3.3. Мера квантовой запутанности

 

Когда речь заходит о количественном описании квантовой запутанности, на первый план выходит понятие матрицы плотности. Первой была введена мера квантовой запутанности для самого простого случая — двухчастичной системы в чистом состоянии [типа (3.1)], то есть мера запутанности между двухуровневыми подсистемами А и B, когда вся система замкнута (находится в чистом состоянии). Основывается эта мера на понятии частичной матрицы плотности и выражается в терминах энтропии фон Неймана:

 

E(ρ_A) = – Tr[ρ_A log₂(ρ_A)].                                                 (3.6)

 

Здесь ρ_A — частичная (редуцированная) матрица плотности подсистемы А. Получается она взятием частичного следа* по B. С физической точки зрения, взятие частичного следа и получение редуцированной матрицы плотности — это усреднение по всем внешним степеням свободы выделенной подсистемы (по ее внешнему окружению). В некотором отношении это проведение границы между подсистемой и ее окружением, когда подсистема может рассматриваться независимо от него. Мы как бы «вырезаем» нашу подсистему из более сложной структуры и рассматриваем ее в качестве самостоятельного объекта. В результате этой операции пространство допустимых состояний подсистемы уменьшается, частичная матрица плотности имеет меньшую размерность, чем исходная система, например, из матрицы 4 × 4 получается матрица 2 × 2, как было показано выше, когда из матрицы (3.3) получалась (3.5).

 

* Более подробно, с примерами, см. мою статью: Доронин С.И. Мера квантовой запутанности чистых состояний // Квант. Маг. 1, 1123 (2004), http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL112004/abs1123.html.

 

Эта мера запутанности была предложена Чарльзом Беннеттом (Charles H. Bennett) с соавторами* в 1996 году.

 

* Bennett C. H., Bernstein H. J., Popescu S. and Schumacher B. Phys. Rev. A 53, 2046 (1996).

 

Затем Вуттерс* ввел более общую количественную характеристику запутанности двусоставной системы — не только для чистого, но и для смешанного состояния. Называется она concurrence (согласованность, гармония)**. Она была введена достаточно сложно, с использованием «спин-флип» преобразования.

 

* Hill S. and Wootters W. K. Phys. Rev. Lett. 78, 5022 (1997).

** Эту меру запутанности я, например, использовал в работе: Doronin S. I. Phys. Rev. A 68, 052306 (2003), где анализировалась динамика квантовой запутанности в системе взаимодействующих ядерных спинов.

 

Впоследствии было найдено* более удобное и общее выражение для вычисления согласованности уже в многосоставных системах:

 

C = {2[1–Tr(ρ_A²)]}^1/2.

 

* Rungta P, Buzek V, Caves C. M, Hillery M. and Milburn G. J. Phys. Rev. A 64, 042315 (2001).

 

Оно справедливо для произвольных замкнутых систем и характеризует меру квантовой запутанности подсистемы А (любой размерности) со всем ее окружением (также любой размерности).

Согласованность в качестве меры квантовой запутанности использовалась в широко известном эксперименте по макроскопической запутанности*.

 

* Ghosh S. et al. Nature, 425, 48 (2003). См. обзор этой экспериментальной статьи (на русском языке): http://perst.issp.ras.ru/Control/Inform/perst/2003/3_19/perst.htm#D19.

 

В целом, наличие квантовой запутанности в макроскопических системах трудно подвергнуть сомнению, поскольку есть «железное» утверждение (принцип несепарабельности) — если системы взаимодействуют друг с другом, то они квантово запутаны между собой (связаны нелокальными квантовыми корреляциями). Наличие любого взаимодействия — достаточное условие для квантовой запутанности (несепарабельности) взаимодействующих объектов. Но одно дело — это понимать и декларировать, а другое — уметь количественно описывать эту запутанность и сопоставлять адекватность теоретического описания с результатами физических экспериментов.

Были предложены и другие меры квантовой запутанности, постоянно ведется поиск наиболее удобных в практическом применении. Из них наиболее известны следующие.

1. Перес-Городецки, или PPT (positive partial transpose) критерий сепарабельности:

Peres. Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996); Horodecki M., Horodecki P. and Horodecki R. Phys. Lett A 223, 1 (1996).

2. Основанная на PPT-критерии мера запутанности — отрицательность (negativity):

Życzkowski K., Horodecki P., Sanpera A. and Lewenstein M. Phys. Rev. A 58, 883 (1998); Vidal G. and Werner R. F. Phys. Rev. A 65, 032314 (2002).

3. Относительная энтропия запутанности (relative entropy of entanglement):

Vedral V., Plenio M. B., Jacobs K. and Knight P. L. Phys. Rev. A 56, 4452 (1997).

4. CCN (computable cross-norm) критерий:

Rudolph O. Phys. Rev. A, 67, 032312 (2003).

5. Мера, основанная на ранге Шмидта:

Eisert J. and Briegel H. J. Phys. Rev. A 64, 022306 (2001).

6. Мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта), эту меру можно рассматривать как информационное расстояние между двумя состояниями:

Lee J., Kim M. S., Bruker Časlav. Phys. Rev. Lett. 91, 087902 (2003) и некоторые другие.

 

В наиболее явном виде связь между квантовой запутанностью и квантовой информацией устанавливает мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта). Приведу небольшую цитату из указанной выше работы: «Математические формулировки всех фундаментальных физических теорий основаны на концепции абстрактного пространства. Структура пространства и теорий определена его метрикой. Например, метрика Минковского определяет математическую структуру специальной теории относительности, и метрика Римана определяет структуру общей теории относительности. В квантовой механике расстояние Гильберта-Шмидта (Hilbert-Schmidt distance) является естественной метрикой гильбертова пространства».

В настоящее время расстояние Гильберта-Шмидта довольно часто рассматривается в качестве меры, показывающей, насколько близки друг к другу два данных состояния. Эта близость, прежде всего, информационная, например, в указанной выше работе авторы вводят операторную меру, которая «...эквивалентна расстоянию Гильберта-Шмидта <...> и может интерпретироваться как информационное расстояние между двумя квантовыми состояниями. Кроме того, тот факт, что операторная мера является эквивалентной расстоянию Гильберта-Шмидта, говорит о том, что внутренняя структура Гильбертова пространства отражает теоретико-информационные основы квантовой теории».

Таким образом, расстояние Гильберта-Шмидта определяет структуру пространства состояний (гильбертова пространства) в квантовой теории, и эта структура имеет чисто информационную природу.

Здесь мы подошли к очередному важному вопросу — что же такое информация в квантовой теории? О ней мы часто упоминали, но до сих пор это были лишь общие слова. Теперь поговорим об этом более подробно.