Пара вопросов по квантовым компютерам

[fbp]

Относительно недавно начал интересоваться квантовыми компютерами и вычислениями и в процессе обучения возникли вопросы, на которые не смог найти ответы в литературе.
1. Для гейта CNOT во всей доступной мне литературе указано только результат для базисных состояний. Но я нигде не смог найти каким должен быть результат для суперпозиции базисных состояний, например (А1|0>+A2|1>) CNOT (B1|0>+B2|1>)

2. Есть ли где-нибудь в интернете (в свободном доступе) программа для моделирования квантовых схем (симулятор квантового компютера). Пусть на 5-7 кубит (понятно что много классический компютер не потянет) ?

Извините если не по теме, отошлите где по теме
--------------
Любый Владимир

[Bit]

2. Есть ли где-нибудь в интернете (в свободном доступе) программа для моделирования квантовых схем (симулятор квантового компютера).

Только что нашел что-то похожее.
Судя по хелпу (28 страниц) должно работать.

http://msc.phys.rug.nl/compphys0/qce.htm

[fbp]

QCE - эмулятор для физического квантового компютера на спинах. Он довольно неудобен для более общих задач.
Вот нашет подборку эмуляторов на любой вкус.
http://www.quantiki.org/wiki/index.php/List_of_QC_simulators
В частности мне понравился QCAD

Теперь вопросы. Как я понимаю, после спутывания (например после прохождения ранее не спутаными кубитами гейта CNOT) отдельные кубиты нельзя рассматривать отдельно, только в составе единой системы. Но все же отдельный кубит имеет какое-то соотношение вероятностей 0/1 (которое можно даже измерить многократно проведя эксперимент), и вроде должен иметь определенное фазовое соотношение 0/1 (которое тоже наверное можно оценить). Так вот как из общего вектора состояния системы (или матрицы плотности) можно вычислить состояние отдельного кубита? Понятно что вектор состояние системы в целом не будет являтся произведением состояний отдельных кубитов вследствии нелокальных кореляций.

[С.И. Доронин]

Так вот как из общего вектора состояния системы (или матрицы плотности) можно вычислить состояние отдельного кубита? Понятно что вектор состояние системы в целом не будет являтся произведением состояний отдельных кубитов вследствии нелокальных кореляций.

Необходимо сделать редукцию по остальным кубитам, взять по ним частичный след. Как это делается подробно разбиралось в теме "Численный анализ многокубитных систем", начиная отсюда: http://quantmag.ppole.ru/index.php?option=com_smf&Itemid=34&topic=76.msg1287#msg1287
и ниже...

[fbp]

Спасибо, прочитал, и вроде кое-что понял. Есть еще вопросы:

1.Если над определенной системой мы производим измерение определенного кубита, то матрица плотности для результата будет входной матрицей плотности из которой вычеркнуты строки и столбцы НЕ соответсвующие результату измерения. Я правильно понял ? Т.е.  если имеем матрицу для двух кубитов
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4
и в результате измерения например второго кубита мы получили например 1, то результат - матрица для оставшегося получается вычеркиванием строк и столбцов, которые соотв. значению 0 для второго кубита, т.е. 1-я и 3-я:
b2 b4
d2 d4
Или мои рассуждения неверны?

2.Можно ли, и как из матрицы плотности получить вектор состояния ?
Т.е. найти числа a,b,c,d для состояния вида
a|00>+b|01>+c|10>+d|11>
из матрицы плотности

P.S. Извините если вопросы Вам кажутся слишком ламерскими, но найти ответы самостоятельно в доступной мне литературе не могу.

Спасибо.

[Pipa]

2.Можно ли, и как из матрицы плотности получить вектор состояния ?
Т.е. найти числа a,b,c,d для состояния вида
a|00>+b|01>+c|10>+d|11>
из матрицы плотности

  Если это матрица плотности чистого состояния, т.е. та, которой соответствует одиночный вектор состояния, то у этой матрицы всегда будет единичный ранг, независимо от размерности. Отсюда следует, что любая строка или столбец такой матрицы будут ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ вектору состояния. А теперь дело осталось за малым - так пронормировать эту строку или столбец, чтобы его модуль стал равным единице, поскольку единичная норма - одно из основных свойств векторов состояний.
  Например, в вашем случае для состояния a|00>+b|01>+c|10>+d|11> матрица плотности будет иметь размерность 4х4. Берем из нее, например, первый столбец. Положим, что он равен [v1, v2, v3, v4]. Тогда его модуль будет равен квадратному корню из суммы квадратов v1*v1'+v2*v2'+v3*v3'+v4*v4', где штрихом помечены комплексно-сопряженные величины, т.к. в общем случае матрица плотности - комплексная:
modul=abs(v) = sqrt(v1*v1'+v2*v2'+v3*v3'+v4*v4')
   А если матрица плотности действительная, то там будут обычные квадраты:
modul=abs(v) = sqrt(v1²+v2²+v3²+v4²)
После этого делим наш столбец [v1, v2, v3, v4] почленно на модуль и получаем то что хотели - вектор состояния:
[a, b, c, d] = [v1, v2, v3, v4] / modul
   Можно сделать проверку - вычислить матричное произведение векторов [a, b, c, d]*[a, b, c, d]'. Если все было сделано правильно, то в результате получится исходная матрица плотности.
   Но если матрица плотности имеет ранг больше 1, т.е. представляет собой смешанное состояние, то такую матрицу из одного вектора состояния никак получить нельзя. В этом случае задача в такой постановке не имеет смысла.

[С.И. Доронин]

Спасибо, прочитал, и вроде кое-что понял. Есть еще вопросы:

1.Если над определенной системой мы производим измерение определенного кубита, то матрица плотности для результата будет входной матрицей плотности из которой вычеркнуты строки и столбцы НЕ соответсвующие результату измерения. Я правильно понял ?

Нет, простым вычеркиванием строк и столбцов здесь ничего не получишь. Не забывайте об основных свойствах любой матрицы плотности (МП), в частности, ее след должен быть равен 1.
Если в приведенном Вами примере в исходной МП элементы а1 и с3 не равны нулю (вещественные положительные), должно выполняться условие а1+b2+с3+d4=1. Тогда очевидно, что для второй матрицы сумма b2 и d4 меньше 1, значит, это не МП.

2.Можно ли, и как из матрицы плотности получить вектор состояния ?

Пипа уже ответила, что это можно сделать только для чистого состояния, добавлю, что проверить любую МП на «чистоту» достаточно просто, для таких матриц должно выполняться условие ro²=ro, т.е. когда квадрат МП равен исходной МП.

[Pipa]

Нет, простым вычеркиванием строк и столбцов здесь ничего не получишь. Не забывайте об основных свойствах любой матрицы плотности (МП), в частности, ее след должен быть равен 1.

  Я сначала хотела на первый вопрос ответить так, что матрицу нужно редуцировать на этот кубит, но потом осеклась. Сомневаться начала в том, что в принципе так бывает, чтобы ОДИН из кубитов системы был бы ЗАФИКСИРОВАН в состоянии 0 или 1 (т.е. по сути перестал быть кубитом), в то время как остальные (свободные) кубиты продолжали иметь с ним корреляционную связь. Такое бывает? И если да, то как подходить к этому случаю?

[fbp]

Нет, простым вычеркиванием строк и столбцов здесь ничего не получишь. Не забывайте об основных свойствах любой матрицы плотности (МП), в частности, ее след должен быть равен 1.
Если в приведенном Вами примере в исходной МП элементы а1 и с3 не равны нулю (вещественные положительные), должно выполняться условие а1+b2+с3+d4=1. Тогда очевидно, что для второй матрицы сумма b2 и d4 меньше 1, значит, это не МП.

Естественно нужно пронормировать. Если например имеем вероятность каждого варианта измерения (00,01,10 и 11) по 1/4, а диагональные элементы как раз и есть вероятности, и производим измерение по одному кубиту, то понятно что вероятности по оставшемуся будут не по 1/4 на,  а по 1/2.
А по поводу второго вопроса: состояние квантового компютера всегда чистое (а вопрос именно про компютер), поскольку иначе, при наличии связи с внешней средой, производить вычисления невозможно.

[С.И. Доронин]

Pipa

Сомневаться начала в том, что в принципе так бывает, чтобы ОДИН из кубитов системы был бы ЗАФИКСИРОВАН в состоянии 0 или 1 (т.е. по сути перестал быть кубитом), в то время как остальные (свободные) кубиты продолжали иметь с ним корреляционную связь. Такое бывает? И если да, то как подходить к этому случаю?

Смотря что понимать под «фиксацией». Если речь идет о локальной неунитарной операции, такой как локальное обобщенное измерение, то корреляционная связь с измеряемым кубитом теряется.

В качестве примера можно привести ситуацию, когда происходит измерение одной из подсистем (ее декогеренция), и получается конечное состояние, например, первый кубит в результате измерения с вероятностью 0.7 может быть «зафиксирован» в состоянии «спин-вверх» и с вероятностью 0.3 – «спин-вниз». Получаем два возможных конечных состояния σ (для измеряемого кубита) со своими вероятностями w₀=0.7 и w₁=0.3, т.е. σ= ∑_i w_i|i><i|, (i=0, 1).

Математически такое неунитарное преобразование исходной матрицы плотности записывают следующим образом:

ρ → ρ’=∑_k P_k ρ P_k,

где P_k – полный набор проекторов, действующих в пространстве размерностью, равной размерности измеряемой подсистемы, т.е. P_k=|k><k| и ∑_kP_k=1, где k- базисные векторы в пространстве подсистемы, подвергнутой измерению (напр. 0 и 1 для одного кубита). Если быть более точным, то P_k нужно еще умножить тензорно на единичную матрицу, дополняя ее до размерности ρ.

Для двухкубитной системы, когда измеряется первый кубит А, более подробная запись локалной неунитарной операции имеет вид:

ρ_АВ  → ρ’_АВ =∑_i P_i×I ρ_АВ P_i×I
или в другой форме
ρ’_АВ =∑_i w_i|i><i|×ρⁱ_B.

Знак × означает тензорное произведение.
Из последнего выражения видно, что состояние двух кубитов А и В после измерения первого кубита становится сепарабельным.

Матрица плотности первого кубита А (после измерения)

ρ’_А =∑_i w_i|i><i|

Для второго кубита В после измерения МП равна

ρ’_В = 1/w_i Tr_A(P_i×I ρ_АВ P_i×I),

здесь Tr_A- это частичный след по А.

fbp

Возможно, это и будет ответом на Ваш первый вопрос, о том, какая редуцированная МП получатся после измерения.

[Pipa]

   Смотря что понимать под «фиксацией». Если речь идет о локальной неунитарной операции, такой как локальное обобщенное измерение, то корреляционная связь с измеряемым кубитом теряется.
   В качестве примера можно привести ситуацию, когда происходит измерение одной из подсистем (ее декогеренция), и получается конечное состояние, например, первый кубит в результате измерения с вероятностью 0.7 может быть «зафиксирован» в состоянии «спин-вверх» и с вероятностью 0.3 – «спин-вниз».

   Под фиксацией я имела в виду такое задание гамильтониана системы, при котором энергетическая "цена" перевода фиксированного кубита из 0 в 1 была бы задана чрезвычайно большой. Т.е. формально кубитом он остается, но энергетические уровни системы, в которых этот кубит находится в позиции 1, несоизмеримо более высоки, чем те энергетические уровни, где этот кубит находится в позиции 0. Вот и получится, что его вероятность в состоянии 0 равна 100% .
   Если это описать в терминах ПМР, то ситуация подобна такому сильному магнитному полю, когда мощности радиоизлучения просто не хватает на то, чтобы повернуть спин протона против поля. В этом случае, на мой взляд, его можно считать в первом приближении зафиксированным в состоянии низкой энергии, поскольку перевести его в иное состояние не хватит силенок. При этом соседние с ним протоны "чувствуют" его положение. Практически такого, конечно, не бывает, т.к. создать сильное магнитное поле только на одном протоне, оставив его низким на остальных, технически невозможно. Но при описании энергии системы при помощи гамильтониана, такой случай заказать очень легко.
   Пока я это все писала, успела сообразить, что такой протон нельзя считать корорелирующим с остальными, поскольку он сам на их положение никак не реагирует. Такой протон действителотно может быть удален из рассмотрения, а магнитное поле его соседей скорректировано до той величины, на которую его уменьшал этот протон.

[fbp]

Продолжу задавать вопросы.

Какие еще, кроме вектора состояния, матрицы плотности и волновой функции есть методы описания квантовомеханических систем ?

[kaminski]

Доронин в своей книге Квантовая Магия пишет:

. Обычно в квантовой механике предполагается, что декогеренция (редукция) осуществляется за счет взаимодействия с окружением. Я же полагаю, что феномен сознания необходимо связать с редукцией, осуществляемой самой системой «изнутри». Поэтому я и определил сознание как «внутреннее свойство системы».

Если исходить из концепции Доронина элементарного сознания , квантовый компьютер должен быть весьма не надежным устройством. Действительно, если регисты, или даже отдельные кубиты, начнут самовольно принимать те состояния, которые им вздумается, а не те, которые обусловлены корреляциями, то вряд ли такой компьютер будет компьютером. Это будет уже разумное существо, как в Кубриковской одиссее…
В связи с этим у меня следующий вопрос. Не думаете ли вы, что это противоречит самой концепции квантовых вычислений? Ведь, квантовый компьютер в процессе вычисления описывается унитарной эволюцией, то есть его поведение детерминировано алгоритмом. И при этом не должны происходить ни какие спонтанные редукции ни даже какое-либо отклонение от того, что описывается уравнением Шредингера с определенным гамильтонианом.  Разъясните пожалуйста противоречие.

[С.И. Доронин]

Какие еще, кроме вектора состояния, матрицы плотности и волновой функции есть методы описания квантовомеханических систем ?

Методы в КМ могут использоваться самые разные, например, метод теории групп, или приближенные методы (теория возмущений и т.д.), но в основе все равно лежат состояния (в терминах матрицы плотности или вектора состояния).

[С.И. Доронин]

Если исходить из концепции Доронина элементарного сознания , квантовый компьютер должен быть весьма не надежным устройством. Действительно, если регисты, или даже отдельные кубиты, начнут самовольно принимать те состояния, которые им вздумается, а не те, которые обусловлены корреляциями, то вряд ли такой компьютер будет компьютером. Это будет уже разумное существо, как в Кубриковской одиссее…
В связи с этим у меня следующий вопрос. Не думаете ли вы, что это противоречит самой концепции квантовых вычислений?

Я полагаю, что квантовый компьютер (в перспективе), действительно, нечто большее, чем обычный вычислитель. Его создание открывает путь к настоящему искусственному интеллекту. Более того, такое «квантовое сознание» будет способно оперировать нелокальными квантовыми корреляциями (тонкими энергиями), т.е. это будет «сознание мага» .

Другой вопрос, каким образом можно «привить» сознание квантовому компьютеру, чтобы он перестал быть простым «железом» и обычным вычислителем (выполняя внешние инструкции и алгоритмы), а стал осознавать себя.