С.И. Доронин, Квантовая магия
3.3. Мера квантовой запутанности Когда речь заходит о количественном описании
квантовой запутанности, на первый план выходит понятие матрицы плотности.
Первой была введена мера квантовой запутанности для самого простого случая — двухчастичной системы в чистом состоянии [типа (3.1)], то
есть мера запутанности между двухуровневыми подсистемами А и B, когда вся система
замкнута (находится в чистом состоянии). Основывается эта мера на понятии
частичной матрицы плотности и выражается в терминах энтропии фон Неймана: E(ρA) = – Tr[ρA
log2(ρA)].
(3.6) Здесь ρA — частичная (редуцированная) матрица
плотности подсистемы А. Получается
она взятием частичного следа* по B. С физической точки зрения, взятие
частичного следа и получение редуцированной матрицы плотности — это усреднение
по всем внешним степеням свободы выделенной подсистемы (по ее внешнему
окружению). В некотором отношении это проведение границы между подсистемой и ее окружением, когда
подсистема может рассматриваться независимо от него. Мы как бы «вырезаем» нашу
подсистему из более сложной структуры и рассматриваем ее в качестве
самостоятельного объекта. В результате этой операции пространство допустимых
состояний подсистемы уменьшается, частичная матрица плотности имеет меньшую
размерность, чем исходная система, например, из матрицы 4 × 4 получается
матрица 2 × 2, как было показано выше, когда из матрицы (3.3) получалась
(3.5). *
Более подробно, с примерами, см. мою статью: Доронин С.И. Мера квантовой запутанности чистых состояний // Квант.
Маг. 1, 1123 (2004), http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL112004/abs1123.html. Эта мера запутанности была
предложена Чарльзом Беннеттом (Charles H. Bennett) с соавторами* в 1996 году. * Bennett C. H., Bernstein H. J., Popescu S. and Schumacher B. Phys. Rev. A 53, 2046
(1996). Затем Вуттерс* ввел
более общую количественную характеристику запутанности
двусоставной системы — не только для чистого, но и для смешанного состояния.
Называется она concurrence (согласованность, гармония)**. Она была
введена достаточно сложно, с использованием «спин-флип»
преобразования. * Hill S. and Wootters
W. K. Phys. Rev. Lett. 78, 5022
(1997). ** Эту меру запутанности я, например, использовал в
работе: Doronin S. I. Phys. Rev. A 68, 052306 (2003), где анализировалась динамика
квантовой запутанности в системе взаимодействующих ядерных спинов. Впоследствии было найдено* более удобное и
общее выражение для вычисления согласованности уже в многосоставных системах: C = {2[1–Tr(ρA2)]}1/2. * Rungta P, Buzek V, Caves
C. M, Hillery M. and Milburn G. J. Phys. Rev. A 64, 042315
(2001). Оно справедливо для произвольных замкнутых
систем и характеризует меру квантовой запутанности подсистемы
А (любой размерности) со всем ее
окружением (также любой размерности). Согласованность в качестве меры квантовой
запутанности использовалась в широко известном эксперименте по макроскопической
запутанности*. * Ghosh S. et al. Nature, 425, 48 (2003). См.
обзор этой экспериментальной статьи (на русском языке): http://perst.issp.ras.ru/Control/Inform/perst/2003/3_19/perst.htm#D19.
В целом, наличие квантовой запутанности в
макроскопических системах трудно подвергнуть сомнению, поскольку есть
«железное» утверждение (принцип несепарабельности) — если системы
взаимодействуют друг с другом, то они квантово запутаны между собой (связаны
нелокальными квантовыми корреляциями). Наличие любого взаимодействия —
достаточное условие для квантовой запутанности (несепарабельности)
взаимодействующих объектов. Но одно дело — это понимать и декларировать, а
другое — уметь количественно описывать эту запутанность и сопоставлять
адекватность теоретического описания с результатами физических экспериментов. Были предложены и другие меры квантовой
запутанности, постоянно ведется поиск наиболее удобных
в практическом применении. Из них наиболее известны следующие. 1. Перес-Городецки,
или PPT (positive partial transpose) критерий сепарабельности: Peres. Phys.
Rev. Lett. 77, 1413 (1996); Horodecki M., Horodecki P. and Horodecki R.
Phys. Lett A 223, 1 (1996). 2. Основанная на PPT-критерии мера запутанности — отрицательность (negativity): Życzkowski K., Horodecki P., Sanpera A. and Lewenstein M. Phys. Rev. A 58, 883 (1998); Vidal G. and
Werner R. F. Phys. Rev. A 65, 032314 (2002). 3. Относительная энтропия запутанности (relative entropy of
entanglement): Vedral V., Plenio M. B., Jacobs K. and Knight P. L. Phys.
Rev. A 56, 4452 (1997). 4. CCN
(computable cross-norm) критерий: Rudolph O. Phys.
Rev. A, 67, 032312 (2003). 5. Мера, основанная на ранге Шмидта: Eisert J. and Briegel H. J. Phys. Rev. A 64, 022306 (2001). 6. Мера запутанности, основанная
на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта), эту меру
можно рассматривать как информационное расстояние между двумя состояниями: Lee J., Kim M. S., Bruker
Časlav. Phys. Rev.
Lett. 91, 087902 (2003) и
некоторые другие. В наиболее явном виде связь между квантовой
запутанностью и квантовой информацией устанавливает мера запутанности,
основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта).
Приведу небольшую цитату из указанной выше работы: «Математические формулировки всех фундаментальных физических
теорий основаны на концепции абстрактного пространства. Структура пространства
и теорий определена его метрикой. Например, метрика Минковского
определяет математическую структуру специальной теории относительности, и
метрика Римана определяет структуру общей теории относительности. В квантовой
механике расстояние Гильберта-Шмидта (Hilbert-Schmidt
distance) является естественной метрикой гильбертова
пространства». В настоящее время расстояние Гильберта-Шмидта
довольно часто рассматривается в качестве меры, показывающей, насколько близки
друг к другу два данных состояния. Эта близость, прежде всего, информационная,
например, в указанной выше работе авторы вводят операторную меру, которая
«...эквивалентна расстоянию Гильберта-Шмидта <...> и может
интерпретироваться как информационное расстояние между двумя квантовыми
состояниями. Кроме того, тот факт, что операторная мера является эквивалентной
расстоянию Гильберта-Шмидта, говорит о том, что внутренняя структура Гильбертова
пространства отражает теоретико-информационные основы квантовой теории». Таким образом, расстояние Гильберта-Шмидта
определяет структуру пространства состояний (гильбертова пространства) в
квантовой теории, и эта структура имеет чисто
информационную природу. Здесь мы подошли к очередному важному вопросу
— что же такое информация в квантовой теории? О ней мы часто упоминали, но до
сих пор это были лишь общие слова. Теперь поговорим об этом более подробно. назад | оглавление | вперед Домой |