Сфера Блоха

[valeriy]

P.S. Пользуясь случаем, хочу обратиться к valeriy и kaminski  с просьбой объяснить причину того, что весовые коэффициенты выбираются из поля комплексных чисел, а не действительных.

Выдержка из Википедии http://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix :

In quantum mechanics, a density matrix is a self-adjoint (or Hermitian) positive-semidefinite matrix, (possibly infinite dimensional), of trace one, that describes the statistical state of a quantum system.

Дословный перевод: в квантовой механике, матрица плотности есть самосопряженная (или Зрмитова) положительно-полуопределенная матрица (возможно, бесконечной размерности), след - 1, которая описывает статистические состояния квантовой системы.

Эрмитова (Hermitian) матрица - самосопряженная комлексная матрица. Это означает, что на главной диагонали расположены реальные коэффициенты.

Собственные вектора эрмитовой матрицы - ортогональные.

Недиагональные элемнеты эрмитовой матрицы могут содержать комплексные числа. Они описывают переходы между уровнями в рассматриваемой квантовой системе. Применяется для описания энергетических состояний спиновых цепей, решеток (модели Изинга), фермионных систем (модель Хаббарда).

[Pipa]

Дословный перевод: в квантовой механике, матрица плотности есть самосопряженная (или Эрмитова) положительно-полуопределенная матрица (возможно, бесконечной размерности), след - 1, которая описывает статистические состояния квантовой системы.

    Ваш ответ в крайней степени неудовлетворителен. Вы приводите подтверждение факта ссылкой из энциклопедии в ответ на вопрос "почему?". Попрошу вас перечитать мой вопрос и заметить, что я задала вопрос не о том, какова собой матрица плотности (это я и сама знаю), а ПОЧЕМУ она такая!
    Эрмитовость матрицы плотности имеет своей причиной не статью в Википедии,  то обстоятельство, что вектор чистого состояния формируется как v₁ = a*(0>) + b*(1>), где a и b - КОМПЛЕКСНЫЕ коэффициенты. Если система сложнее, чем кубит, то эта сумма будет более длинная, но коэффициенты по-прежнему используются КОМПЛЕКСНЫЕ. Например, v₂ = a*(00>) + b*(01>) + с*(10>) + в*(11>). Как только мы выбираем коэффициенты a,b,c,d комплексными, то автоматически получаем комплексный вектор v₁ = [a b c d], состоящий из комплексных элементов. Отсюда и производная матрица плотности P=v*v' окажется в общем случае эрмитовой. Тут алгебраический закон такой есть, что матричное произведение вектора на самосопряженный дает эрмитову матрицу. А вот в тот случае, если бы коэффициенты a,b,c,d выбирались вещественными, то матрица плотности оказалась бы не эрмитовой, а действительной симметричной относительно главной диагонали.
    В физическом плане эрмитову матрицу роднит с действительной симметричной (помимо того, что вторую можно рассматривать как частный случай первой) то обстоятельство, что это единственные матрицы, у которых собственные значения всегда вещественны. Вещественность в данном случае есть непреложное требование физического смысла. Выбор в пользу комплексной матрицы плотности допустИм, если мы ограничимся физической интерпретацией того, что вытекает из ее собственных значений. Однако манипуляции со сферой Блоха состоят в том, что интерпретировать начинают комплексную часть расчетов, позабыв про то, что когда-то сами же допустили комплексные числа, рассчитывая на то, что результат все равно окажется вещественным.   
    В результате имеем, что вопрос относительно вида матрицы плотности, комплексная она (эрмитова) или действительная (симметричная), является следствием того, какие числа допустимо использовать в качестве коэффициентов. Именно этот вопрос я и адресовала вам и kаminski.

[valeriy]

Выбор в пользу комплексной матрицы плотности допустИм, если мы ограничимся физической интерпретацией того, что вытекает из ее собственных значений. Однако манипуляции со сферой Блоха состоят в том, что интерпретировать начинают комплексную часть расчетов, позабыв про то, что когда-то сами же допустили комплексные числа, рассчитывая на то, что результат все равно окажется вещественным.

Я не понимаю, что тебя так волнует. Эрмитова матрица М допускает преобразования, при которых недиагональные элементы не будут включать мнимые члены. В частности, важным преобразованием является нахождение ее собственных значений, т.е. приведение ее к диагональному виду:

 М = U S U⁺,

здесь

 U U⁺ = единичная матрица

и S - диагональная матрица, на диагонали которой расположены реальные числа, отличные от нуля, а во всех остальных позициях располагаются нули.
Можно видеть, что

  Trace М = Trace U S U⁺

По сути, вышеупомянутое преобразование есть приведение матрицы к дагональному представлению (в теории групп такое представление называется неприводимым). И это преобразование является ничем иным как переходом к новой системе представления.

[Pipa]

Я не понимаю, что тебя так волнует. Эрмитова матрица М допускает преобразования, при которых недиагональные элементы не будут включать мнимые члены.

    Меня волнует исключительно вопрос, откуда в матрице вообще могли появиться мнимые члены. Т.е. ставлю вопрос об их происхождении. Из-за какой математической операции или физического измерения туда попали невещественные числа. Одно дело, когда это побочный результат при алгебраическом решении математических уравнений, а другое дело, когда такой величине приписывается физический смысл.
    Согласно основной теореме алгебры, уравнение n-ой степени имеет всегда два корня, в общем случае комплексных. Подходя к решению уравнений в общем виде, мы порой получаем мнимые корни, которые обычно отбрасываем. Например, говорят, что данная парабола не пересекает ось абсцисс, несмотря на то, что при алгебраическом решении этой задачи корни получаются всегда. По сходным соображениям частенько отбрасывают и отрицательные корни, когда отрицательной величине нельзя придать физический смысл. Но, тем не менее, из практических соображений удобно работать с действительными числами, не ограниченными только положительной областью, а непригодные результаты отбрасывать уже после их получения.
    В теоретической физике нередко бывает и так, что не имеющие физического смысла величины (мнимые или отрицательные) получаются на промежуточных этапах вычислений, но конечный результат все-таки оказывается вещественным. В этом случае может оказаться, что такое решение согласуется с экспериментом, независимо от того, что в процессе вычислений позволили отступление в "бессмысленную" область. В этом случае работает принцип "независимости решения", который выражает то обстоятельство, что результат решения не зависит от конкретного метода решения, которым он был получен. А это дает право использовать методы для более общих случаев: использовать при вычислении действительные числа, даже тогда, когда результат должен быть заведомо положительным. Или использовать поле комплексных чисел, даже тогда, когда результат должен быть заведомо вещественным. Последнее обстоятельство как раз и определяет ту практику, которая к настоящему моменту повсеместно сложилась. Примером тому может служить и многострадальная пси-функция, которая хотя и провалилась по пояс в мнимую область, но имеет вещественную норму, соответствующую плотности вероятности. И этой пси-функции позволили такую вольность только потому, что ее вещественная норма совпадает с экспериментом даже в тех случаях, когда сама пси-функция - комплексная. Фактически это означает, что он сама перешла в статус промежуточных результатов.   
    В нашем случае, вопрос о мнимой части стоит особенно остро, поскольку именно на ее основе идут спекуляции о том, что мнимое подпространство представляет собой в буквальном смысле потусторонний мир, в котором прячется Бог, которое недоступно нашему познанию и т.п.
   Этот случай заставляет задать вопрос о происхождении мнимых слагаемых в лоб! Действительно ли в каком-то из физических экспериментов получилась мнимая (комплексная величина) или же такие величины есть порождение алгебры, полнота которой достигается лишь на комплексном поле.

[kaminski]

Пипа:
кому-то взбрело в голову  брать весовые доли возможных комбинаций (0> и 1>) в комплексных числах. Отсюда эти комплексные числа и полезли! Эдак даже водка тоже станет комплексной, если мы на 100 частей смеси возьмем не 40 частей спирта, а 40+10i

Водка итак комплексная, ибо она из тех же атомов и электронов… А вот мы с вами действительные! Потому, как мы видим мир только через результат измерения – собственные числа эрмитовых операторов. Итак, почему вообще в КМ необходимы комплексные числа?  На мой взгляд,  ключ к пониманию природы квантовых состояний лежит в осознании того факта, что они являются референтом неких циклических процессов, скрытых от наблюдателя. Во всяком случае, формализм КМ свидетельствует именно об этом. Рассмотрим пример со сферой Блоха. И, хотя, это не самый простой пример, здесь на форуме он в ходу. Сначала рассм. формализм КМ, а потом я дам интерпретацию. Итак, имеем двухуровневую систему описывающуюся двумя комплексными числами. А, если точнее, то парами пропорциональных комплексных чисел. То есть направлениями в 2-х мерном комплексном пространстве или в 4-х мерном действительном. Множество всех направлений изоморфно множеству точек на поверхности 3-х мерной сферы в  4-х мерном пространстве. Сфера Блоха это проекция 3-х мерной сферы на наше трехмерное пространство. Такая проекция дает  2-х мерную сферу или сферу Блоха. Каждой точке сферы Блоха соответствует некий кружок (если быть точнее, то 2 кружка, но здесь это не важно) в четырехмерном пространстве. То есть, когда мы проецируем (делаем измерение), то этот кружок "виден" нам, как точка на сфере в пространстве наблюдаемых. Вектор Блоха соответствует направлению поляризации вещества в ЭПР или ЯМР. Таким образом, казалось бы стационарное состояние, представляет собой не прекращающееся движение по замкнутому контуру в пространстве высшего измерения. Поэтому вектора состояний и, соответственно, матричные элементы в МП, обязательно комплексные. Самый простой пример - покоящаяся частица с массой покоя M0. Ее ВФ будет exp(iM₀c²/h). То есть это некое движение с частотй w=M₀c²/h.   

[igorzh]

Извините, что влезаю... Я квантовую механику изучал лет 20 назад, так что сейчас многое дается с трудом.
Но глядя на комплексные коэффициенты в формуле суперпозиции состояний кубитов я для себя ввожу интерпретацию того, что комплексные числа - это некая "вещественная" амплитуда плюс "фаза", отражающая цикличность процесса. Соответственно, появление в недиагональных элементах матрицы плотности комплексных величин отдаленно интерпретируется как аспект, связанный с «фазировкой» взаимодействия. Насколько такой подход некорректен?

С уважением,
Игорь

[valeriy]

Но глядя на комплексные коэффициенты в формуле суперпозиции состояний кубитов я для себя ввожу интерпретацию того, что комплексные числа - это некая "вещественная" амплитуда плюс "фаза", отражающая цикличность процесса. Соответственно, появление в недиагональных элементах матрицы плотности комплексных величин отдаленно интерпретируется как аспект, связанный с «фазировкой» взаимодействия.

По моему, ты прав: появление в недиагональных элементах матрицы плотности комплексных величин может быть интерпретировано как аспект, связанный с «фазировкой» взаимодействия. Мнимые величины являются характеристикой фазовых сдвигов.г

[ppv]

Не вели казнить, вели выслушать!

Сфера Блоха, сама по себе, ничего не объясняет, и объяснить не может. Эта сферическая диаграмма есть просто иное (причем, абсолютно эквивалентное!) представление матрицы плотности, и не более того.

Ты, похоже, разбираешься в этом вопросе. Поискал в интернете, но ничего вразумительного по сфере не нашёл. Разве что, высказывания типа "сфера Римана", которую иногда называют "Сферой Пуанкаре" и "Сферой Блоха":
Сфера Пуанкаре в волновой физике, фазовое пространство поляризаций. В физике твердого тела также называется сферой Блоха. В математике ей соответствует сфера Римана.

Хорошо, пусть так. Вопрос у меня более приземлённый, от неосведомлённого читателя.
Кубит можно записать как |0> + |1>. В этой записи, как я догадываюсь, в дираковских скобках указаны ортогональные вектора. Верно?
Если так, тогда между ними вследствие ортогональности должен быть угол 90 градусов. Верно?
Если так, то почему на сфере Блоха между ними угол 180 градусов? Это уже коллинеарность, а не ортогональность. Мне эта коллинеарно-ортогональная нестыковка непонятна.
Поясни, пожалуйста, если можешь.

[Pipa]

Если так, то почему на сфере Блоха между ними угол 180 градусов? Это уже коллинеарность, а не ортогональность. Мне эта коллинеарно-ортогональная нестыковка непонятна.

  Сфера Блоха, как я уже ранее сказала, разлагает на проекции не вектор, а матрицу плотности. В самой матрице 4 элемента, и, на первый взгляд, кажется, что для ее графического представления нужно 4-мерное пространство. Однако существование симметрии у эрмитовых матриц и постоянство следа позволяет от одного измерения избавиться и найти искомое представление в 3-мерном пространстве. Впервые это удалось сделать Паули, потому и проекторы часто называют "матрицами Паули". Сами эти матрицы вот такие:

А суть приема Паули заключается в том, чтобы взять за точку отсчета единичную матрицу (2х2 с единичками на главной диагонали), а параметрами (Px, Py и Pz) отобразить ОТКЛОНЕНИЕ матрицы плотности от единичной. Таких отклонений, не нарушающих эрмитовость и не изменяющих след, может быть только 3 - это и есть добавки матриц Паули. Иными словами, прибавление матриц Паули в любых долях всегда обеспечивает эрмитовость суммы. Смотрите среднее выражение в этой формуле:

   Матрица z кособочит единичную матрицу, "переламывая" ее по главной диагонали. След матрицы от ее прибавления не меняется, и мнимые компоненты тоже не появляются. Поэтому матрица "up" получается из единичной прибавлением целой z-матрицы Паули:
1 0  +  1 0  =  2 0
0 1  +  0-1  =  0 0
А матрица "down" получается ее вычитанием:
1 0  -  1 0  =  0 0
0 1  -  0-1  =  0 2
Делитель (масштабный множитель) 2 я здесь опустила, т.к. затрудняюсь писать дробные выражения в форумном посте.
Таким образом матрица "up"
1 0
0 0
получается при Pz=1, а матрица "down"
0 0
0 1
получается при Pz=-1. Именно эти значения отложены у сферы Блоха на вертикальной оси Z.
а в ее центре (начале координат) находится образ единичной матрицы (тоже поделенной на 2, чтобы был единичный след):
½ 0
0 ½
соответствующей случаю, когда "up" и "down" выпадают равновероятно (с вероятностью ½ каждое).

[ppv]

Сфера Блоха, как я уже ранее сказала, разлагает на проекции не вектор, а матрицу плотности.

О загадочных (для меня) матрицах плотности я бы поговорил позднее.
Сейчас интересует, так сказать, предыстория сферы. На ней чётко и определенно обозначены две оси: вверх |0> и вниз |1>:

Эти две величины |0> и |1> указываются в описании кубита и в описании сферы Блоха. Невозможно представить что |0> в кубите и |0> на сфере Блоха - это две разные величины, разные обозначения. Поэтому прошу подтвердить правильность моих представлений: в описании кубита эти два слагаемых (векторы) |0> и |1> - ортогональны. Ортогональны по определению. Другими словами - взаимно перпендикулярны, то есть между ними угол 90 градусов. Неявно это, по моему мнению, подразумевается во всех книгах, которые я просматривал. Прошу подтвердить - это верно? Для дальнейшего обсуждения не должно быть недоговоренностей, а этот момент (ортогональности) крайне важен.

P.S.
Прошу прощения за дотошность новичка. Геометрию никто не отменял, поэтому визуально сфера Блоха имеет эти самые верх и низ, право и лево, перед и тыл с соответствующими конкретными углами между ними. Традиционно чисто математическое, формальное (фОрмульное) описание затушёвывает визуальный смысл, то есть ничего на самом деле не объясняет. Есть резкие заявления, что вообще квантовая механики - это описание, но не объяснение явлений.

[valeriy]

По сути Пипа все верно изложила. Только хотел бы добавит 3 копейки.
Состояние спина описывается следующим набором


|s> = cos(θ/2)  + (σ_xρ_x  + σ_yρ_y + σ_zρ_z)*sin(θ/2)             (1)


Здесь можно видеть четыре компоненты определяют состояние спинора - фаза θ, и три компоненты ρ_x, ρ_y, ρ_y. Поэтому спинор лежит в четырех-мерном пространстве. Но поскольку величина спинора по модулю равна 1, то говорят, что его конец движется по поверхности трех-мерной сферы, вложенной в четырех-мерное пространство. Радиус этой сферы равен единице. Вот эта сфера называется сферой Блоха.

Здесь обратим внимание на фазу θ, которая отсутствует в выкладках Пипы.
При θ = 0 видно, что |s> = 1. А вот при θ = 2π уже имеем |s> = -1.

Спинор возвращается снова в состояний вверх при θ = 4π. Как видно, это резко отличается от вращений обычных трехмерных волчков, где возврат к исходному состоянию происходит через 2π.

Ну а далее видно, что при произвольных фазах θ, кончик спинора будет описывать сложные кривые на поверхности этой трехмерной сферы

[Участник]

Кубит можно записать как |0> + |1>. В этой записи, как я догадываюсь, в дираковских скобках указаны ортогональные вектора. Верно?
Если так, тогда между ними вследствие ортогональности должен быть угол 90 градусов. Верно?
Если так, то почему на сфере Блоха между ними угол 180 градусов? Это уже коллинеарность, а не ортогональность. Мне эта коллинеарно-ортогональная нестыковка непонятна.

На самом деле, кубит (или двухуровневая система) - это не двумерное пространство, как ошибочно полагает в своей книге С.Доронин:

Если базисные векторы такого элементарного двухмерного пространства состояний обозначить* |0ñ и |1ñ, то в самом общем виде вектор состояния двухуровневой системы может быть записан в виде:

 |Ψñ = a|0ñ + b|1ñ,                                                   (3.9)

где а и b — комплексные числа (амплитуды), удовлетворяющие условию нормировки |а|² + |b|² = 1.

а - одномерное, с взаимоисключающими направлениями (состояниями), с неким равновесным положением "посередине".
Ось там - одна, и вектор состояния системы - тоже один.
Вся путаница из-за того, что на абстрактный кубит (вообще-то - не имеющий какого-то определённого графического представления) "притянули за уши" уже существующую до этого методику исчисления (представление в виде сферы (а точнее - шара) - с координатами: радиус + два ортогональных угла, мнимое "вращение" в ней "вектора состояния" и матрицу плотности, соответствующую любому положению якобы динамического вектора в якобы трёхмерной системе).

Двумерное же пространство - получается из ДВУХ связанных кубитов.

[Станислав]

кубит (или двухуровневая система) - это не двумерное пространство

да спор изначально беспредметен, все равно какую модель выбрать для описания состояния, лишь бы она это делала корректно. И тут спорщики "забыли" о том, что и само состояние кубита - тоже абстракция, тоже модель и совсем не факт, что эта модель корректная. Она притянута за уши с целью приближения описания изменений состояний квантовых систем к классике бинарных операций. Но из того, что кому-то так хочется все описать кубитами совсем не следует существование квантовых систем со всего двумя состояниями. Не было таких систем, нет и не будет.

[Torsion]

Не было таких систем, нет и не будет.

Категорически что-то утверждать нельзя. Всегда есть  бесконечно малая величина вероятности проявления любого события. Например, что завтра появится в интернете 100 таких порталов как наш один в один во главе с Pipa.

[valeriy]

спорщики "забыли" о том, что и само состояние кубита - тоже абстракция, тоже модель и совсем не факт, что эта модель корректная. Она притянута за уши с целью приближения описания изменений состояний квантовых систем к классике бинарных операций. Но из того, что кому-то так хочется все описать кубитами совсем не следует существование квантовых систем со всего двумя состояниями.

В чем-то согласен со Станиславом. Люди озабочены поиском математического аппарата, адекватно описывающего наблюдаемую действительность. Кубит является приближением к действительности. Именно потому он привлекает интерес ученых, что он охватывает состояний значительно больше (по сути бесконечное число), чем простой бит, имеющий только два состояния - 0 и 1.

Вопрос о том, каковы все промежуточные состояния, принимаемые кубитом, не поднимается. В согласии с Копенгагенской формулировкой, прибор может замерить только два состояния, спин вверх и спин вниз, в результате коллапса волновой функции. А вот что делал спин до измерения это все остается за кадром. И вообще, бессмысленно о нем говорить до выполнения факта регистрации (согласно философии позитивизма). Единственная надежда физиков, свято исповедующих философию Копенгагенской школы, что пока спин остается за кадром, он успеет перебрать все варианты и на выходе дать один из верных ответов.

А что, могут быть еще какие-то ответы? Оказывается могут. Но чтобы осветить полностью этот вопрос, надо провести такой-же эксперимент с множеством других спинов (так-же как и при наблюдении интерференции на двух щелях. От пройденной через щелевую решетку одной частицы, интерференционная картина не обнаружится. Нужно пропустить множество когерентных частиц и только тогда высветится картина интерференции). То же самое и с кубитами. Только множественный эксперимент может дать какой-то внятный ответ.