С.И. Доронин, Квантовая магия
Приложение В дифференциальной геометрии 1-форма
определяется как линейная вещественная функция векторов, то есть является
линейным оператором, «машиной», на вход которой подаются векторы, а на выходе
получаются числа. Простейшей 1-формой является градиент df функции f
(обозначение d
или grad обычно используют
применительно к скалярным величинам, а Ñ (читай: «набла») — к векторам или тензорам).
Внешняя производная, или градиент, является более строгой формой понятия
«дифференциал». В отличие от дифференциала df, который выражает изменение f в некотором произвольном направлении, градиент
характеризует изменение функции в определенном направлении, заданном бесконечно
малым вектором смещения v. Если быть более точным, градиент df представляет собой совокупность поверхностей
уровня f a = const и характеризует их «близость» друг к другу, плотность «упаковки» в
элементарном объеме в направлении v, с точностью до приближения их плоскостями и размещения через равные
промежутки (вследствие линейности оператора). Результатом пересечения df вектором смещения v является число ádf, vñ = ¶v f. Это выражение определяет связь между
градиентом df и производной по направлению ¶v f. Введя вектор v в линейную машину df, на выходе мы получаем ¶v f — число пересеченных плоскостей при
прохождении v
через df, число, которое при
достаточно малом v равно приращению f между основанием и острием вектора v. Задание 1-формы в данной точке (связь с
точечным описанием) для некоторого геометрического объекта, описывающего
физическую величину, например, для тензора произвольного ранга (0-ранг — скаляр,
1-ранг — вектор или 1-форма, 2-ранг — тензор второго ранга и т. д.),
предполагает выполнение трех основных операций. Это, прежде всего, задание
вектора смещения, в направлении которого данный объект меняется от точки к
точке. Во-вторых: моделирование исходного объекта в окрестностях каждой точки в
виде плоских поверхностей уровня, расположенных на одинаковых расстояниях. И наконец, подсчет числа пересечений этих плоскостей
вектором смещения. Поскольку образование 1-формы (градиента) от произвольного
тензора предполагает одновременное задание вектора смещения, появляется
дополнительный входной канал, и ранг исходного тензора увеличивается на
единицу. Таким образом, дифференциальная геометрия
дает более строгое определение градиента в качестве 1-формы, в отличие от
обычных представлений градиента как вектора. Градиент, который нам более
знаком, — это всего лишь вектор, поставленный в соответствие 1-форме градиента
с помощью уравнения (которое уже приводилось) f · v = ádf, vñ, где слева стоит скалярное произведение двух
векторов, и f —
градиент в виде вектора. Дифференциальная геометрия расширяет также
понятие тензора. Если обычно под тензором понимается линейный оператор с
входными каналами для векторов и выходными данными либо в виде вещественных
чисел, либо в виде векторов, то теперь во входной канал может подаваться не
только вектор, но и 1-форма. В качестве примера рассмотрим координатное
представление тензора второго ранга. В отличие от обычного вектора, который
может быть разложен лишь в одном произвольном базисе из ортонормированных
векторов (поэтому его можно считать тензором первого ранга), тензор второго
ранга разлагается на компоненты в двух базисах. В качестве любого из этих
базисов (или обоих сразу) могут служить либо наборы из обычных базисных
векторов ea, либо совокупность так называемых базисных 1-форм wa = dxa. Базисные 1-формы — это координатные
поверхности xa = const.
Следовательно, базисный вектор ea пересекает только одну поверхность базисной 1-формы wa (перпендикулярную ea). Точно так же, как произвольный вектор можно
разложить по базису ea, v = vaea, произвольную
1-форму можно разложить по базису wb, s = sbwb. Коэффициенты va и sb называются компонентами вектора v и 1-формы s в базисе ea и wb соответственно. Вводя в некоторый тензор второго ранга S произвольные вектор v и 1-форму s и, зная компоненты их разложения в своих базисах, через них можно выразить компоненты самого тензора S(v, s) = S(ea, wb) vasb = Sabvasb. назад | оглавление | вперед Домой |