означает, что математические ожидаемые щелей располагаются в точках

(n-N/2)d = -d*N/2, -d*(N/2-1), -d*(N/2-2), ... , d*(N/2 - 2), d*(N/2-1), для всех n=0,1,2, ... ,(N-1)

А отклонение от математического ожидания, х, при сдвиге пакета в точку z, как раз и определяет величину волнового поля в этой точке - (х,z). Я не вижу в твоих вычислениях серьезного облома, поскольку распределение плотности вероятности показывает качественно правильную картину. Она подтверждается не только моими оценками на Mathcad, но подобными же картинками, фигурирующими в открытой печати (я имею в виду как рисунок ковра Талбота в Википедии, так и подобные рисунки у М. Берри (правда куда более плохого качества, но это было в 1996 году).

А что касается твоего открытия, касающегося пересечения траекторий, я попытаюсь это проследить на аналитических выкладках, частичное начало которых отражено в файле interference512.doc

[Pipa]

Что бы стало яснее, напишите пожалуйстам список x-x₀ в предложенных мною числах, когда x=95, а щели расположены 10-20-30-40-50-60-79-80-90-100.

Обращаю ваше внимание, что у вас было так:

Теперь определим суммарную волновую функцию (работает принцип суперпозиции) в области (x,z), см. прицепленный рисунок.

while (n<=N)
{
   n += 1;
   PSIsumm = PSIsumm + PSI(t,x+n*d)
}

Очевидно, это вычислено в точке x, z = vZ*t. Здесь следует заметить, что t=z/vZ, так что время t может быть представлено через координату z.

   Цикл while крутится до N ВКЛЮЧИТЕЛЬНО (до n=N), откуда следует, что расчет начинался не с нуля, а с единицы. В это с случае, даже если бы была одна единственная щель (N=1), ваш алгоритм расчета потребовал бы, чтобы я d все равно прибавила. А кончится ваш алгоритмя при n=N+1, поскольку до n=N его докрутит while, а потом в первой строке цикла произойдет увеличение еще на единичку, сверх этого.
   То, что вы сообщили мне сейчас, находится в противоречии с тем, что вы писали раньше.

[valeriy]

Я выбираю нуль по оси х, расположенный посередине между щелями на решетке. Ты выбрала систему отсчета, расположенную слева от щелей, так что первая щель начинется с d=10. ОК, в таком случае твой расчет, данный в предыдущем постинге, а именно
n=1     PSI(t, 105)
n=2     PSI(t, 115)
n=3     PSI(t, 125)
n=4     PSI(t, 135)
n=5     PSI(t, 145)
n=6     PSI(t, 155)
n=7     PSI(t, 165)
n=8     PSI(t, 175)
n=9     PSI(t, 185)
n=10    PSI(t, 195)
является верным.
Из твоего выбора следует, что ось симметрии решетки располагается при х=150

[Pipa]

Из твоего выбора следует, что ось симметрии решетки располагается при х=150

Нет, ось симметрии моей решетки находится в точке 55, поскольку 1-ая щель на 10, а последняя на 100, то центр будет при (10+100)/2=55.

[valeriy]

Нет, ось симметрии моей решетки находится в точке 55

Ну хорошо, пусть будет так

[Pipa]

Если кордината моей точки x=95, то в соответствии с физическим смыслом под экспоненту надо подставлять РАЗНОСТИ между этой координатой и координатой каждой из щелей.
При x=95 разности x-x₀ получатся следующими:
95-10=85 (вклад от 1-ой щели)
95-20=75 (вклад от 2-ой щели)
95-30=65 (вклад от 3-ой щели)
95-40=55 (вклад от 4-ой щели)
95-50=45 (вклад от 5-ой щели)
95-60=35 (вклад от 6-ой щели)
95-70=25 (вклад от 7-ой щели)
95-80=15 (вклад от 8-ой щели)
95-90=5 (вклад от 9-ой щели)
95-100=-5 (вклад от 10-ой щели)

При это эти разницы считаются от ФИКСИРОВАННЫХ положений, где находятся щели, а не получаются путем отступа от текущей точки x.  

[Pipa]

Выложу то, как всё это время было запрограммировано в программе, с которой мы работаем. Привожу живой код на Си, каков он есть в тексте программы:

ldcomplex PSIsumm( 0, 0), nablaPSIsumm( 0, 0);
for( int n = 0; n < N; n++)  // шаги по щелям
{ long double x1 = x + (0.5*(N-1)-n)*d;
  ldcomplex PSI = exp(-0.25*(x1*x1)/temp2);
  PSIsumm += PSI;
  nablaPSIsumm += PSI * x1;
}

При построении ковра Талбота считается чуть иначе для увеличения скорости счета:

 dcomplex PSIsumm( 0, 0);
 double x1 = x + 0.5*(N-1)*d;
 for( int n = 0; n < N; n++)  // шаги по щелям
 { PSIsumm += exp((x1*x1)*temp2);
   x1 -= d;
 }

Результат формально тот же самый, хотя в цикле осталось одно единственное вычитание (множитель -0.25 здесь погружен в temp2). При вычислении траекторий я этот способ ускорения не использую, опасаясь накопления ошибок при суммировании.

У меня величина (0.5*(N-1)-n)*d знакопеременная. Щели считаются с n=0 (первая щель) до N-1 (последняя щель).
При n=0 получаем расстояние 0.5*(N-1)*d
При n=N-1 получаем расстояние 0.5*(1-N)*d
Т.е. по модулю расстояния от нуля координат до крайних щелей одинаковы.
Счет идет задом наперед (от правой щели до левой), вспять направлению координаты, но на результат это сказываться не должно, поскольку порядок суммирования на результат не влияет.

Проверяйте, так правильно?

[valeriy]

Проверяйте, так правильно?

противоречий не заметил, как будто все верно.

Счет идет задом наперед (от правой щели до левой), вспять направлению координаты

Это я заметил, но это, на самом деле, не принципиально.

[Pipa]

Это я заметил, но это, на самом деле, не принципиально.

   Вы так думаете? А вот я сейчас покажу вам занимательный эксперимент! Посчитаю сначала по щелям в старом порядке (от большой координаты к меньшей),

x + (0.5*(N-1)-n)*d

а потом в новом порядке, который будет отличаться от старого исключительно обратным порядком перечисления щелей. Вот так:

x + (0.5*(1-N)+n)*d

   На ковер Талбота такая замена, конечно же, ни малейшего влияния не окажет, но траектории в этом отношении сверхпривередливы!





На верхней картинке щели перечисляем в старом порядке уменьшения координаты, а в нижней картинке перечисляем их в новом порядке увеличения координаты.
   Обратите внимание на ту область, которую я обвела в прямоугольную рамочку? Видите разницу? Вот то-то и оно!

Думаете это формулы  
x + (0.5*(N-1)-n)*d
и
x + (0.5*(1-N)+n)*d
виноваты? Ничуть! В них все числа с очень короткими мантиссами, тут ничего даже не округляется, и результаты они дают абсолютно одинаковые. Только... в обратном порядке! А из-за этого изменяется и порядок сложения экспонент.
   Это только в школе учат, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, а при реальных вычислениях в ограниченной знаковой сетке очень даже меняется! Ведь если сначала положить в сумматор большое число, а потом добавлять к нему маленькие, то некоторая часть маленьких не войдет в сумму, поскольку вместе с большим они в одной разрядной сетке не помещаются. Например, сколько не добавляй к единице число 1e-17, сумма никогда не увеличится (в разрядной сетке long double это 1e-19). Хоть до бесконечности добавляй!
    А вот если начать сложение с маленьких, то все получится в ажуре. Они хоть и малы сами по себе, но сумму могут дать правильную. Например, 2e-31 + 3e-31 абсолютно точно дадут 5e-31, и ничего тут не округлится. А уж эта накопленная сумма может уже и с единицей сложиться, если до 1e-17 дорастет.
   Вот и получается что вклады дальних щелей (по отношению к нашей точке, а не к началу координат) окажутся востребованными, если их складывать первыми, но окажутся пропавшими, если их складывать в последнюю очередь.
   Изменение в области рисунка, очерченной прямоугольником, относится к левой части шкалы, откуда ближе к щелям с низкими номерами. Поэтому результат получается точнее, если считать, начиная от далеких щелей. В нижней же части рисунка (там мы с траекториями не упражняемся) ситуация окажется полностью противоположной - оттуда тот край деревни ближе, а наш дальше.
   Как видите мы подошли к пределу неопределенности, когда не только точность вычислений оказывает влияние на траекторию, но и последовательность суммирования. В идеале все слагаемые было бы полезно отсортировать в порядке возрастания, и только затем в этом же порядке складывать. Только практически это осуществлять замучишься.
   А что касается самой возможности пересечения траекторий, то она вполне естественна в ситуации, когда ковер Талбота покрыт диагональной штриховкой. Ведь если штриховка диагональная, то и траектории будут иметь тенденции по этим диагоналям выравниваться. А диагонали, как известно пересекаются. А не пересекались бы, то не было и ковра Талбота в том виде, в котором мы его наблюдаем.
   Эффекты пересечения я уже задолго до этого видела, только протекали они неявно. Неявно - значит, что при натыкании на лагуну, объезд может произойти с любой стороны, как справа по ходу движения, так и слева. А это значит, что "правило жгута" на картинках было нарушено до того, как траектории позволили себе наглую выходку образовать крест. Просто крест это явно и бросается в глаза, а объезд с разной стороны это гораздо незаметнее.

[valeriy]

Эффекты пересечения я уже задолго до этого видела, только протекали они неявно. Неявно - значит, что при натыкании на лагуну, объезд может произойти с любой стороны, как справа по ходу движения, так и слева. А это значит, что "правило жгута" на картинках было нарушено до того, как траектории позволили себе наглую выходку образовать крест. Просто крест это явно и бросается в глаза, а объезд с разной стороны это гораздо незаметнее.

Возможно, выяснение поведения траекторий на коврах Талбота будет одной из основных работ на ближайшее время. Когда в самом начале были расписаны плотности вероятностей и формулы для вычерчивания бомовских траекторий, я не думал, что мы столкнемся с проблемой пересечения траекторий на коврах Талбота (впрочем, и о коврах Талбота тогда еще не было речи). Тем более, что траектории в классической механике не пересекаются, но плотно заполняют фазовое пространство, подчинясь теореме Лиувилля - плотность фазовых траекторий сохраняется в фазовом объеме при любых его деформациях по мере эвоюции во времени (по сути, это дается решением уравнения  непрерывности). Но здесь мы имеем дело с потоками квантовых объектов. И в данном случае могут иметь такие квантовые заморочки, как-то туннелирование. Может быть так, а может быть и нет. Но со странным поведением траекторий в узлах (самые темные места на 2D-карте), на которых могут быть пересечения, может быть связан эффект туннелирования. Боюсь, что моделирование на компьютере здесь мало чем поможет. Нужны предварительные аналитические оценки, чем я сейчас и занимаюсь. Очевидно, на определенных этапах придется обращаться к услугам компьтера. Но это тогда, когда будет получен набор формул, последующий анализ которых без компьютера будет не эффективен.

Поясни мне, пожалуйста, что означает "правило жгута" и что ты имеешь в виду под фразой "траектории позволили себе наглую выходку образовать крест. Просто крест это явно и бросается в глаза, а объезд с разной стороны это гораздо незаметнее." 

Столкнувшись с эффектом Талбота (а в пределе с фракталами Талбота), приходится быть готовым иметь дело с сингулярностями. Сами сингулярности проявляют  свое лицо, во всем своем величии, в математическом пределе на фракталах. Но судя по всему, траектории Бома чувствуют их "дыхание" задолго до наступления истинных сингулярностей. Этот вопрос предстоит детально прояснить. Не ожидал, что судьба выведет на ковры Талбота, а как следствие, и на странное поведение бомовских траекторий в ключевых точках на этих коврах.