Двухщелевой эксперимент и квантовая запутанность

[valeriy]

Interference.exe версия 1.06

Пипа, извини я некоторое время отсутствовал и не имел доступа к интернет. Обнаружил твою новую версию и попытался ее запустить. Но на моем компьютере ничего не вышло. В отличие от предыдущих версий, при запуске которых не возникало проблем, в данном случае получаю сообщение:

Access violation of address 00406337 in module 'interference.exe'. Write of address C0CC9836.

Могла бы ты как-нибудь прояснить эту ситуацию?

Посмотрел картинку, котрую ты получила - она впечатляет. Очень хорошо прорисовываются Бомовские траектории и прекрасно видны их пути на фоне распределения плотности вероятности.

Меня только настораживает, что при изменении шага картина бомовских траекторий несколько меняется. Предполагаю, что это изменение связано с тем, что при большой величине шага с одной траектории можно попасть на другую.

Да, твое предположение верное. Именно из-за грубого шага наблюдаются скачки траекторий на другие, удаленные, участки. Именно поэтому желательно брать более мелкий шаг (разумная мелкость, чтобы получить правильный пучок траекторий за разумное время счета).

Сейчас основное внимание будет сосредоточено на поведении Бомовских траекторий. И в этом ключе у меня к тебе следующая просьба:

1) когда в файле interference.ini задается положительное значение параметра dxb, например dxb=0.5, пусть программа рисует Бомовские траектории, как она это и делает
2) в случае отрицательного задания параметра dxb, а именно dxb=-0.5, пусть начальные значения для  Бомовских траекторий будут считываться с файла, названного, например interference.dat.
Программа определяет длину файла (т.е. количество точек). Таких точек может быть 2, 3, ... и так далее. Эти точки могут определять начальные координаты траекторий не обязательно распределенных эквидистантно. Они могут группироваться вокруг какого-нибудь значения, чтобы можно было проследить поведение траекторий около какого-либо фокуса или узла плотности вероятности.
И еще одна просьба: можно-ли в этом же самом файле задавать цвет траекторий. По умолчанию, фиолетовый цвет, который ты задала, удачен. Но иногда некоторые траектории хотелось бы выделить другим цветом. В этом случае файл interference.dat мог-бы иметь следующую структуру

 x   Red  Green Blue
 x   Red  Green Blue
 x   Red  Green Blue
 ......

Здесь х - начальная координата бомовской траектории, Red - задание красного цвета, Green - задание зеленого цвета, Blue - задание синего цвета. Вначале числа, определяющие цвет, заданы такие, которые определяют твой фиолетовый цвет. Чтобы выделить какую-либо траекторию другим цветом, в этом месте задаются другие числа для  Red,  Green, Blue.

[Pipa]

В отличие от предыдущих версий, при запуске которых не возникало проблем, в данном случае получаю сообщение:
Access violation of address 00406337 in module 'interference.exe'. Write of address C0CC9836.
Могла бы ты как-нибудь прояснить эту ситуацию?

   У меня эта ошибка проявилась и на старой версии, когда я подставила ваши параметры. Видимо "заедает" программу, когда точек слишком много (768x1024). Мои картинки были получены на меньшем поле, когда ошибка не проявляется.
   Исправить эту досадную ошибку пока не смогла, т.к. отладчик отказывается показать место, в котором она возникает. Поэтому пока могу лишь посоветовать вам уменьшить габариты. Например, вернуться на 300х300. Именно в этих габаритах я привела свои картинки. Можете поэкспериментировать с определением максимального габарита, при котором программа еще тянет. Например, у меня на 300х500 еще работает.

Сейчас основное внимание будет сосредоточено на поведении Бомовских траекторий. И в этом ключе у меня к тебе следующая просьба:
1) когда в файле interference.ini задается положительное значение параметра dxb, например dxb=0.5, пусть программа рисует Бомовские траектории, как она это и делает
2) в случае отрицательного задания параметра dxb, а именно dxb=-0.5, пусть начальные значения для  Бомовских траекторий будут считываться с файла, названного, например interference.dat.
Программа определяет длину файла (т.е. количество точек). Таких точек может быть 2, 3, ... и так далее. Эти точки могут определять начальные координаты траекторий не обязательно распределенных эквидистантно. Они могут группироваться вокруг какого-нибудь значения, чтобы можно было проследить поведение траекторий около какого-либо фокуса или узла плотности вероятности.

   Это можно.

И еще одна просьба: можно-ли в этом же самом файле задавать цвет траекторий. По умолчанию, фиолетовый цвет, который ты задала, удачен. Но иногда некоторые траектории хотелось бы выделить другим цветом.

   Дело в том, что Bitmap-картинку я не рисую, а заполняю три матрицы (R, G и B размера nx x nz), соответствующих трем основных цветам. Это не мое изобретение, а таков официальный BMP-формат. Плотностью я заполняю все три матрицы одинаково, из-за чего должен получаться серый цвет. А в местах прохождения бомовской траектории обнуляю элементы матрицы G (голубой). Из-за этого траектории выглядят дополнительным цветом - magenta.
   Обращаю ваше внимание, что такой метод проведения линии не эквивалентен черчению одноцветным пером, поскольку здесь варьируется яркость линии (две другие матрицы вносят свой вклад). При этом возникает эффект "просвечивания", благодаря которому траектории не застят общую картину.        
   Выполнить ваше пожелание легко, для этого надо модифицировать все три матрицы в местах прохождения траектории. Я это уже пробовала делать, но такие линии выглядят на картинке хуже, поскольку пропадает эффект "просвечивания".

К сожалению, сейчас на меня одновременно навалилось множество неотложных дел, поэтому быстро удовлетворить ваши пожелания я не смогу.

[valeriy]

К сожалению, сейчас на меня одновременно навалилось множество неотложных дел, поэтому быстро удовлетворить ваши пожелания я не смогу.

Хорошо Пипа. Я пока тоже занят пока другой деятельностью. Мне нужно переворотить ряд работ, на которые обратил мое мнимание Майкл Берри - крупный специалист в квантовой физике и в частности хорошо знаком с фрактальными Талбот коврами. Именно на них он заострил мое внимание.

Но как только появится время, я думаю ты сможешь сделать такую задачу. Ну а что касается выбора цвета, то ладно пусть будет так, как ты говоришь

PS проверил, при 300х300 программа работает

[Pipa]

проверил, при 300х300 программа работает

   Эту ошибку исправила,  она оказалась совсем дурацкой - в одном месте перепутала ширину поля с длиной. Поэтому на квадратном поле 300х300 всё работало нормально, а при nz>nx вышибало по access violation.
   Теперь с вашим размером 768х1024 всё в порядке:



Исправленная программа лежит на прежнем месте: interference.zip v. 1.07.

   В связи с вашим желанием "нелинейно" подбирать шаги, спрошу: нельзя ли проводить бомовские траектории ... в обратную сторону? Т.е. задать крупный шаг между тракториями на ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ щелевому экрану стороне, а затем провести из этих точек бомовские трактории задом-наперед? Вроде как обратить время вспять. Раз приращения скорости определены в любой точке поля, то вроде бы ничто не мешает провести траекторию в направлении, обратном движению электронов.

[valeriy]

Спасибо Пипа, программа работает и дает хорошее представление пучков Бомовских траекторий.

В связи с вашим желанием "нелинейно" подбирать шаги, спрошу: нельзя ли проводить бомовские траектории ... в обратную сторону?

Скорее всего можно. В частности именно так решают задачи (вспять во времени) в приложении формализма Гамильтона-Якоби в области искуственного интеллекта, поведение робота в лабиринте, в макроэкономических задачах, и прочее. Там этот формализм сводится к решению уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. (S.M. LaValle, PLANNING ALGORITHMS, Published by Cambridge University Press, 2006).

Давай попробуем.

Пусть  

 x[t+δt]=x[t]+ v_x[t]δt,
 z[t+δt]=z[t]+ v_zδt,

описывает положения х и z при возрастании времени от 0 до t.
Можно записать эту систему в обратном порядке

 x[t-δt]=x[t]- v_x[t]δt = x[t]- v_x[z[t]/v_z]δt,
 z[t-δt]=z[t]- v_zδt,

для всех t, t-δt, t-2δt, t-3δt, .... , 0 - обратный порядок изменения времени.

В таком случае, в момент времени t следует задавать начальные значения x и z с правой стороны. А скорость v_x[t]=v_x[z/v_z].

[Pipa]

Скорее всего можно. В частности именно так решают задачи (вспять во времени) в приложении формализма Гамильтона-Якоби...

   Пожалуй, моя идея не очень хороша. Дело в том, что в случае, когда траектории, исходящие из разных точек старта, с течением времени сходятся в одной точке или пересекаются, то создается ситуация, которую проиграть задом-наперед невозможно. Невозможно из-за неопределенности решения в точках расщепления, которые тожественны точкам переччения путей. Т.е. тут имеет место неопределенность того же типа, как при попытке определить ту пару слагаемых, из которых была получена сумма. В нашем случае такими путями являются те, которые выходят на линию, расположенную посредине между соседними щелями. На этих линиях сходятся (с вычислительной) очень много путей, выходящих из разных точек старта.

[valeriy]

Пожалуй, моя идея не очень хороша.

Тебе виднее. Быть может и на самом деле начинать с z~0 и продолжать итерации по t=0, δt, 2δt, .... Так, по крайней мере, можно прозондировать расходимости близрасположенных траекторий. Особенно, что касается прохождения их вблизи каких-либо особых зон, выделяемых функцией плотности вероятностей.

[Pipa]

Тебе виднее. Быть может и на самом деле начинать с z~0 и продолжать итерации по t=0, δt, 2δt, ....

   С моей точки зрения видится так, что экономичнее двигаться не с постоянным шагом по оси z, а с переменным, зависящим от соотношения V_z/V_x. Такое движение можно сформулировать, как постоянный шаг, только не по оси z, а по направлению движения (получаемого векторным сложением скоростей V_z и V_x). Т.е. путь при этом получается  в виде поледовательности шагов единичной длины, а шаг по оси z определяется проекцией этого пути на эту ось.
   По-видимому, очередной шаг по оси z будет равен выражению V_z/sqrt(V_z² + V_x²). Здесь чем сильнее будет возрастать V_x, тем сильнее будет сокращаться шаг по оси z.

P.S. Не дождавшись согласия, сделала так, как задумала: убрала реакцию на параметр dzb, сделав шаг по оси z автоматическим. Т.е. таким, при который шаг траектории в любом направлении приблизительно равен расстоянию между соседними пикселями на картинке. Исправленная программа лежит на прежнем месте: interference.zip v. 1.08.

[valeriy]

Не дождавшись согласия, сделала так, как задумала

Сравнил нарисованные пучки бомовских траекторий для версии 1.07 (учитывается параметр dzb=0.05) и для версии 1.08 (шаг по оси z выбрается автоматически). В принципе, я не обнаружил визуальных отличий в двух картинках. Поэтому я затрудняюсь сказать что-либо определенное по данному вопросу.

[Pipa]

valeriy,

Сравнил нарисованные пучки бомовских траекторий для версии 1.07 (учитывается параметр dzb=0.05) и для версии 1.08 (шаг по оси z выбрается автоматически). В принципе, я не обнаружил визуальных отличий в двух картинках. Поэтому я затрудняюсь сказать что-либо определенное по данному вопросу.

  А вы поставте на версии 1.07 другой dzb, вместо тех 0.05, которые я выбрала методом подбора и рекоменендовала вам - тогда увидите, что при других значених часто получается брак в виде пунктира или разрывов. А версия 1.08 в ручном подборе уже не нуждается, в чем ее несомненный плюс. У последней траектрория фактически получается ходом шахматного короля - одиночный шаг в любом из возможных направлений. Лишних движений она не совершает.
  Появилась идея рисовать бомовские траектории с чередованием двух цветов: 1-я розовая, 2-я голубая, 3-я снова розовая и т.д. Это позволило бы снять проблему, когда соседние траетории пересекаются. Ведь в большинстве случаев пересекаются только соседние траектории, а потому двух цветов было бы достаточно. Правда у такого решения тоже есть недостаток - при наложении розового и голубого получается третий цвет.

[valeriy]

Хорошо Пипа, я ведь не возражаю против выбора переменного шага в зависимости от области, где рисуются траектории. С уверенностью можно сказать, что в области Френеля (ближняя область) следует выбирать мелкий шаг, тогда как в области Фраунгофера (дальняя область) можно задавать уже крупный шаг.

Появилась идея рисовать бомовские траектории с чередованием двух цветов: 1-я розовая, 2-я голубая, 3-я снова розовая и т.д.

Здесь в принципе выбраный фиолетовый цвет вполне хорошо смотрится. Выбор другого цвета нужен только с одной целью - когда возникает желание выбрать какую-либо одну траекторию, на основе которой можно дать детальное описание поведения бомовской траектории на тех или иных участках после щелеового экрана. В частности, именно по этой причине меня интересует возможность задания начальных условий с загружаемого файла interference.dat.

PS: Пипа, как ты смотришь на то, чтобы проделанную тобой работу переложить на языке программирования Mathematica? Это очень мощный язык, допускающий решение задач, представленный в аналитическом виде. Имела ли ты ранее практику работы с этим продуктом?
Почему у меня возник к тебе такой вопрос? Дело в том, что представители фирмы Wolfram Research Inc. загорелись желанием представить на своем демонстративном сайте программу (очевидно, выполненную с помощью их продукта Mathematica), демонстрирующую прелести интерференционных фрактальных паттернов, какими являются ковры Талбота. Судя по всему, они уже видели картинки, которые рисует твоя программа. То же самое они горят желанием выполнить на вышеупомянутом продуте. Я думаю, тебе было бы интересно позабавиться с этим продуктом. И если ты даешь добро, я объединю тебя через e-mail с представительницей той фирмы, которая вызвалась ассистировать при написании такой программы. Что ты думаешь по этому поводу. По моему мнению, тебе имеет смысл окунуться в новую среду - новые лица, новые приключения 

[Pipa]

Выбор другого цвета нужен только с одной целью - когда возникает желание выбрать какую-либо одну траекторию, на основе которой можно дать детальное описание поведения бомовской траектории на тех или иных участках после щелеового экрана.

  Не поняла. Если цель выбрать одну единственную траекторию, то какая разница, какого она цвета? Полагаю, что тогда просто нет необходимости рисовать другие трактории.

В частности, именно по этой причине меня интересует возможность задания начальных условий с загружаемого файла interference.dat.

   В какой системе координат мы собираетсь их задавать? Т.е. какая точка примается за нуль и в каких единицах будет выражаться?
   Бывает несимметричная система координат, когда за начало координат принимается центр крайней левой щели. А бывает симметричная, когда началом координат служит середина между крайними щелями (здесь интерференционная картина получается симметричная относительно оси z, и можно было бы сократить время расчета вдвое, рассчитывая только половину изображения, а другую получать, отражая зеркально). Единицами могут служить нанометры, пиксели или число длин волн. Выбирайте.

Пипа, как ты смотришь на то, чтобы проделанную тобой работу переложить на языке программирования Mathematica? Это очень мощный язык, допускающий решение задач, представленный в аналитическом виде. Имела ли ты ранее практику работы с этим продуктом?

   Нет, не имела. Практиковалась в MatLab'е, но это совершеенно другой продукт. Заниматься перекладыванием чего бы то ни было на язык Mathematica не имею желания, а также иных побуждений.

Почему у меня возник к тебе такой вопрос? Дело в том, что представители фирмы Wolfram Research Inc. загорелись желанием представить на своем демонстративном сайте программу (очевидно, выполненную с помощью их продукта Mathematica), демонстрирующую прелести интерференционных фрактальных паттернов, какими являются ковры Талбота.

   Если они загорелись желанием сделать себе рекламу на основе красивых картинок, то пусть сами этим и занимаются. У меня другие интересы.

И если ты даешь добро, я объединю тебя через e-mail с представительницей той фирмы, которая вызвалась ассистировать при написании такой программы. Что ты думаешь по этому поводу. По моему мнению, тебе имеет смысл окунуться в новую среду - новые лица, новые приключения.

   Я своего добра не дам и на контакты не пойду. А новых сред мне и без Mathematica хватает с головой.

[valeriy]

Полагаю, что тогда просто нет необходимости рисовать другие трактории.

Тогда не будем забивать себе голову заданиями разных цветов для разных траекторий.
В любом случае ценность представляет пучок траекторий, расходящихся от щелей.

В какой системе координат мы собираетсь их задавать? Т.е. какая точка примается за нуль и в каких единицах будет выражаться?

Траектории строятся также, как и изначально было принято. То-есть, в верхней половине прорисовываются траектории, а нижняя половина остается свободной, чтобы можно было видеть карту плотности распределения вероятностей.
Естественными единицами являются период решетки d=kλ и длина Талбота z_T=2d²/λ. Здесь λ - длина волны, а k - целое число > 1, например k=10. В единицах SI длина волны задается в метрах. Для λ=5*10^-9 метров это соответствует пяти нанометрам.
Пусть k=10, тогда d=50 нанометров, а длина Талбота z_T=1000 нанометров. Такая площадка 50х1000 нм² лежит в ближней зоне. Чтобы показать интерференционный паттерн в дальней зоне, следует охватить площадь порядка 100dx100z_T нм². Тогда мы обнаружим характерные лучи, расходящиеся из "точечного" источника на "бесконечность". Я эти два слова взял в кавычки, чтобы подчеркнуть, что на таких расстояниях решетка будет выглядеть как точечный источник.

[Pipa]

Траектории строятся также, как и изначально было принято. То-есть, в верхней половине прорисовываются траектории, а нижняя половина остается свободной, чтобы можно было видеть карту плотности распределения вероятностей.
Естественными единицами являются период решетки d=kλ и длина Талбота zT=2d2/λ.

   Ваших объяснений я не поняла. И ответа на свой вопрос в ваших объяснениях тоже не нашла. Если подходить формально, то ваш ответ можно расценить так, что вы хотите в файле interference.dat задавать стартовую точку в единицах периода решетки. И уж совсем нельзя понять, с какого места это расстояние отсчитывать.
   Тем, как в программе устроено сейчас, я недовольна. Оно сложилось исторически, без согласования с вами. Было более ориентировано на построение картинки, чем на какие-либо расчетные цели.
   Главной причиной того, как сложилось нынешнее положение вещей, была необходимость иметь прямоугольные (nx * nz) матрицы ψ-функции и плотности вероятностей с ячейками, соответствующими пикселям на двумерной картинке. Однако работать с матрицами можно только в целочисленной и неотрицательной системе координат. Отсюда исторически сложилась вычислительная сетка координат 300х300. При вычислениях целочисленная координата точки на поле картинки приводится к метрической (метры). Приведение это таково, что метрический нуль устанавливается ровно в середине оси x. При этом на краях этой оси имеем -3λ слева и +3λ справа (т.е. 50 пиксельных точек на λ).
   Держать нуль метрической системы координат в середине оси x приходится из-за того, чтобы при изменении масштаба по оси x получался эффект чистой растяжки без смещения. В этом плюс такой системы. И минус ее в том, что нуль попадает в центр щели только в том случае, когда число щелей нечетное. А когда оно четное, то нуль координат попадает ровнехонько посредине соседних целей.
    По этим причинам возникает неудобство задания стартовой точки, привязанной к центру какой-либо из щелей. При нечетном числе щелей это неудобство того рода, что ровно по этому же месту проходит граница индикации бомовских траекторий, из-за чего нижняя часть не видна. А положение стартовой точки относительно иных щелей придется перед заданием вычислять вручную, что не слишком удобно.
    К существенным недостатком нынешней версии программы является еще и то, что зарубки на осях маркируются в пикселях, а индикация позиции при наведении курсора мыши на 3D-график происходит в метрах от левого края графика, что находится в противоречии с метрической системой координат.
   Короче говоря, вы мне значительно облегчите задачу, если вместо обсуждений приведете пример строки из interference.dat, указав единицу измерения, в которой в нем заданы значения, и то место на графике, которое соответствует нулевому значению (нуль он в любой единицах измерения  нуль).

[valeriy]

Держать нуль метрической системы координат в середине оси x приходится из-за того, чтобы при изменении масштаба по оси x получался эффект чистой растяжки без смещения. В этом плюс такой системы.

Твой выбор положения карты распределения плотности вероятности удачен. У меня нет критических замечаний. Посредством задания параметров x-scale и z-scale можно подобрать такое видение этой карты, которое дает приемлемое рассмотрение деталей. Как например, при выборе N=64 можно детально рассмотреть распределение плотности вероятности и поведение бомовских траекторий вблизи только нескольких щелей, расположенных по центру щелевой решетки
На этой картинке два ключевых параметра определяют масштабы по осям х и z - это период решетки d и длина Талбота z_T. Оба эти параметра связаны с длиной волны λ следующим образом:

d = k*λ (k - коэффициент, указывающий сколько раз длина волны укладывается на промежутке между двумя ближайшими щелями)
z_T = 2d²/λ

Эти единицы мер важны при представлении интерференционных паттернов постольку, поскольку по ним происходит масштабирование паттернов как в поперечном направлении, по оси х, так и в продольном по оси z.

Единицы d и z_T обе имеют размерность длины и выражаются в метрах (или в нанометрах на графиках). Задав изначально длину волны λ и коэффициент пропорциональности k, оба параметра легко вычисляются. И уже по ним выбирается размер представляемого интерференционного паттерна. Например, задавая поле (х,z) c размерами по х от -Nd до +Nd и по z от нуля до Mz_T, мы будем видеть на экране N щелей (расположенных на линии z=0). Нижняя крайняя щель находится в точке -Nd/2 и верхняя крайняя щель находится в точке +Nd/2. Правый край интерференционного паттерна находится на расстоянии Mz_T от начала координат. Если M>>N этот паттерн будет представлять дифракционную картину в дальней зоне. А при M<N паттерн представляет интерференцию в ближней зоне.

Таким образом, параметры d и z_T дают возможность легко масштабировать наблюдаемую интерференцию. И предварительное их вычисление позволит, я думаю, задавать масштабы как на 2D-плот распределении плотности вероятности, так и на 3D-графике. Так что следует только оценить сколько пикселей приходится на длину d и сколько пикселей приходится на длину z_T.