С.И. Доронин, Квантовая магия
5.3. Уравнения движения в энергетическом
представлении Попытаемся теперь на конкретном примере продемонстрировать, какую дополнительную научную информацию мы можем получить, используя предложенный подход. Кому трудно следить за математическими выкладками, может их опустить и сразу перейти к обсуждению полученного результата. Рассмотрим уравнение движения для произвольного
объекта. Его легко получить на основе упомянутого выше лагранжева
формализма, используя наиболее общий подход, который применяется при выводе
тензора энергии-импульса произвольной системы. Напомню, что уравнение движения получают согласно
принципу наименьшего действия путем варьирования D, и оно имеет вид: Равенство нулю дивергенции (5.1) означает, что
сохраняется интеграл от тензора по гиперповерхности пространства. Этот тензор Т с компонентами Tjl (j, l = 0, 1, 2, 3) называется тензором энергии-импульса
системы. Он определен неоднозначно, а только с точностью до градиента
произвольного антисимметричного тензора. Для его однозначного определения можно
потребовать, чтобы существовала принятая в механике связь между импульсом и
моментом импульса. В этом случае получаем дополнительное условие Tjl = Tlj, то есть
тензор энергии-импульса должен быть симметричен. Компонента T00 этого
тензора характеризует плотность энергии. Вектор с компонентами T10/c, T20/c, T30/c есть плотность импульса, а вектор с
составляющими cT01, cT02, cT03 — плотность
потока энергии — количество энергии, протекающей в единицу времени через
единицу поверхности. Ввиду симметричности тензора мы имеем связь между потоком
энергии и импульсом: плотность потока энергии равна плотности импульса,
умноженной на c2. Компоненты Tik (i, k
= 1, 2, 3) составляют трехмерный
тензор плотности потока импульса. Взятые со знаком минус они образуют тензор
напряжений. Плотность потока энергии есть вектор; плотность же потока
импульса, который сам по себе вектор, должна быть тензором второго ранга. Отсюда вывод: скорость изменения энергии, находящейся
в объеме V, равна количеству энергии, протекающей через границу
этого объема в единицу времени, и скорость изменения импульса системы в объеме V есть количество импульса, вытекающее в единицу
времени из этого объема [см. уравнения (5.4), (5.5) чуть ниже]. На этом обычно заканчивается анализ уравнений движения
произвольной системы, и далее используют различные приближения, чтобы упростить
общий вид тензора энергии-импульса в конкретных частных задачах. Однако уже в общем случае тензора энергии-импульса
произвольной системы нас не устраивает та часть интерпретации уравнений
движения, в которой используется импульсное представление. Оно более подходит
для описания локальных объектов, а в нашей ситуации, когда мы имеем дело с
непрерывными полевыми структурами, предпочтительно использовать энергетическое
представление. Поэтому сейчас мы постараемся от импульсной интерпретации
перейти к энергетической и проанализируем уравнения
движения уже в этих терминах. Рассмотрим эти уравнения. Они получаются из (5.1)
разделением на пространственные и временные производные: ,
(5.2) .
(5.3) Эти
уравнения затем интегрируются по некоторому произвольному объему пространства V, и применяется теорема Гаусса. Интеграл справа берется по поверхности, охватывающей
объем V (df1, df2, df3 —
компоненты трехмерного вектора элемента поверхности df). Рассмотрим более подробно второе уравнение (5.5),
поскольку результаты, полученные при его анализе, будут широко использоваться в
дальнейшем. Левая часть не вызывает вопросов — здесь стоит
скорость изменения импульса в объеме V, то есть сила, действующая на этот объем. А вот в
правой части мы перейдем к энергетическому представлению и для этого воспользуемся
аппаратом дифференциальной геометрии, теоретические основы которого изложены в
книге Б. А. Дубровина, С. П. Новикова, А. Т. Фоменко «Современная геометрия:
Методы и приложения» (М.: Наука, 1986). Достаточно подробное описание того, как
эти методы применяются в физике, в частности, к тензору энергии-импульса,
содержится в книге Ч. Мизнера, К. Торна, Дж. Уилера «Гравитация», т. 1 (М.: Мир, 1977). Очень кратко напомню смысл основных понятий
дифференциальной геометрии, которыми нам придется оперировать. Прежде всего это касается еще одного геометрического объекта —
«дифференциальной формы», который наряду с другими хорошо известными
геометрическими объектами (скаляр, вектор, тензор) описывает физические
величины. В частности, более подробно рассмотрим понятие 1-формы. Может возникнуть закономерный вопрос: зачем вообще
нужны дифференциальные формы, и нельзя ли обойтись хорошо известными старыми
понятиями? Чтобы ответить на этот вопрос, приведу следующий пример из книги Мизнера-Торна-Уилера. Рассмотрим привычное определение вектора 4-импульса p для частицы, например электрона, с массой m и вектором 4-скорости u, то есть p = mu. Кроме этого, в
физике известен и другой подход к понятию импульса, при котором каждой частице
приписывается волна де Бройля. Эта волна имеет самый непосредственный
физический смысл, ее дифракция на кристаллической решетке позволяет определить
не только длину волны, но и ту конфигурацию в пространстве, которую образуют
поверхности равных целочисленных значений фазы. Конфигурация этих поверхностей
дает простейшую иллюстрацию, которую удается найти для 1-формы. Определив эти поверхности посредством выражения ћ ´ фаза, получим «1-форму импульса» . Посмотрим, что может дать такое представление
импульса. Возьмем произвольный 4-вектор v. Он пересечет определенное число поверхностей целой
фазы. Обозначим это число пересечений посредством выражения á,vñ. Как правило, начало и конец
вектора v не лежат на поверхностях
целочисленных фаз. Чтобы определить более точное значение числа пересечений
(перейти от целого числа к вещественному), необходимо
в этих позициях между соседними поверхностями целой фазы распределить
бесконечное число поверхностей со всеми промежуточными значениями фазы. Далее,
чтобы понятие 1-формы стало рабочим инструментом, нужно сделать еще один
небольшой шаг. Необходимо трактовать 1-форму не как глобальную конфигурацию
поверхностей уровня, а как некоторую аппроксимацию этих поверхностей в
элементарном, бесконечно малом объеме в виде плоских поверхностей,
расположенных на равных расстояниях друг от друга (линейное приближение).
Плоские поверхности 1-формы в этом малом объеме дадут наилучшую линейную
аппроксимацию искривленных поверхностей уровня, а сама 1-форма становится линейной
функцией, и появляется возможность оперировать ею, как и любой другой
функцией. Нетрудно убедиться, что совокупность всех 1-форм в данном событии
(4-точке) образует векторное пространство в абстрактном, алгебраическом смысле
этого понятия. Существует и взаимно однозначное соответствие между произвольным
вектором n и соответствующей ему
1-формой ñ в виде áñ,vñ = n · v, то есть число пересеченных поверхностей произвольным
вектором v у некоторой 1-формы ñ
равно проекции вектора v на вектор n (точка обозначает скалярное произведение). Таким образом, дифференциальная геометрия дает
исследователю надежный математический формализм, позволяющий установить
взаимнооднозначное соответствие между локальным точечным описанием физических
величин (импульс в данной точке в виде вектора) и нелокальным описанием (тот же
импульс, но уже в объеме, окружающем эту точку в виде 1-формы). А значит,
учитывая наши цели, необходимо поближе познакомиться с этим геометрическим
объектом (небольшое дополнение см. в Приложении). Нам понадобится еще одно понятие дифференциальной
геометрии. Это 1-форма объема. Достаточно будет ограничиться частным
случаем этого понятия для трехмерного куба в системе отсчета, относительно
которой он находится в покое. Тогда 1-форма объема с 4-скоростью u и ребром L определяется
как S = –Vu = L3dt в случае стандартной
положительной ориентации u в прошлое
(u =
–dt)
или в другом варианте S = L2Dtdx. По своему
геометрическому смыслу 1-форма объема представляет собой объем, «заметаемый» со
временем либо за счет движения самого объема (первый вариант), либо за счет
движения одной из его граней, например, площадки Syz = L2 в направлении x со скоростью u (второй вариант). 1-форма произвольного объема может быть проанализирована путем разбиения ее на введенные
элементарные объемы. Теперь мы располагаем уже всеми
необходимыми понятиями, чтобы сформулировать определение* тензора
энергии-импульса в терминах дифференциальных форм: тензором энергии-импульса
называется линейный оператор с двумя входными каналами, в один из которых вводится
1-форма объема S, а в другой — произвольный вектор w или 1-форма s, и в результате получается проекция 4-импульса на
этот вектор или 1-форму соответственно, то есть T(w, S) = w · p, T(s, S) = ás, pñ.
(5.6) Это определение позволяет легко получить компоненты
тензора энергии импульса в чисто энергетическом представлении, поскольку
проекция импульса p на
4-вектор скорости наблюдателя u дает
энергию, измеренную наблюдателем, взятую с обратным знаком, то есть W =
–u · p. * Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер.
Гравитация. Т. Пространственные компоненты Tik из (5.5) можно интерпретировать, если рассмотреть
двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время Dt эта поверхность «заметает» 3-объем, 1-форма которого
равна S = L2^k Dtdxk. Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие
от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и
измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных
векторов в своей лоренцевой системе, мы заставим
наблюдателя двигаться с некоторой скоростью u поочередно вдоль всех своих координатных осей. За
время Dt он сканирует всю площадку и прилегающий объем,
отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс Dp, пересекающий поверхность, на свою скорость,
наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных
направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход лишен смысла,
поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его
собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как
будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, не зависящая от
скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл. Обозначим компоненты скорости наблюдателя через ui
= (Dxi/Dt)ei. Тогда компоненты Tik можно определить из (5.6): ui · Dp =
–DW =
T(ui, S),
(5.7) или в компонентных обозначениях, –DW =
(Dxi/Dt) L2^k Dt T(ei, dxk) = Dxi L2^k Tik, (5.8) .
(5.9) Устремляя интервал времени к нулю и воспользовавшись
определением градиента, получим Отметим, что, в отличие от величины энергии, зависящей
от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии ÑiW уже
не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты
наблюдателя Dxi входит как в числитель (в выражение скорости), так и
в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что
по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл
которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значения, о какой
энергии идет речь — либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом
элементарном объеме, включающей энергию покоя m0c2, как это принято, например, в релятивистской
механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической
механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из
каких-то иных соображений — значение градиента энергии как объективно
существующей физической характеристики при этом не изменится. Для
определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в
объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные
составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно
других составляющих (возможно, со своим градиентом), тогда записываются
уравнения движения для каждой из них. Сравнивая выражение (5.10) с обычной трактовкой
пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах потока импульса,
нетрудно заметить, что справедливо покомпонентное тождество ÑiW ≡ –Dpi/Dt, связывающее энергетическое и импульсное
представления компонент тензора энергии-импульса. Еще более простой физический смысл имеет дивергенция
от компонент тензора, стоящая в интеграле по объему в выражении (5.5).
Устремляя исходный 3-объем к нулю и имея при этом L2^k ® ¶S^k, получим , (5.11) то есть i-компоненту градиента энергии, приходящуюся на единицу
3-объема, или i-компоненту
объемной плотности градиента энергии.
Уравнения движения (5.5) теперь приобретают простой физический смысл: они
связывают силу, действующую на произвольный выделенный объем, и градиент
энергии в этом объеме. Итак, основной вывод можно сформулировать следующим образом: сила, действующая со стороны произвольного выделенного объема рассматриваемой системы, равна градиенту энергии во всем этом объеме, то есть На первый взгляд, мы получили самый обычный второй закон Ньютона, ничего нового, как может показаться, здесь нет, и непонятно, зачем вообще надо было применять сложный математический аппарат дифференциальной геометрии. Но это впечатление обманчиво. Основная особенность такой формы записи, а одновременно и преимущество используемого подхода в том, что это уравнение, трактуемое в терминах дифференциальных форм, — общековариантно. Оно не зависит от систем отсчета (это справедливо и для обычного понятия градиента). Более того, для градиента, понимаемого как 1-дифференциальная форма, вид этого уравнения не зависит от размерности пространства, от его метрики, и справедливо оно даже при полном ее отсутствии (дифференциальная топология). Таким образом, это уравнение продолжает работать и в том случае, когда, например, объект перешел в чистое запутанное состояние, то есть стал нелокальным, и нет возможности ввести его координатное представление. Это уравнение обобщает второй закон Ньютона и может служить его аналогом для «тонких» структур, оно работает не только в плотном материальном мире, но и на любых квантовых уровнях реальности. Итак, можно сделать вывод, что одной из основных физических характеристик объекта является плотность градиента энергии в его объеме. Трактовка пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах градиента энергии и традиционное описание в терминах потока импульса эквивалентны. Каждое из них обладает своим преимуществом в зависимости от ситуации. Импульсное представление более удобно, когда система моделируется в виде совокупности материальных точек с сосредоточенными параметрами. Преимущества энергетического представления тензора энергии-импульса проявляются в тех случаях, когда рассматриваемая система описывается непрерывными физическими величинами, или когда отдельный объект нельзя рассматривать в виде материальной точки, и необходимо учитывать пространственное распределение физических величин, характеризующих данный объект. Нас прежде всего интересует вторая ситуация. В этом случае непосредственно из уравнения (5.12) последовательно вытекает ряд очевидных следствий. Кратко можно обозначить лишь некоторые, наиболее существенные из них. 1. Свободный объект (при отсутствии внешних воздействий) может находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно только при нулевом значении градиента энергии во всем объеме рассматриваемого объекта. 2. Из линейности тензора энергии-импульса (как линейного оператора) следует, что любая внешняя сила, действующая на объект, характеризуется соответствующим ей градиентом энергии внутри тела, то есть произвольный объект (как свободный, так и находящийся под внешним воздействием), двигающийся с ускорением, имеет в своем объеме соответствующий этому ускорению градиент энергии. 3. Ускорение тела есть процесс перехода в состояние с равновесным распределением энергии, «выравнивание» градиента энергии в своем объеме за счет ускоренного движения. Во внешнем градиентном поле объект всегда будет двигаться с ускорением. 4. Из уравнения (5.12) и последующих рассуждений следует разумное объяснение физической природы гравитации. Для этого достаточно лишь отказаться от моделирования физических тел в виде материальных точек, как это принято в механике Ньютона и общей теории относительности, и учесть распределение энергии в объеме реального объекта. Если исходить из определения равновесного состояния свободного тела, силы тяготения естественным образом объясняются нарушением равновесного распределения энергии и возникновением градиента энергии у каждого из тяготеющих тел в результате взаимодействия их энергетических составляющих. С этой точки зрения гравитационное поле объекта характеризуется градиентом среднего значения энергий различных физических полей в системе, и нет смысла искать, например, кванты гравитационного поля. Для тел, моделируемых материальными точками, такое объяснение гравитации уже неприменимо. 5. С предыдущим вопросом тесно связан вопрос об инертности тела и силах инерции. Дополняя определение равновесного состояния тела принятым в статистической физике понятием релаксации системы, инертность тела можно сопоставить с процессом возникновения или релаксации градиентов энергии при нарушении равновесного состояния системы. Силы инерции, согласно общему выражению (5.12), можно определить как градиенты энергии, связанные с неинерциальными системами отсчета. Таким образом решается вопрос об эквивалентности сил инерции и тяготения. Они неотличимы друг от друга, так как в их основе лежит одна и та же физическая природа — градиент энергии в объеме тела. 6. Исходя из общего характера уравнения (5.12), можно сформулировать и более сильное утверждение: любая физическая сила в природе обусловлена наличием градиента энергии в рассматриваемой системе. 7. Уравнение (5.12) способно стать теоретической основой, позволяющей с единых позиций рассмотреть все многообразие процессов и явлений, изучаемых в различных разделах физики и других естественных науках. Открывается возможность взаимной интеграции многочисленных теорий и получения новых количественных соотношений, связывающих эти процессы. Например, к понятию электрического заряда можно подойти с точки зрения нарушения равновесного состояния системы. Отрицательный заряд при этом соответствует избытку энергии, а положительный — недостатку. Это позволяет в едином ключе рассматривать электродинамические и механические процессы. Первые пять следствий сформулированы для объекта, рассматриваемого как единое целое. Однако уравнение (5.12) справедливо для произвольно выделенного объема внутри системы, и на его основе можно описывать движение ее составных частей относительно друг друга. назад | оглавление | вперед Домой |